【预-讲-练-结教学法】人教版高中数学必修四第2步--讲 3. 1.1

人教版必修四

3. 1.1两角差的余弦公式(讲)

一、教材分析

《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。

二、教学目标

1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构 及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

三、教学重点难点

重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。

难点 探索过程的组织和引导。

四、学情分析

之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角的正弦余弦值来表示，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。

五、教学方法

1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.

2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.

3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距

六、课前准备

1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。

2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题。并针对问题中的用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。

教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?

(要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器) 问题：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ，

（2）

设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导αβ，cos()αβ-0cos150cos 450cos300cos150000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？

学习方向。

（二）、研探新知

1.三角函数线法：

问：①怎样作出角、、的终边。

②怎样作出角的余弦线OM

③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。

设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识。

（1） 设角终边与单位圆地交点为P 1，。

（2） 过点P 作P M ⊥X 轴于点M ，那么OM 就是 的余弦线。

（3） 过点P 作P A ⊥OP 1于A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点P 作PC ⊥AB 于C 那么OA 表示 ，AP 表示，并且 于是 OM=OB+BM

=OB+CP

=OA +AP

=

最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：

、、都是锐角，且

2.向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？

② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。

③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。

设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。

αβαβ-αβ-

X α1,POP POx βαβ∠=∠=-则αβ-cos βsin β1

.PAC POx α∠=∠=cos αsin αcos cos sin sin βαβα+αβαβ-αβ>如图,建立单位圆O

由向量数量积的概念,有

由向量数量积的坐标表示,有

因为 、、都是任 意 角,所以也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个，使得 。

于是对于任意角、都有 ， 例1 利用差角余弦公式求的值。

（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题） ()()cos ,sin ,cos ,sin OA OB ααββ==则O αβαβ-[0,2)θπ∈cos cos()θαβ=-αβC αβ-（）

简记0cos15x

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