三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

三角函数 三角恒等变换知识点总结

一、角的概念和弧度制：

（1）在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与?角终边相同的角的集合：

{?|??3600k??,k?Z}或{?|??2k???,k?Z}

与?角终边在同一条直线上的角的集合： ；

与?角终边关于x轴对称的角的集合： ； 与?角终边关于y轴对称的角的集合： ； 与?角终边关于y?x轴对称的角的集合： ；

②一些特殊角集合的表示：

终边在坐标轴上角的集合： ；

终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：

①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；

第一、三象限角： ；

②写出图中所表示的区间角：

y y

x x O O

（4）正确理解角：

要正确理解“0~90间的角”= ；

“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于90的角”= ；

（5）由?的终边所在的象限，通过 来判断

来判断

ooo?所在的象限，通过 2?所在的象限 3l，其中l为以角?作为圆心角时所对圆弧r（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

已知角?的弧度数的绝对值|?|?的长，r为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；

扇形面积公式： ；

1

二、任意角的三角函数：

（1）任意角的三角函数定义：

以角?的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角?的终边上任取

一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin?? ；cos?? ；tan?? ；

os??2sin?? 。注意r>0 如：角?的终边上一点(a,?3a)，则c（2）在图中画出角?的正弦线、余弦线、正切线；

y y a O y a O y x O

比较x?(0,O a x x a ?2)，sinx，tanx，x的大小关系： 。

（3）特殊角的三角函数值：

? sin? cos? 0 ? 6 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3? 2 tan? 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系

倒数关系 tan?·cot?=1 平方关系 1 sin2?+ cos2?=1， 1+tan2?= 2cos?

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 （2）诱导公式：

诱导公式可用概括为： 2K?±?,-?,角函数

商数关系 sin?cos?=tan? ?3?±?,?±?,±?的三角函数：奇变偶不变，符号看象限 ?的三22作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三

角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将

2

任意角的三角函数化为角度在区间[0,360)或[0,180)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限

加以讨论。

②求任意角的三角函数值。 步骤：

任意负角的 三角函数 公式三、一 任意正角的 公式一 三角函数 0o~360o角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九

oooo

求值 0o~90o角的 三角函数 ③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角?所在的象限；

②如函数值为正，先求出对应的锐角?1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角?1；

③根据角?所在的象限，得出0~2?间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是???1；如果在第三或第四象限，则它是???1或2???1； ④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

如tan??m，则sin?? ，cos?? ；sin(3???)? ； 2注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）； 四、三角函数图像和性质 1．周期函数定义

定义：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 请你判断下列函数的周期

y?sinx ， y?cosx， y?|cosx| ， y?cos|x| ， y?|sinx|

y=tan x ， y=tan |x| ， y=|tan x| ，y?sin|x|

3

例 求函数f(x)=3sin (k?x?)(k?0)的周期，并求最小的正整数k,使它周期不大于1 53

2．图像

4

3、图像的平移

对函数y＝Asin(ωx＋?)＋k (A＞0, 0, ≠0, k≠0),其图象的基本变换有： ．．．．ω．＞．．．?．．．．．．．．(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．?＞0,左移；?＜0，右移． (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移 四、三角函数公式： 倍角公式 两角和与差的三角函数关系 sin2?=2sin?·cos? cos2?=cos2?-sin2? cos??cos?·sin? sin(???)=sin?·=2cos2?-1=1-2sin2? 2tan?cos(???)=cos?·cos??sin?·sin? tan2?? 21?tan? tan??tan? tan(???)? 1?tan??tan?

升幂公式

1+cos?=2cos 1±sin?=(sin sin?=2sin降幂公式

2?2 1-cos?=2sin2?2

?2?cos?2)

2

1=sin

2

?+ cos2?

?2cos?2

1?cos2?1?cos2?2

cos?? 22122

sin?+ cos?=1 sin?2cos?=sin2?

2 sin

2

??五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角

与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是二倍；

???3?的二倍；是的二倍；3?是的

2224????是的二倍；?2?是??的二倍。

4362oooo??30o? ；cos? ；②15?45?30?60?45?；问：sin 12122o

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