自动控制原理_胡寿松第5版_课后习题及答案_

胡寿松自动控制原理习题解答第二章

2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图1—18 所示，其中Q1 为水箱的进水流量，Q2 为水箱的用水流量，

H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为F，希望水面高度为H

0 ，与H

对应的水流量为Q

，试列出

水箱的微分方程。

解当Q

1 =Q

2

=Q

时，H =H

；当Q

1

?Q

2

时，水面高度H 将发生变化，其变化率与流量差Q

1

Q

2

成

正比，此时有

F d (H H

)

= (Q Q ) (Q Q ) dt 1 0 2 0

于是得水箱的微分方程为

F dH

=Q Q

dt 1 2

2—2 设机械系统如图2—57 所示，其中x i 为输入位移，x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式

及传递函数。

图2—57 机械系统

解①图2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

胡寿松自动控制原理习题解答第二章

2 1 f 1 ( x &i x &0 ) f 2 x &0 = m &x

&0 整理得

m d x 0 + ( f + f ) dx 0 = f dx i dt 2 1 2 dt 1 dt 将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得

[ms 2 + ( f + f 2 )s ]X 0 (s ) = f 1 sX i

(s ) 于是传递函数为

X 0 (s ) = X i (s ) f 1 ms + f 1 + f 2

②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A ，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 B 。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程： K 1 ( x i x ) =

f ( x & x &0 )

K 2 x 0 = f ( x & x

&0 ) 消去中间变量 x ，可得系统微分方程

f (K + K ) dx 0 + K K x = K f dx i 1 2 dt 1 2 0 1 dt

对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为

X 0 (s ) = X i (s ) fK 1 s f (K 1 + K 2 )s + K 1 K 2

③图 2—57(c)：以 x 0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

K 1 ( x i x ) + f ( x &i x

&0 ) = K 2 x 0 移项整理得系统微分方程

f dx 0 + (K dt 1 + K 2 ) x 0 = f dx i dt + K 1 x i

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

x i (0) = x 0 (0) = 0

则系统传递函数为

X 0 (s ) = X i (s ) fs + K 1 fs + (K 1 + K 2 )

2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

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图 2-58 电网络与机械系统

1

R 1 1 C s R R 解：（a ）：利用运算阻抗法得： Z = R // = 1 = 1 = 1 1 1 C s R C s + T s + 1 R 1 + 1 C 1 s 1 1 1 1 1 Z 2 = R 2 + 1 C 2 s = 1 C 2 s

(R 2 C 2 s + 1) = 1 C 2 s (T 2 s + 1) U (s ) Z 1 (T 2 s + 1) C s (T s + 1)(T s + 1)

所以： 0 = 2 = 2 = 1 2 U i (s ) Z 1 + Z 2 R 1 + T 1 s + 1 1 C 2 s

(T 2 s + 1) R 1C 2 s + (T 1 s + 1)(T 2 s + 1)

(b)以 K 1 和 f 1 之间取辅助点 A ，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

K 2 ( x i x 0 ) + f 2 ( x &i x &0 ) = f 1 ( x &0 x &) （1）

K 1 x = f 1 ( x &0 x &) （2）

所以 K 2 ( x i x 0 ) + f 2 ( x &i x &0 ) = K 1 x 对（3）式两边取微分得

K 2 ( x &i x &0 ) + f 2 (&x &i &x

&0 ) = K 1 x & 将（4）式代入（1）式中得 （3）

（4）

K 1 K 2 ( x i x 0 ) + K 1 f 2 ( x &i x &0 ) = K 1 f 1 x &0 f 1 K 2 ( x &i x &0 ) f 1 f 2 (&x &i &x &0 )

整理上式得

f 1 f 2 &x

&0 + f 1 K 2 x &0 + K 1 f 1 x &0 + K 1 f 2 x &0 + K 1 K 2 x 0 = f 1 f 2 &x

&i + f 1 K 2 x &i + K 1 f 2 x &i + K 1 K 2 x i 对上式去拉氏变换得

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1 1 1

2 2

0 1 2 2 i 2 2 ? 0 ? R 1 [f f s 2 + ( f K + K 1 f

1 + K 1 f

2 )s + K 1 K 2 ]X (s ) = [ f f s 2

+ ( f K + K 1 f 2 )s + K 1 K 2 ]X (s )

所以：

X 0 (s ) = f 1 f 2 s + ( f 1 K 2 + K 1 f 2 )s + K 1 K 2 f 1 f 2 K 1 K 2 = s 2 + ( f 1 K 1

+ f 2 )s + 1 K 2 X i (s ) f 1 f 2 s + ( f 1 K 2 + K 1 f 1 + K 1 f 2 )s + K 1 K 2 f 1 f 2 K 1 K 2 s 2 + ( f 1 K 1 + f 2 )s + 1 + f 1 K 2 K 2 ( f 1 K = 1 s + 1)( f 2 K 2 s + 1) ( f 1 K 1 s + 1)( f 2 K 2 s + 1) + f 1 K 2 所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。

解：（a ） :列写电压平衡方程： du C u C u i u 0 = u C i C = C ? dt du C u C ? i R 1 = R 1 ? d (u i u 0 )

u i u 0 ? u 0 = (i C + i R 1 )R 2 = ?C + R 2 = ?C + ? R 2

整理得：

? dt

? R 1 ? dt R 1 ? CR du 0 + ? C R 2 + 1?u = CR du i + C R 2 u 2 dt ? R 1 ?

2 dt i (b) :列写电压平衡方程：

du C 1 u i u 0 = u C 1

（1） i C 1 = C 1 dt （2）

i C 2 = u C 1 + i C 1 R R + i C 1 = u C 1 R + 2i C 1 = C 2 du C 2 dt = C 2 d (u 0 i C 1 R ) dt （3）

胡寿松自动控制原理习题解答第二章 ? t ? t 2 2 2 3 ? 3 ? 即： u C 1 R + 2i C 1 = C 2 d (u 0 i C 1 R ) dt

（4） 将（1）（2）代入（4）得：

u i u 0 + 2C d (u i u 0 ) = C du 0 C C R d u C 1 R 1 dt 2 dt 1 2 dt 2

u u du du du d 2 u d 2 u 即： i

0 + 2C i 2C 0 = C 0 C C R i + C C R 0 R R 整理得：

1 dt 1 dt

2 dt 1 2 dt 2 1 2 dt 2

C C R d u 0 C C du 0 u 0 C C R d u i u i C du i

1 2 dt 2

+ ( 2 + 2 1 ) dt + R = 1 2 dt 2 + + 2 R 1 dt

2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。

(1) 2 x

&(t ) + x (t ) = t ; 解：对上式两边去拉氏变换得：

（2s+1）X （s ）=1/s 2→ X (s ) = 1 = 1 s 2 (2s + 1) s 2 1 + s 4 2s + 1

运动模态 e

0.5t 所以： x (t ) = t 2(1 e

1 t

2 )

(２) &x &(t ) + x &(t ) + x (t ) = ? (t ）。

解：对上式两边去拉氏变换得：

(s 2 + s + 1) X (s ) = 1 →

X (s ) = 1 (s 2 + s + 1) = 1 (s + 1/ 2) 2 + 3 / 4

运动模态 e

t / 2 ? ? sin ? ? ? 2 ? 所以： x (t ) =

2 e t / 2

3 ? ? sin ? ? ? 2 ?

（3） &x &(t ) + 2x &(t ) + x (t ) = 1(t ）。

解：对上式两边去拉氏变换得： (s 2 + 2s + 1) X (s ) = 1 → X (s ) = s 1 = s (s 2 + 2s + 1) 1 s (s + 1) 2 = 1 s 1 + s + 1

1 (s + 1) 2

胡寿松自动控制原理习题解答第二章

0 0 0 运动模态 e t

(1 + t )

所以： x (t ) = 1 e

t te t = 1 e t (1 + t ) 2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：

Q = K P

式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q 0 , P 0 ) 附近作微小变化，试导出线性化 方程。

解：

设正常工作点为 A ，这时 Q 0 = K P 0

在该点附近用泰勒级数展开近似为：

y = f ( x ) + ? df ( x ) ? ( x x ) ? 0 ? dx ? 0 ? x 0

即 Q Q 0 = K 1 (P P 0 )

? dQ ? 其中 K 1 = ?

? dP = 1 K 1 2 ? ? P = P P

2-7 设弹簧特性由下式描述：

F = 12.65 y 1.1

其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：

设正常工作点为 A ，这时 F = 12.65

y 1.1

0 0 在该点附近用泰勒级数展开近似为：

y = f ( x ) + ? df ( x ) ?

( x x ) ? 0 ? dx ? 0 ? x 0

即 F F 0 = K 1 ( y y 0 ) ? dF ? 其中 0.1 0.1

K 1 = ? ? = 12.65 ?1.1y 0 = 13.915 ?1.1y 0 ? dy ? y = y 0

2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：

e d = E d cos ?

胡寿松自动控制原理习题解答第二章式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。

解：

设正常工作点为A，这时E

d =E

d 0

cos?

胡寿松自动控制原理习题解答第二章 s ? ? 0 2 在该点附近用泰勒级数展开近似为：

y = f ( x ) + ? df ( x ) ? ( x x ) ? 0 ? dx ? 0 ? x 0

即 e d E d cos ? 0 = K s (?

? 0 ) 其中 K = ? de d ? d ? = E d 0 sin ? 0 ? ?? =?

2-9 若某系统在阶跃输入r (t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c (t ) = 1 e 2t + e t ，试求系统的传递函数和脉冲 响应。 解：对输出响应取拉氏变换的：

C (s ) = 1 1 + 1 = s 2 + 4s + 2 因为： C (s ) = √(s )R (s ) = 1 √(s ) s s + 2 s + 1 s (s + 1)(s + 2) s 所以系统的传递函数为： √(s ) = s 2 + 4s + 2 (s + 1)(s + 2) = 1 + s (s + 1)(s + 2) = 1 1 + s + 1 2 s + 2

系统的脉冲响应为： g (t ) = ? (t ) e

t + e

2t

2-10 设系统传递函数为

C (s ) = R (s )

2 s 2 + 3s + 2

且初始条件 c(0)=-1, c & (0)＝０。试求阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 c(t)。

解：由系统的传递函数得：

d c (t ) + 3 dc (t ) + 2c (t ) = 2r (t )

（1）

dt 2 dt

对式（1）取拉氏变换得：

s 2 C (s ) sc (0) c &(0) + 3sC (s ) 3c (0) + 2C (s ) = 2R (s )

将初始条件代入（2）式得 (s 2 + 3s + 2)C (s ) + s + 3 = 2 1 s （2）

即： C (s ) = 2 s 2 3s = s (s 2 + 3s + 2) 2 2s + 6 s s 2 + 3s + 2 = 1 s 4 + s + 1 2 s + 2

所以： c (t ) = 2 4e

t + 2e 2t

胡寿松自动控制原理习题解答第二章

0 R 2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是 6 dc (t ) + 10c (t ) = 20e (t ) dt 20 db (t ) + 5b (t ) = 10c (t ) dt

且初始条件均为零，试求传递函数 C (s ) / R (s ) 及 E (s ) / R (s ) 解：系统结构图及微分方程得：

G (s ) =

20 6s + 10

H (s ) = 10 20s + 5

10 20 E (s ) 10 10 C (s ) = 10G (s ) = 6s + 10 R (s ) = = 1 + G (s )H (s ) 20 10 R (s ) 1 + G (s )H (s ) 1 + 20 10 1 + 6s + 10 20s + 5 6s + 10 20s + 5 10(20s + 5)(6s + 10) 1200s 2 + 1500s + 500 = 200(20s + 5) = = 200(20s + 5) = = (6s + 10)(20s + 5) + 200 120s 2 + 230s + 250 (6s + 10)(20s + 5) + 200 120s 2 + 230s + 250

2-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数

1 解：（a ） Z 0 = R 0 // = C s R 1 C 0 s 1 = R 0 T s + 1 T 0 = R 0 C 0

0 0 + 0 C 0 s

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R 0 0 R 1 1 1 1 U 0 (s ) = R 1 = R 1 (T s + 1)

U i (s ) Z 0 0

（b ） Z 0 = R 0 // 1 = C s R 1 C 0 s 1 = R 0 T s + 1 T 0 = R 0 C 0 0 0 + 0 C 0 s

Z = R + 1 = T 1 s + 1 T = R C C 1 s C 1 s

1 1 1

U 0 (s ) = Z 1 = 1 (T s + 1)(T s + 1) U (s ) Z R C s 1 0 i 0 0 1

Z 12 = R 1

//( R 2 + 1 C 2 s = R 1 // T 2

s + 1C 2 s （c ） = R T 2 s + 1C 2 s = R 1 (T 2 s + 1) T 2 = R 2 C 2 R + T 2 s + 1 C 2 s

T 2 s + R 1 + 1 U 0 (s ) = Z 12 = R 1

T 2 s + 1 U i (s ) R 0 R 0 T 2 s + R 1 + 1

2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数U ｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。

图2-62 控制系统模拟电路

解： U 1 (s ) = Z 1 （1） U 2 (s ) = Z 2 （2） U 0 (s ) = R 2 （3） U 0 (s ) + U i (s ) R 0 U 1 (s ) R 0 U 2 (s ) R 0 式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得

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R 3 R 3

R 3 R R + 0 2 3 m U 0 (s ) U 0 (s ) + U i (s )

= Z 1 Z 2 R 0 R 0 R 2 即 R 0 U 0 (s ) + U i (s ) = 0

1 + U i (s ) = 0 U 0 (s ) Z 1 Z

2 R 2

U 0 (s ) Z 1 Z 2 R 2 所以： U i (s ) = 0 1

U 0 (s ) Z 1 Z 2 R 2

R 1 1 2 U 0 (s ) = 1 = Z 1 Z 2 R 2 = T 1 s + 1 C 2 s U (s ) R 3 R 3 + Z Z R R 1 i 0 + 1 Z 1 Z 2 R 2

= R 1 R 2 0 1 2 2 3 1 R T 1 s + 1 C 2 s (T 1 s + 1)C 2 sR 0 + R 1 R 2

2-14 试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求 出电动机的传递函数 & m (s ) / U a (s ) 和 & m (s ) / M c (s )

解：由公式（2-2）、（2-3）、（2-4）取拉氏变换

U a (s ) E a (s ) = I L s + R a

(s ) E a (s ) = C e & m (s ) a a

C m I a (s ) = M m (s ) M m (s ) M c (s ) = &

(s ) J m s + f m

得到系统结构图如下：

胡寿松自动控制原理习题解答第二章 0 0 m c & m (s ) = C m L a s + R a 1

J m s + f m = C m U a (s ) 1 + C e C m

L a s + R a 1 J m s + f m

(L a s + R a )( J m s + f m ) + C e C m & m (s ) = M c (s ) 1 + 1 J m s + f m C e C m 1

= L a s + R a (L a s + R a )( J m s + f m ) + C e C m L a s + R a J m s + f m

2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度? max = 330 o ，功率放大级放大系数为K 3,要

求：

(1) 分别求出电位器传递系数K 0、第一级和第二级放大器的比例系数K 1和K 2；

(2) 画出系统结构图；

(3) 简化结构图，求系统传递函数? 0 (s ) / ? i (s ) 。

图2-63 位置随动系统原理图 解：

（1） K = 15V 0 1650 K = 30 = 3 1 10 K = 20 = 2 2 10 （2）? e (s ) = ? i (s ) ? 0 (s ) U s (s ) = K 0? e (s ) U a (s ) = K 1 K 2 K s U s (s )

U a (s ) = R a I a (s ) + L a sI a (s ) + E b (s ) M m (s ) = C m I a (s )

Js 2? (s ) + fs ? (s ) = M (s ) M (s )

系统结构图如下： E b (s ) = K b ? 0 (s )

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(3) 系统传递函数? 0 (s ) / ? i (s )

C m

K K K K s (L a s + R a )( J s + f ) 0 1 2 s C K K K K K C ? 0 (s ) = 1 + m b s (L a s + R a )( J s + f ) 0 1 2 s m = s (L a s + R a )( J s + f ) + C m K b ? i (s ) 1 + K K K K C m s (L a s + R a )( J s + f ) 1 + K 0 K 1 K 2 K s C m s (L a s + R a )( J s + f ) + C m K b 0 1 2 s 1 + m b s (L a s + R a )( J s + f ) = K 0 K 1 K 2 K s C m s (L a s + R a )( J s + f ) + C m K b + K 0 K 1 K 2 K s C m 2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图 2-64 所示：要求

（1） 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数 （2） 画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为 K 3 /(? 3 s + 1) ；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为

K 4 和 K 5 ；直流电动机的结构图用题 2-14 的结果）；

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（3） 简化结构图，求系统传递函数 &(s ) / U i (s )

解：（1）速调

U ST (s )

= Z

1

R 1 +

=

1 C 1 s

= R 1C 1 s + 1 =

T 1 s + 1 U i (s ) U f (s ) R 流调

R

1 R

2 +

RC 1 s RC 1 s U LT (s ) = Z 2 =

C 2 s = R 2 C 2 s + 1 =

T 2 s + 1U ST (s ) U dlfk (s ) R R RC 2 s RC 2 s

（2）系统结构图如下：

(3) 简化结构图，求系统传递函数 &(s ) / U i (s )

因为求系统传递函数 &(s ) / U i (s ) ，所以令 M c = 0 ，系统结构图如下：

将 K4 后移到输出Ω，系统结构图化简如下：

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3 m 2 1 2 进一步化简得：

进一步化简得：

进一步化简得：

所以：

&(s ) = U i (s )

K C 2 (T s + 1)(T s +

1) RC 1 s {C m {RC 2 s [(L a s + R a )( J m s + f m ) + C e C m ](? 3 s + 1)}+ K 3 K 4 C m ( J m s + f m )}+ K 5 K 3C m (T 2 s + 1)(T 1 s + 1)

2-17 已知控制系统结构图如图2-65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。

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图2-65 题2-17系统结构图

解：（a）

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C (s ) 所以： = R (s ) G 1 + G 2 1 + G 2 G 3 （b ）

C(s)

C(s)

C (s ) 所以： = R (s ) G 1G 2 (1 + H 1 H 2 ) 1 + H 1 H 2 G 1 H 1 (c)

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C (s ) 所以：

=

R (s ) G 2 (G 1 + G 3 ) 1 + G 2 H 1 + G 1G 2 H 2

(d)

C (s )

所以： =

R (s ) G 1G 2 G 3 (1 + G 1 H 1 )(1 + G 3 H 3 ) + G 2 H 2

(e)

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C (s ) 所以： = R (s ) G 4 + 1 + G G H G 1G 2 G 3 + H G G G H 2 3 2 1 2 1 2 1

(f)

C (s ) (G + G )G 所以： = 1 3 2 R (s ) 1 + G 1G 2 H 1

2-18 试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。

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解：（1）求 C (s ) R (s )

时， N = 0 这时结构图变为：

C (s ) 所以：

= R (s ) G 1G 2 1 + G 1G 2 H 1 + G 1G 2 （2）求 C (s ) N (s )

时， R = 0 这时结构图变为：

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再进一步化简得：

再进一步化简得：

再进一步化简得：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v77q.html