全国各地2012年中考数学分类解析（159套63专题）专题63 押轴的解答题专集(1)

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）

专题63：押轴的解答题专集（1）

锦元数学工作室 编辑

三、解答题

1. （2012北京市7分）在△ABC中，BA=BC，?BAC??，M是AC的中点，P是线段BM上的动点， 将线段PA绕点P顺时针旋转2?得到线段PQ。

（1） 若?????且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形， 并写出∠CDB的度数；

（2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大 小（用含?的代数式表示），并加以证明；

（3） 对于适当大小的?，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得 线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出?的范围。 【答案】解：（1）补全图形如下：

∠CDB=30°。

（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，

∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。 ∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。

在△APD与△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC ∴△APD≌△CPD（SSS）。

∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。

又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。 ∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。

∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。 ∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。 ∴∠CDB=90°－α。 （3）45°＜α＜60°。

【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。

【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案：

∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。

∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。 ∴CM=MQ，∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。 ∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。

（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。 （3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，

∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。

∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。 ∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。

2. （2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）的“非常距离”， 给出如下定义：

若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣x1－x2∣； 若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2的“非常距离”为∣y1－y2∣.

例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2的“非常距离”为 ∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x 轴的直线P2Q的交点）。

1 （1）已知点A(?，0)，B为y轴上的一个动点，

2 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

3 （2）已知C是直线y?x?3上的一个动点，

4 ①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最 小值及相应的点E和点C的坐标。

【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②1。 2

3??（2）①设C坐标为?x0，x0?3?，如图，过点C作

4??CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q。

由“非常距离”的定义知，当OP=DQ时，点C与点

D的“非常距离”最小，

∴x0?0?3x0?3?1。 488两边平方并整理，得7x02?48x0?64=0，解得，x0??或x0?8（大于，舍去）。

778?815?∴点C与点D的“非常距离”的最小值距离为，此时C??，?。

7?77?3②设直线y?x?3与x轴和y轴交于点A，B，过点O

433作直线y?x?3的垂线交直线y?x?3于点C，交圆于点E，过点C

44作CP⊥x轴于点P，作CQ⊥y轴于点Q，过点E作EM⊥x轴于点M，作EN⊥y轴于点N。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。

43?34?由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=。∴E??，?。

55?55?3??设C坐标为?x0，x0?3?

4??由“非常距离”的定义知，当MP=NQ时，点C与点E的“非常距离”最小， ∴x0+334?x0?3?。 545两边平方并整理，得175x02?840x0?1792=0，

88224解得，x0??或x0?（大于，舍去）。

5535?89??34?∴点C与点E的“非常距离”的最小值距离为1，此时C??，?，E??，?。

?55??55?【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。

【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。

（2）①解题关键是，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。

3 ②同①，同时理解当OC垂直于直线y?x?3时，点C与点E的“非常距离”最小。

43. （2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。

∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23，t2=－23（舍去）． ∴点P的坐标为（23 ，6）。

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。 ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴

OBBP。 ?PCCQ由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．

6t111。∴m?t2? t?6（0＜t＜11）。 ?11?t6?m6611?1311+13（Ⅲ）点P的坐标为（，6）或（，6）。

33∴

【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。

（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，

△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。

（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然

后利用相似三角形的对应边成比例与m?1211t? t?6，即可求得t的值： 66过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。 ∴∠PC′E+∠EPC′=90°。

∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。 ∴△PC′E∽△C′QA。∴

PE PC?。 ?AC?C?Q∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m， ∴AC?? C?Q2?AQ2? 36?12m。 ∴636?12m ?11?t。 6?m

∵

666t611?t，即?，∴=，即36?12m=t2。 ?11?t6?mt6?m36?12mt11?1311+131211并化简，得3t2?22 t?36=0。解得：t1?。 ，t2?t? t?6代入，

336611?1311+13∴点P的坐标为（，6）或（，6）。

33将m?4. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．

（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求

yA-的值；

yB?yC（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求

yA的最小值．

yB?yC【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。

①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。

②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴yA=15，yB=10，yC=7。∴

yA15==5。

yB?yC10?7（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x0??b

连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D， 则BD=yB－yC，CD=1。

过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴

于点F（x2，0）。

则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。 ∴

AA1FA11?x2yA ，即??1?x2。 ?yB?yC 1BDCD过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。 ∴

y?yE AGEG，即A?1?x1。 ?yB?yCBDCD∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c，

?a?b?c???ax12?bx1?c??1?x1，化简，得x12＋x1－2=0， ∴

c??a?b?c?解得x1=－2（x1=1舍去）。

∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。 则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。 ∴

yA 的最小值为3。

yB?yC 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。

①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。

②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，

然后计算

yA的值即可。

yB?yC（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出x0??b

1?x2yA ，??1?x2，

yB?yC 1再根据△AEG∽△BCD得到

yA?yE ?1?x1，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得

yB?yCyA 的最小值。

yB?yC2

到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出

5. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=EF⊥OD，垂足为F．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

1，2

【答案】解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），

2

?16a+24+c=0?a=?2∴?，解得?。

a?6+c=0c=8??∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x+6x+8。

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。

2

EFED。 =DODAED1EF1∵=tan?DAE=，∴=。 DA2DO2EF11∵OD=t，∴=，∴EF=t。

t22DFED同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。 =OADA∴△EDF∽△DAO。∴

（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x+6x+8，∴C（0，8），OC=8。

如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。 在△CAG与△OCA中，

∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，

2

1则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，

22?1?由勾股定理得： AE?AM?EM??4+t?+?t?2?。

?2?2222522?1?t?44。 在Rt△AEG中，由勾股定理得：EG=AE?AD??4+t?+?t?2??82?24??222521在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+t?44

42

2?522??1?222

4+t?44由勾股定理得：EF+CF=CE，即?t?+?10?t?=????。 4?2???2解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。 ∴t=6。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。

（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求 解。

（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾

股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。

6.（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=

11BC=。 22215?1? 又∵OB=2，∴OD=OB?BD?2????。

2?2?222（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则AB=OB2+OA2?22。

1∵D和E是中点，∴DE=AB=2。

2

（3）∵BD=x，∴OD?4?x2。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。 ∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=4?x22。

由△BOD∽△EDF，得

BDOD，即 =EFDFx4?x21=，解得EF=x。

2EF24?x2∴OE=x+4?x22。

114?x2x+4?x24?x2+x4?x2?=（0

22422【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=OD的长。

（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=

11BC= ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出222。

（3）由BD=x，可知OD?4?x2，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=4?x22，EF=12x，OE=x+4?x22，即可求得y关于x的函数关系式。

∵AB=OB2+OA2?22，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）， ∴0

7. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1?1x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：231z2= x? x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均

412为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值． （参考数据：

≈15.2，

≈20.5，

≈28.4）

【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，

则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1?将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000， ∴y1?k。 x12000（1≤x≤6，且x取整数）。 x根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：

?49a+c=10049?a=1，解得：。 ??144a+c=10144c=10000??

∴y2=x+10000（7≤x≤12，且x取整数）。 （2）当1≤x≤6，且x取整数时： W=1y?1z?+120?00?1?y22

2

12000 1?z=?? x2?12?00?0x+?12000???x??432?121? ? x? x=﹣1000x+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。 ∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。 当7≤x≤12时，且x取整数时：

W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x﹣10000）+1.5（x+10000）=﹣∵a=﹣

2

2

12

x+1900。 21＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小， 2∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。 ∵22000＞18975.5，

∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。

（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，

设t=a%，整理得：10t+17t﹣13=0，解得：t=2

17?809。 20∵809≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。 ∴a≈57。

答：a整数值是57。

【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。

【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。

（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。

（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可。

8. （2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧． （1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，

则BE=FG=BG=x。

∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。 ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。 ∴

AGGF3?xx，即==。

ABBC36解得：x=2，即BE=2。 （2）存在满足条件的t，理由如下：

如图②，过点D作DH⊥BC于H， 则BH=AD=2，DH=AB=3，

由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， ∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。

1MEECME4?t，即。∴ME=2﹣t。 ==2ABBC3612222212

在Rt△B′ME中，B′M=ME+B′E=2+（2﹣t）=t﹣2t+8。

24∴

在Rt△DHB′中，B′D=DH+B′H=3+（t﹣2）=t﹣4t+13。 过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣

2

2

2

2

2

2

1t， 211t）=t+1。 2212222 252

在Rt△DMN中，DM=DN+MN=（t+1）+ t=t+t+1。

24

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM=B′M+B′D， 即

222

5212202

t+t+1=（t﹣2t+8）+（t﹣4t+13），解得：t=。 4472

2

2

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D=B′M+DM， 即t﹣4t+13=（

2

1252

t﹣2t+8）+（t+t+1），解得：t1=﹣3+17，t2=﹣3﹣17（舍去）。 44∴t=﹣3+17。

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M=B′D+DM，

2

2

2

12522

t﹣2t+8=（t﹣4t+13）+（t+t+1），此方程无解。 4420综上所述，当t=或﹣3+17时，△B′DM是直角三角形；

7即

?12?4?t0?t????43????122?4???t?t??＜t?2?3?3?8?（3）S??。

3510????t2?2t?2＜t????83?3????1t?5?10＜t?4????2?3??2【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。 【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。

（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、

∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。

（3）分别从0?t?441010，＜t?2，2＜t? 和＜t?4时去分析求解即可求得答案： 3333①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，

8即2：3=CE：4，∴CE=。

384∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=。

3311∵ME=2﹣t，∴FM=t，

2211124∴当0?t?时，S=S△FMN=×t×t=t。

2243②如图④，当G在AC上时，t=2，

∵EK=EC?tan∠DCB= EC?DH33??4?t?=3?t， CH443∴FK=2﹣EK=t﹣1。

4424∵NL=AD=，∴FL=t﹣，

33312144312∴当＜t?2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t﹣（t﹣）（t﹣1）=?t2?t?。

4233483③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，

8即B′C：4=2：3，解得：B′C=，

3210∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。

33111∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，

2221∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。

211114103∴当2＜t?时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）

222233435=?t2?2t?。 8310④如图⑥，当＜t?4时，

33333∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），

44441111B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），

222215∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=?t?。

22?12?4?t0?t???4?3????122?4???t?t??＜t?2?3?3?8?综上所述：S??。

??3t2?2t?5?2＜t?10????83?3????1t?5?10＜t?4????2?3??29. （2012安徽省12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

【答案】解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE

1AB，DF21AC。 2又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG， ∴BG=AC+AG。

AB?ACb+c。 =22b+cb+ccb（2）证明：BG=，FG=BG－BF=?=，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。

2222∵BG=AB－AG，∴BG=

又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。 ∴DG平分∠EDF。

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。

∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。 ∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。

∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。 ∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。

【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。

【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG=

AB?ACb+c。 =22（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，

即可求得∠FDG=∠EDG。

（3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C。

10. （2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。 （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴a?? ∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= ?（2）当h=2.6时，y= ?1 601 (x－6)2+2.6 601 (x－6)2+2.6 601∵当x=9时，y=? (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。

601∵当y=0时，即? (18－x)2+2.6=0，解得x=6+156＞18，∴球会过界。

602?h（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得a?。

362?h2?3hx=9时，y= (9－6)2+h?＞2.43 ①

3642?hx=18时，y= (18－6)2+h=8?3h≤0 ②

368由① ②解得h≥。

38∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥。

3【考点】二次函数的性质和应用。

【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。

（2）利用h=2.6，当x=9时，y=?球场的边界距离比较，即可得出结论。

（3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。

11. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

1 (9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与60

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。

（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。

∵O是AB的中点，∴OA=OB。

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。

∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO， ∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。

（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线。 ∵∠ACB=90°，∴OC=

1AB=OB。 2

又∵CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。 ∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。

又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。 ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。

又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。 ∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。 ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。 ∴OM⊥ON。

【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。 【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。

（2）利用AAS证明△OMA≌△ONB即可。

（3）利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即

可得∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。

12. （2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

2

【答案】解：（1）当y=0时，﹣x+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。

∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。

当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。

2

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则

?k1=3?b1=3，解得。 ??b=3?k+b=0?1?11∴直线AC的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。 （2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1

的坐标为（2，3）；

②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可

得点Q2坐标为（1+7，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析

式可得，点Q3的坐标为（1﹣7，﹣3）。

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+7，﹣3），Q3（1﹣7，﹣3）。 （3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。

过点B′作B′E⊥x轴于点E。

∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴

2

2

COCA。 =BFAB由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=10，AB=4。

3106101210，解得BF=。∴BB′=2BF=， =5BF45AOCOCA由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。 ==B?EBEBB?∴∴

131012363621==。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=． B?EBE121055555∴B′点的坐标为（﹣

2112，）。 55设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则

【答案】解：（1）等腰。

（2）∵抛物线y=?x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

?bb2 ∴该抛物线的顶点?，?24 ∴b=2。 （3）存在。

?bb2。 ?满足=（b＞0）

24? 如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称， 则四边形ABCD为平行四边形。

当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。 又∵AO=AB， ∴△OAB为等边三角形。 作AE⊥OB，垂足为E，

b'2b' ∴AE?3OE，即=3??b'>0?，∴b'=23．

42 ∴A?3， 3，B23， 0，C?3， -3，D?23， 0。

2??????? 设过点O、C、D三点的抛物线y=mx+nx，则

???12m?23n=0?m=1 ?，解得，?。

???n=23?3m?3n=?3 ∴所求抛物线的表达式为y=x+23x。

【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形。

（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而

这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值。

（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么

必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的

2

坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式。 16. （2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求。 （2）设正方形E'F'P'N'的边长为x． ∵△ABC为正三角形，∴AE'=BF'=3x。 3∴x+9+3323x=3+3。∴x=，即x=33?3。 323+30 （3）如图②，连接NE，EP，PN，则?NEP=90。

设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n）， 它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n。

∴PN=NE+PE=2m+2n=2m+n ∴S=m+n=2222222?22?.

1PN2。 222 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。

在Rt?PGN中，PN=PG+GN=?m+n?+?m?n?。

222

∵

33m+m+n+n=3+3，即m+n=3. 33 ∴S=92+?m?n?。 22 ∴①当?m?n?=0时，即m?n时，S最小。 ∴S最小=129?3=。 222 ②当?m?n?最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ∵m+n=3，由（2）知，m最大=33?3。 ∴n最小=m最大=3?33?3=6?33。

221?1??9+?m最大?n最小?=9+33?3?6+33?=99?543。 ∴S最大=??2???2?????【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。

【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。

（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，

列方程求得正方形E′F′P′N′的边长

（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：

92S=+?m?n?，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最

2小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。

17. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.

（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？

（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：

每天售出瓶数

频数

17 1

18 2

19 2

20 5

根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；

（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总

获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.

【答案】解：（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式 为y=5x－60

当5x－60≥0时，x≥12，

∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本。

（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有

5天，

∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5 。 （3）小明说的有道理。理由如下：

∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元.

而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y=5x－57

在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，

总获利为28+33×2+38×7=360>355 。 ∴小明说的有道理。

【考点】一次函数的应用。

【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。

（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。

（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得

出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，从而得出总利润，比较即可得出答案。

18. （2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E. (1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ (3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。

在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=AP2?AB2?32?22?5。 （2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。

∴

1232xABBP ，即?。∴y??x?x。 ?3?xy22PCCE123139x?x??(x?)2? 2222893∴当x?时，y的值最大，最大值是。

82123（2）设BP=x, 由（2）得CE??x?x。

22∵y??∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD。

，

13?x2?x3?xCPCE2， ∴， 即??2CBCD32化简得3x2?13x?12?0。

4或x2?3（不合题意，舍去）。 34∴当BP= 时， PE∥BD。

3解得x1?【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。

【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。

（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函

数关系式。化为顶点式即可求得当x?93时，y的值最大，最大值是。

82（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。

19. （2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．

【答案】（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′， ∴△ABG≌△C′DG（ASA）。

（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。

设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，∵AB+AG=BG，即6+x=（8﹣x），解得x=

2

2

2

2

2

2

7。 47AG47∴tan?ABG?。 ??AB624（3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=

∵tan∠ABG=tan∠ADE=

1AD=4。 27777。∴EH=HD×=4×=。

246242411AB=×6=3。 22∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位线。∴HF=

725∴EF=EH+HF=+3=。

66【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，

锐角三角函数定义，三角形中位线定理。

【分析】（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论。

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定

理即可求出AG的长，从而得出tan∠ABG的值。

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=

1AD=4，再根据tan∠ABG的值2即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结果。

1320. （2012广东省9分）如图，抛物线y=x2?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接

22BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

13【答案】解：（1）在y=x2?x?9中，

22令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；

13令y=0，即x2?x?9=0，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。

22∴AB=9，OC=9。

Ss?AE??m??（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴?AED??，即：???。 1S?ABC?AB??9?9?9?22212

m（0＜m＜9）。 21912

（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m，

222∴s=

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

12919281m+m=﹣（m﹣）+。 2222881∴△CDE的最大面积为，

899此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。

22=﹣

又BC?62+92=313，

9EFBEEF过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：??2。

OCBC9313∴EF?2713。 262

729?。 52【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π?EF=

勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、

△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 21. （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．

初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a用整数n表示的式子；

(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；

(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．

下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：

xi

0 1 2 3 4 5 ...

yi yi+1－yi 0 1 1 3 4 5 9 7 16 9 25 11 ... ... 由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5... 请回答：

1个单位时，y的值变化规律是什么？ 21当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？

n当x的取值从0开始每增加

【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。

（2）有理数b=

m。 （n≠0）

n1个单位时，列表如下： 23 1 2 29 1 4 4579 444（3）①当x的取值从0开始每增加 x i yi yi+1 －yi

0 0 1 41 21 43 45 225 411 4... ... ...

11352i?1个单位时，y的值依次增加、 、 …。 244441②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：

n12345 xi 0 ... nnnnn1491625 yi 0 ... 22222nnnnn1357911 ... yi+1－yi 222222nnnnnn故当x的取值从0开始每增加故当x的取值从0开始每增加

1352i?11个单位时，y的值依次增加2、2 、2 …2。 nnnnn【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。

【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。

（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。 （3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。

22. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA． 若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积． 【答案】解：（1）作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。 （2）连接BD，交AC于E，

∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。 设CE=x，则AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2，

2（4?x）∴由勾股定理得：BE2?32?x2?22?

解得：x?21。 822315?21?∴BE?3????。

8?8?1315315∴四边形ABCD的面积是2??AC?BE?4?。 ?282315答：四边形ABCD的面积是。

2【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；

（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股

定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。

3323. （2012广东广州14分）如图，抛物线y=?x2?x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

84与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

3333【答案】解：（1）在y=?x2?x+3中，令y=0，即?x2?x+3=0，解得x1=﹣4，x2=2。

8484 ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。

33（2）由y=?x2?x+3得，对称轴为x=﹣1。

8433 在y=?x2?x+3中，令x=0，得y=3。

8411 ∴OC=3，AB=6，S?ACB?AB?OC??6?3?9。

22在Rt△AOC中，AC=OA2+OC2?42+32?5。

118AC?h=9，解得h=。 2518如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，

5设△ACD中AC边上的高为h，则有

分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=

18， 518CFCF9???5?。 ∴CE?sin?CEFsin?OCA425设直线AC的解析式为y=kx+b， 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得

?3??4k+b=0?k=，解得??4。

b=3???b=3来源:21

∴直线AC解析式为y?3x?3。4来源:21世纪教育网]

直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（∴直线L1的解析式为y?9个长度单位）而形成的， 23933x?3??x?。 42423399则D1的纵坐标为???1????。∴D1（﹣4，?）。

4244927同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。

24927综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，?），D2（﹣1，）。

44（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切

线，这样的切线有2条．

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。 又FE=5，则在Rt△MEF中，-

43，cos∠MFE=。 55412在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=3×?，

5539FN=MN?cos∠MFE=3×?。

554412则ON=。∴M点坐标为（，）。

555412直线l过M（，），E（4，0），

55ME=52?32?4，sin∠MFE=

123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。

???b=3?4k+b=03∴直线l的解析式为y=?x+3。

43同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。

433综上所述，直线l的解析式为y=?x+3或y=?x﹣3。

44

24. （2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE﹣CF取最大值时，求tan∠DCF的值．

2

2

【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=

CE3CE，即sin60°=，解得CE=53。 ?102BC（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD。

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD， （AAS）∴△AFG≌△CFD。∴CF=GF，AG=CD。

∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=∴∠AFG=∠G。

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE=BC﹣BE=100﹣x。

在Rt△CEG中，CG=EG+CE=（10﹣x）+100﹣x=200﹣20x。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11AD=BC=5。∴AG=AF。 2212121CG）=CG=（200﹣20x）=50﹣5x。 24452252222

∴CE﹣CF=100﹣x﹣50+5x=﹣x+5x+50=﹣（x﹣）+50+。

24522

∴当x=，即点E是AB的中点时，CE﹣CF取最大值。

2∵CF=GF（①中已证），∴CF=（

2

25515515此时，EG=10﹣x=10﹣=，CE=100?x2=100?=，

4222515CG15∴tan?DCF?tan?G?。 ?2?15EG32【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判

定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。

（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全

等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。

②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，

利用勾股定理表示出CG，从而得到CF，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。 25. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x+px+q=0（p﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．

2

2

2

2

2

（2）已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值．

【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，

2

2

2

bc∴x1?x2??=?p，x1?x2?=q。

aa（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。 ∴当p=2时，d 的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。

26. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2

）、D（0，3

），射线l过点

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）

（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】解：（1）①（6，23）。 ②30。③（3，33）。

（2）存在。m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得

EFPEDC311， ==??，∴EF=（3+x）

OQPODO3333此时重叠部分是梯形，其面积为：

14343S?S梯形EFQO?（EF?OQ）?OC?（3?x）=x?43 233当3＜x≤5时，如图2，

1S?S梯形EFQO?S?HAQ?S梯形EFQO??AH?AQ2

43331333 ?x?43?x?。?x?3?2=?x2?32232当5＜x≤9时，如图3，

12S?（BE?OA）?OC?3（12?x）23

23 =?x?123。3当x＞9时，如图4，

11183543。 S?OA?AH??6?=22xx综上所述，S与x的函数关系式为：

?43x?43?0?x?3??3??321333x?x??3

?23??3x?123?59???x【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：

∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，23），∴点B的坐标为：（6，23）。 ②由正切函数，即可求得∠CAO的度数： ∵tan?CAO?OC233，∴∠CAO=30°。 ==OA63③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q

与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，33），∴PE=33。 ∴AE?PEtan600?3。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，33）。

（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：

情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。 ∴点P与D重合。∴此时m=0。

情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。 MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600

?（OA?IQ?OI）?sin60??又MJ?3 （3?m）2113AM=AN=， 22233∴（3?m）=，解得：m=3﹣3。

22情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，

过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G， ∴MG=3。 2PKtan600?333?3，GQ?MGtan600?1。 2∴QK?∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=

1AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。 2综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。

27. （2012广东汕头12分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）． （1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果； （2）求使分式

x2?3xyx2?y2x2?3xyx2?y2+y有意义的（x，y）出现的概率； x?yy，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率． x?y（3）化简分式+【答案】解：（1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果如下：

－2 －1 1

－2 （－2，－2） （－2，－1） （－2，1）

－1 （－1，－2） （－1，－1） （－1，1）

1 （1，－2） （1，－1） （1，1）

（2）∵（x，y）所有可能出现的结果共有9种情况，使分式

有（﹣1，﹣2）、（1，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2， 1）4种情况，

∴使分式

x2?3xyx2?y2+y有意义的（x，y）x?yx2?3xyx2?y2+y4有意义的（x，y）出现的概率是。 x?y92y?x+y??x?y?yx2?3xyx2?2xy+y2x?y+=+===（3）2。 2x?y?x+y??x?y??x+y??x?y??x+y??x?y??x+y??x?y?x+yx?yx2?3xy∵在使分式

（﹣2， 1）2种情况，

∴使

x2?3xyx2?y2+y有意义的4种情况中，值为整数的（x，y）有（1，﹣2）、 x?yx2?3xyx2?y2+y2分式的值为整数的（x，y）出现的概率是。 x?y9【考点】列表法或树状图法，概率分式有意义的条件，分式的化简求值。

【分析】（1）根据题意列出表或画树状图，即可表示（x，y）所有可能出现的结果。

（2）根据（1）中的表或树状图中找出使分式

即可。

（3）先化简，再在使分式

x2?3xyx2?y2+y有意义的情况，再除以所有情况数x?yx2?3xyx2?y2+y有意义的4种情况中，找出使分式的值为整数的 x?y（x，y）的情况，再除以所有情况数即可。

1328. （2012广东汕头12分）如图，抛物线y=x2?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连

22接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

13【答案】解：（1）在y=x2?x?9中，

22令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；

13令y=0，即x2?x?9=0，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。

22∴AB=9，OC=9。

Ss?AE??m????。 （2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴?AED???，即：1S?ABC?AB??9?9?9?222

12

m（0＜m＜9）。 21912

（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m，

222∴s=

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

12919281m+m=﹣（m﹣）+。 2222881∴△CDE的最大面积为，

899此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。

22=﹣

又BC?62+92=313，

9EFBEEF过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：??2。

OCBC9313∴EF?2713。 262

729?。 52【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π?EF=

勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、

△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

29. （2012广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;[来源:Z&xx&k.Com]

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？ 请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。

又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。 ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。 （2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

k?b?0 k??2 ? ? 由题意得：? ，解得：?。

?2k?b?6b?2??∴直线BC的解析式为y=－2x+2． ∴点E的坐标为（0，2）。

∴AE?AO2?OE2 ?42?22 ?25，CE?∴AE=CE。 （3）相似。理由如下：

??2?0?2??6?2?2?25。

?k1?1??4k1?b1?0设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ?，解得：?。

b?4 b?4?1?1∴直线AD的解析式为y=x+4。

2? x???y?x?4 ? ?3联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：?，解得：?。

y??2x?210?? y??3?210∴点F的坐标为（?，。 ）

3355?2??10??2??10?102，AF? ?? ???4????1 ?0??则BF??? ?1????0??。 33?3??3??3??3?又∵AB=5，BC? ??2?1???6?0? ?3 5， ∴

222222BF5AB 5BFAB 。∴。 ?， ??AB3BC3ABBC又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。

∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。

（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证

明出结论。

（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC 得出

BFAB ；由题意得∠ABF=∠CBA， 即可作出判断。 ?ABBC30. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．

当b= 时，直线l：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M： 当b= 时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：

(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2). 设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

【答案】解：（1）10；10?25。

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，

2）。

如图，当直线l经过A(2，0)时，b=4；当直线l经过D（2，2）

时，b=6；当直线l经过B（6，0）时，b=12；当直线l经过C(6，2)时，b=14。

当0≤b≤4时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4＜b≤6时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），

11令y=0，即－2x＋b=0，解得x=b，则F（b，0）。

221∴AF=b?2，AE=－4＋b。

211?11?∴S=?AF?AE???b?2???－4＋b??b2－2b+4。

22?24?当6＜b≤12时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形

DHGA的面积（如图2），

11在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=b，则G（b，0），

2211令y=2，即－2x＋b=2，解得x=b?1，则H（b?1，2）。

2211∴DH=b?3，AG=b?2。AD=2

2211∴S=??DH+AG??AD???b?5??2?b?5。

22当12＜b≤14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为五边

形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）

1在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=b?1，

21则M（b?1，0），

2令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。

1∴MC=7?b，NC=14－b。

2∴S=4?2?11?1?1?MC?NC?8???7?b???14－b???b2+7b?41。 22?2?4当b＞14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。 综上所述。S与b的函数关系式为：

?0?0?b?4???1b2－2b+4?4

?1??b2+7b?41?1214??

【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。 【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)， ∴2=－2×4＋b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。

MHAO1??。 PHOB21 ∴可设直线MP的解析式为y?x＋b1。

211 由M(4，2)，得2??4＋b1，解得b1?0。∴直线MP的解析式为y?x。

22121 联立y=－2x＋b和y?x，解得x=b, y?b。

25521 ∴P（b, b）。

55 则由△OAB∽△HMP，得

?2??1? 由PM=2，勾股定理得，?b-4?+ ?b-2??4，化简得4b2-20b+80=0。

?5??5? 解得b=10?25。

（2）求出直线l经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。

31. （2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x﹣4＞0 解：∵x﹣4=（x+2）（x﹣2） ∴x﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

2

2

2

22

即一元二次不等式x﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x﹣16＞0的解集为 ； （2）分式不等式

的解集为 ；

22

2

（3）解一元二次不等式2x﹣3x＜0． 【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。 （2）x＞3或x＜1。 （3）∵2x﹣3x=x（2x﹣3）

∴2x﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得

22

?x>0?x<0或①②。 ??2x?3<02x?3>0??3，解不等式组②，无解。 232

∴不等式2x﹣3x＜0的解集为0＜x＜。

2【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。

解不等式组①，得0＜x＜

【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。

（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，从而转化为两

个一元一次不等式组求解即可。

（3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。

32. （2012广东湛江12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）． （1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；

（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

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