高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
更新时间:2023-04-25 12:43:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等.
因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥??≠? 即
40x x ≤??≠?
所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞ .
(2)要使函数有意义,必须 30lg(1)0
10x x x +≥??-≠??->? 即
301x x x ≥-??≠??
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须 210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ .
(4)要使函数有意义,必须
12sin 1x -≤≤ 即
11sin 22x -≤≤ 即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数). 所以函数的定义域是ππ[π,π]66k k -++, k 为整数.
3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1
x 可以是不为零的任意实数,此
时,
1sin x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x --==++ 5.解:
1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤?-==??-+≤-≤≤≤?? 6.解: ()ln (())2
2,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?
()2(())22,
(())()ln ()ln ln(ln ).x f x f f x g g x g x g x x x x x ==== 7. 证:由321y x =-
解得
x =故函数3()21f x x =-
的反函数是)y x =∈R ,
这与()g x =数,所以
3()21f x x =-
和()g x =. 8. 解: (1)由11x y x -=+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=
+的反函数为1(1)1x y x x -=≠-+.
(2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-, 所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为
1e 2()x y x -=-∈ R . (3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =
-
所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> . (4)由
31cos y x =+
得cos x 又[0,π]x ∈,
故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数
31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函
数为(02)y x =≤≤.
9. 解
: (1)()()f x f x -==
()f x ∴=.
(2)
222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=- ∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.
10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有
21122x x x x ≤=+,
故(,),x ?∈-∞+∞有
12y ≤.即函数21x y x =+有上界. 又因为函数
21x y x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数
21x y x =+有界.
又由
1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=
-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数
21x y x =+在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞), 10,0M x ?>?> 且12;e 0M x M x >?>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的.
又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.
11. 解: (1)124(1)y x =+是由124
,1y u u x ==+复合而成.
(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)51
2(110)x y -=+是由152
,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成. (4)
1
1arcsin 2y x =
+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成. 12.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+=
故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-
故()()f x f x --为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ; 又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6
100.052x ?元.
设总费用为,则63
100.05102y x x ?=+.
14. 解: 当x 能被20整除,即[]20
20x x =时,邮资0.802025x x y =?=; 当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ??=?+????. 综上所述有
,02000;2520200.80,02000.1202020x x x x y x x x x ???<≤=??????=???????<≤≠+??????????且且
其中20x ??????,120x ??+????分别表示不超过20x ,120x +的最大整数.
15. 证: (1)由e e sinh 2x x
y x --==得
2e 2e 10x x y --= 解方程2e 2e 10x x y --=
得e x y =±因为e 0x >,
所以e x y =+
ln(x y =+
所以sinh y x =
的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞ (2)由
e e tanh e e x x x x y x ---==+得21e 1x y y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--; 又由101y y +>-得11y -<<,
所以函数tanh y x =的反函数为
11arctan h ln (11).21x y x x x +==
-<<- 16. 解:
011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ??=+=++=+ 从而 0cot S BC h h ?=-.
000()
22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h BC h h
S S h h h h ?????=++==+=+---=+=+ 由00,cot 0S h BC h h ?>=
->
得定义域为.
17. 解:
1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=, 当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞. 21
(3)(1)21n n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε?>,要使11π0sin 2n n x n n ε-=<<,只须
1n ε>.取1N ε??=????,则当n N >时,必有0n x ε-<.
当0.001ε=时,110000.001N ??==????或大于1000的整数.
(2)lim 0n n a x →∞==,0ε?>,
要使0n x ε-==<=<
1ε>即21
n ε>即可. 取
21N ε??=????,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8
21100.0001N ??==????或大于108的整数. 19. 证: (1)0ε?>,要使22110n n ε=<-,
只要n >
取
N =,则当n>N 时,恒有210n ε<-.故21lim 0n n →∞=.
(2) 0ε?>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要
5n ε>,取5N ε??=????,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故
313lim 212n n n →∞-=+. (3) 0ε?>,要
使2221a n ε=<<,只
要n >,
取n =,则当n>N 时,
1ε<-,
从而1n →∞=.
(4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <- 个,故0ε?>,不防设1ε<,要使
1,0.999110n n ε=<- 个只要
ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-??=????则当n N >时,恒有,0.9991n ε<- 个故lim 0.9991n n →∞= 个.
20.证: lim 0n n x →∞= ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<.
而 n n x x a a ε-<-<
0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<, 由极限的定义知lim .n n x a →∞=
但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,n n n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.
21. 解:
1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k k k k n n n n n n n -????<+-=<=+-+-???????? 而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim 0k n n -→∞=
lim[(1)]0
k k n n n →∞
∴+-=.
(2)记12max{,,,}m a a a a =
则有
即
1n
a m a <
而 1lim , lim ,
n
n n a a m a a →∞
→∞
=?=
故
n a =
即
12max{,,,}m n a a a = .
(3)1
11(3)(123)(33)n n
n n n
n n
<++ 即 1
13(123)3n n
n n
n
+<++< 而 1lim33,lim3
3
n n
n n +→∞
→∞==
故
1lim(123)3
n
n n
n →∞
++=.
(4)
111n <+
而 1
lim10,lim(1)1
n n n →∞→∞=+=
故
1n =.
22. 证
: (1)12x < ,不妨设2k x <,则
12k x +=<=.
故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.
又1n n n x x x +-=
=
0>,又由2n x <
<从而10n n x x +->即1n n x x +>,
即数列{
}n x 是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限.
设lim n n x a
→∞
=,
则a =
于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2
n n x →∞∴=.
(2) 因为110x =>,且
111n
n n x
x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界
又
111111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---????++-=-= ? ?++++???? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号, 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号,
而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>
所以数列{}n x 单调递增,由单调有界准则知,{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a =++,
解得
a a ==(不合题意,舍去). 所以
1lim 2n n x →∞
= 23. 证:(1)0ε?>,要使
1sin sin 0x x x x x ε=≤<-, 只须1
x ε>,取1X ε>,则当x X >时,必有
sin 0x x ε<-, 故sin lim
0x x x →+∞=.
(2)0ε?>,要使 22221313313||44x x x x ε-=<<-++,
只须x >,
取X =,则当X x >时,必有
223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+.
(3) 0ε?>,要使
24(4)22x x x ε-=<--++,
只要取δε=,则 当02x δ<<+时,必有24(4)2x x ε
-<--+,
故224lim 42x x x →--=-+.
(4) 0ε?>,要使
2
1142221221x x x x ε-==<+-++, 只须122x ε<+,取2εδ=,则 当102x δ<<+时,必有2
14221x x ε-<-+ 故2
1214lim 221x x x →--=+.
(5) 0ε?>,要使
11sin 0sin x x x x x ε=≤<-,
只要取δε=,则 当00x δ<<-时,必有1sin 0x x ε<-,
故 01lim sin 0x x x →=.
24. 解:()()2232233lim 33933(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++.
2221424242112222333422424lim()
11(2)lim 2.31lim(31)13111111(3)lim
lim .1121221111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-?+--==----??-- ?-??===-+??-+-+ ???222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞??++ ?+??===+??++ ???
由无穷大与无穷小的关系知, 21lim 21x x x →∞+=∞+.
3(1)(2)(3)1123(6)lim
lim 1115511123lim lim lim .11155n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++??????=+++ ???????????
??????=??=+++ ? ? ???????
(7)因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞??+=-- ?+??知,分式的分子与分母的次数相同,且x 项的系数之比为1
2,于是
10a -= 且 ()112a b -+=
解得 31,2a b ==-.
25.解:22123(1)(1)111(1)lim
lim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--??===- ???
122
1112244411112(2)lim lim 2.11
2212
21(1)(3)lim lim lim(1)0.11
68(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→??- ?????==+++ ???--+-==-=---+---===-+---
322
000(5)lim lim lim 2.
lim(1 2.x x x x x x x →+∞→→→====
=-+=-
5x x x x →→→→=====
3333ππ44
22π4
22π41cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )(1cot )(1cot cot )lim (1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim .2cot cot 4x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=---+--++=-+++++==++
122222(9)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim 111lim .11n
n n x x x x x x x x x x x x
x
+→∞→∞
→∞+++<-+++=--==-
1
1111(1(1(10)lim (1)11.234!
n x n x x x n n -→-→→--====???? 22223111221113213(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim lim 1.(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-??==- ?-++-++--??
-+-+===--++++
22
12211
22
1lim(1)(1)(12)lim 01lim(1)1lim .(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞- 1log (1)(13)log (1)a x
a x x x +=+
而10lim(1).x x x e →+= 而1
lim log log ln a a u e u e a →==
0log (1)1lim .ln a x x x a →+∴=
(14)令
1,x u a =-则log (1),a x u =+当0x →时,0u →. 所以00011lim lim ln log (1)log (1)lim x x u a
a u a u a u x u u →→→-===++(利用(13)题的结果).
11220003
36ln(12)ln(12)sin sin 2sin 000
lim 6ln(12)6lim limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)lime lime e
e e e .x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x →→→++→→→??+??+??+======
(16)令sin x u x =, 则00sin lim lim 1x x x u x →→==
而1lim ln 0u u →= 所以0sin limln 0.x x x →= 26. 解:232
200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--
∴当0x →时,23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.
27.解:
211111(1)lim lim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时,1x -是与2
1x -同阶的无穷小. 2111(1)12(2)lim lim 112x x x x x →→-+==-
∴当1x →时,1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.
28. 解:(1)因为当0x →时,sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin lim
lim .sin x x mx mx m nx nx n →→== 000002000lim cos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x →→→→→→→→=?===-===
(4)因为当0x →
时,2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以
22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x →→→→??==?= ???
(5)因为当0x →时,arctan3~3,x x 所以
00arctan 33lim
lim 3x x x x x x →→==.
sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .2
22n n n n n n n n n x x x x x x x x →∞→∞→∞=?==
(7)因为当12x →时,arcsin(12)~12x x --,所以
22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=----
(8)因为当0x →时,22arctan ~,sin ~,arcsin ~,22x x x x x x 所以
22
00arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x x x →→==?.
(9)因为当0x →时,233
1sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以
233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x x
x x x →→→→?--==?== (10)因为当0x →时,sin ~,sin ~2222x x x x αβαβαβαβ++--,所以
220020222sin sin cos cos 22lim lim 222
lim 1().2x x x x x x x x
x x x x αβαβαβαβαββα→→→+---=+--??==
-
(11)因为当0x →
时,~)~,x x --所以
000 1.x x x →→→==-=-
(12)因为当0x →时,sin ~,sin 2~2,x x x x 所以 222220022220020
1cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )
2(2)8lim lim (2sec )2sec 8 4.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x →→→→→-=++?==++==+
(13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时,cos 10,cos 10ax bx -→-→ 故 l n [1(c o s 1)]~c o s 1,l n [1(c o s 1)]
a x a x
b x b x +--+--
又当x →0进,
222211
1cos ~
,1cos ~,22ax a x bx b x --所以
22
2
20000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a x ax ax ax a bx bx bx b b x
→→→→--====--
(14)因为当0x →时,222sin 0,0e e x x
x x
→→
故 22
2222sin sin ln ~,ln ~,
11e e e e x x x x x x x x ????++ ? ??
??? 所以
2222222220002222
2000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lime lime lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x →→→→→→→??
+ ?
+-+-??==+-+-??
+ ???
????
==?=? ? ?????
=?=
29.
解:111
2
2
2
2111(1)lim lim e 1lim 11x
x
x
x x x x x x →∞→∞→∞??????
????====+++ ????? ? ???????????
10
221
21
5
53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞??+???
?????==?++?? ? ? ?+ ?---??
??
????-????
10
25
51051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞????????=?=?=+?? ?+?? ?-??????-????
2
223
3
1
1
2cot
323tan 23tan 0
00(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )x
x x x x x x x x →→→????+===+??+??????
[][]
[]
cos 21
1cos 212
2
1
cos 21
2
1cos 21
20
22
03
3
3ln ln cos21(cos21)0
3(cos21)
ln 1(cos21)0
cos213lim
lim ln 1(cos21)2sin 3lim
ln lim (4)lim(cos 2)
lim e
lim e
lim e
e e x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→????
??+-????
→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212
2
01(cos21)sin 6ln e lim 6116e
e e .
x x x x x -→?????
?+-??????
-?? ?-??-??
===
2
2
222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x x
x
x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+??
+-=??=+ ???
??????==?+ ? ?+ ? ??????
?==
(6)令1x t =+,则当1x →时,0t →.
1110001111lim lim 1.ln ln(1)ln e ln lim ln(1)lim(1)x t t t t t x t x t t t →→→→-=-=-=-=-=-+??++????
30. 解:(1)令1
(e )x x
y x =+,则1ln ln(e )x y x x =+
于是:
()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim
1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??
++ ?????===++ ???
e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x
x x
x x x x x x x x x x →→→???
???==+?+?++ ? ?????????=+?=
即
()
lim ln 2x y →= 即2
lim e
x y →= 即()1
2
0lim e e x
x
x x →=+.
(2)令1
3x
x
x
x
a b c y ??++= ?
??,则1ln ln 3x x x
a b c y x ++=
于是
003
3
3
303
3
00001lim(ln )lim ln 3
13lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x
x x a b c x x x a b c x x
x
x
x
x
x
a
b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=??
+ ???????
++-??++-=?+ ???
??---++=?++ ?+?
?33331
(ln ln ln )ln e ln
a b c a b c ++-????-?? ??
?????
=++?=
即
lim(ln )
x y →= 即
()
0lim ln x y →=
故0
lim x y →=即 1
lim 3x x x
x
x a b c →??
++= ???
(3)令
11sin cos x
y x x ??=+ ?
??,则11ln ln sin cos y x x x ?
?=+ ??? 于是
1
1sin cos 11
11sin cos 11
sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x
x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x ??+- ?
??+-→∞→∞+-→∞→∞????????=??
++- ???????????
???
???=?++-+- ? ?????????
??- ?=-? ? ???
111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞??????????++- ???????????
2
111
sin 2ln e (10)ln e 1lim lim x x x x x x →∞→∞???? ?
???=?=-?= ?- ? ?
??
即lim ln 1x y →∞
= 从而
(
)
lim ln 1
x y →∞
= 故lim e x y →∞
=
即 1
1lim e
sin cos x
x x x →∞??=+ ???.
(4)令
211x
y x ??=+ ?
??,则21ln ln 1y x x ?
?=+ ??? 于是:
2
2
22
1
222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞???
???==+?? ?+ ???????
???
?==?++ ? ?????=?=
即
(
)
lim lim(ln )0,ln 0
x x y y →∞
→∞
==
lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x
x x →∞?
?=+ ???.
31.解:000(1)lim ()lim lim 1,x x x x x
f x x x +++→→→===
000l i m ()l i m l i m 1
x x x
x
x
f x x
x -
--
→→→-===-
因为 0
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→≠
所以0lim ()
x f x →不存在.
(2)2
2
221
lim ()lim ,lim ()lim(2)4
2x x x x f x f x x x ++
--→→→→==+∞=+=-
因为2lim ()x f x +→不存在,所以2lim ()x f x →不存在.
32. 解:(1)由初等函数的连续性知,()f x 在(0,1),(1,2)内连续,
又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-===
1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =,()f x ∴在1x =处连续,
又,由200lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===,知()f x 在0x =处右连续,
综上所述,函数()f x 在[0,2)内连续. 函数图形如下:
图1-2
(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续,又由
1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-
知1lim ()
x f x -→-不存在,于是()f x 在1x =-处不连续. 又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→====
及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=,从而()f x 在x =1处连续,
综上所述,函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续,在1x =-处间断.函数图形如下:
图1-3
(3)∵当x <0时,221()lim lim 1,1x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++
当x =0时,00
00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+
当x >0时,22221
11()lim lim lim 11
11x x x x x x x n n n x n n n n f x n n n n --→∞→∞→∞-
--====+++
1,0,()lim 0,0,1,0.x x x x n x n n f x x n n x --→∞--?∴===?+?>?
由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续,
又由
0000lim ()lim 11,lim ()lim (1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=- 知0lim ()x f x →不存在,从而()f x 在0x =处间断.综上所述,函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续,在0x =处间断.图形如下:
图1-4
(4)当|x |=1时,221()lim 0,1n
n n x f x x x →∞-==+
当|x |<1时,221()lim ,1n
n n x f x x x x →∞-==+
当|x |>1时,2222111()lim lim 111n
n
n n
n n x x f x x x x x x →∞→∞??- ?-??==?=-+??+ ??? 即
,1,()0,1,
, 1.x x f x x x x ?==??->? 由初等函数的连续性知()f x 在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内均连续,又由
1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-
知1lim ()x f x →-不存在,从而()f x 在1x =-处不连续.
又由
1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在,从而()f x 在1x =处不连续.
综上所述,()f x 在(-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)内连续,在1x =±处间断. 图形如下:
图1-5
33. 解:22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+--
2221lim 32x x x x →-=∞-+
1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义,若补充定义(1)2f =-,则函数在x =1处连续;x =2是无穷间断点.
π0π2(2)lim 1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==
当0k ≠时,πlim
tan x k x x →=∞.
π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±± 为可去间断点,分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=,
可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±± );
π,0,1,2,x k k k =≠=±± 为无穷间断点 (3)∵当0x →时,
21cos x 呈振荡无极限, ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).
(4)11
lim lim(3) 2.x x y x ++→→=-= 11lim lim(1)0x x y x --
→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.) 34.
解:
003(1)lim ()lim lim 2x x x f x →→→=== ∴补充定义
3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.x x x x x f x x x →→→===
∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续.
01(3)limsin sin 0x x x →=
∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.
1
00(4)lim ()lim(1)e x x x f x x →→=+=
∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.
35. 解:(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续,而00lim ()lim (),x x f x a x a ++→→=+=
00lim ()lim e 1,x x x f x --→→== 且(0)f a =,
∴当(0)(0)(0)f f f -+==,即1a =时,()f x 在0x =处连续,所以,当1a =时,()f x 在(,)-∞+∞上连续.
(2)()f x 在ππ(,),(,)22-∞+∞内显然连续.而
π
π
22
π
π
22lim ()lim (sin )1,
πlim ()lim (1)1,2
π()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→→→→=+=+=+=
+=+ ∴当π112b a +=+,即
π2b a =时,()f x 在π2x =处连续,因而()f x 在(,)-∞+∞上连续. 36. 证:令()21x f x x =?-,则()f x 在[0,1]上连续,且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点
定理,(0,1)ξ?∈使()0f ξ=即210ξ
ξ?-=
即方程21x x ?=有一个小于1的正根. 37.证:令()sin f x x a x b =--,则()f x 在[0,]a b +上连续,
且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥,
若()0f a b +=,则a b +就是方程sin x a x b =+的根.
若()0f a b +>,则由零点定理得.
(0,)a b ξ?∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+,即ξ是方程sin x a x b =+的根,综上所述,方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.
38. 证:令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知,()F x 在[0,]a 上连续,且
(0)(0)(),
()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-
若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根,
若(0)()f f a ≠,则(0)()0F F a <,由零点定理知,至少(0,)a ξ?∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+,即ξ是方程()()f x f x a =+的根,
综上所述,方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.
39.证:令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续,且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =,则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ?<,由零点定理,至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.
综上所述,至少存在一点[0,1]ξ∈,使()f ξξ=. . 12()()()()n f x f x f x f n ξ+++= .
40证:已知()f x 在1[,]n x x 上连续,则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ,于是
12()()()n f x f x f x m M n +++≤
≤ ,
由介值定理知,必有1[,]n x x ξ∈,使 12()()()()n f x f x f x f n ξ+++=
.
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