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课题名称：旋转式倒立摆的控制方法研究

南通大学学位论文独创声明

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旋转式倒立摆的控制方法研究

中 文 摘 要

倒立摆的种类有直线式倒立摆，旋转式倒立摆，平面倒立摆。经典的问题中可以算是一个。倒立摆系统是一个典型的多变量，不稳定，非线性的系统，在控制理论与应用方面它的控制可以算是一个热点问题，作为典型的实验装置不仅测试现代控制理论还可测试控制方法和思路，这都广泛应用于一般工业过程，所以对倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。许多控制，如控制系统的稳定性的抽象概念，系统控制，收敛速度和系统的抗干扰能力，倒立摆系统都可以表现出来。倒立摆系统具有高阶，不稳定，多变量，非线性和强耦合等特点，许多现代控制理论的研究人员一直把倒立摆系统当做研究对象。研究人员坚持不懈地希望通过倒立摆控制的方法开拓新的控制方法，可以应用在航天科技和机器入口等高科技领域。本文选取了旋转式倒立摆为研究对象，大体说明了系统的机械结构部分，在对旋转式倒立摆系统进行深入研究后，建立了动力学数学模型。研究倒立摆系统的控制策略，利用最优控制和极点配置控制方法对旋转式倒立摆进行研究和稳定性控制，仿真使用MATLAB和SIMULINK工具对两种方法进行了仿真，结果表明这两种方法都是可行的。在旋转式倒立摆系统的控制和效果方面是令人满意的。仿真和实验结果，表明该控制方法切实有效。

关键词： 旋转式倒立摆 ，数学模型 ，拉格朗日法 ， 极点配法 ，LQR法 ，MATLAB仿真

Research on control method of rotational inverted pendulum

abstract

The inverted pendulum are linear inverted pendulum, rotary inverted pendulum,

planar inverted pendulum. Inverted pendulum control is a classical problem. As a typical, multivariable, nonlinear, unstable system, has been a hot problem in the control theory and application, the typical experimental device not only test the modern control theory, and the control methods and ideas are widely used in general industrial process, so the research on inverted pendulum system has important theory research and the practical application value. Many of the abstract concept of control such as the stability of the control system, the system control, convergence speed and the ability of anti-interference of the system, inverted pendulum system can exhibit. Inverted pendulum system of high order, unstable, multivariable, nonlinear and strong coupling characteristics such as many researchers of modern control theories have been regarded as the object of study. They constantly from the inverted pendulum control method to discover the new control method, and its application in Aerospace Science and technology and machine entrance and other high-tech fields. This paper selects the rotary inverted pendulum as research object, introduces the mechanical structure part of the system, the dynamic mathematical model is established through the study of the rotational inverted pendulum system, the control strategy of the inverted pendulum system, by use of optimal control and pole placement control two methods of rotational inverted pendulum is studied and stability control, and simulation experiments were performed on two methods using MATLAB and SIMULINk tools, the simulation results show that these two algorithms: control of rotational inverted pendulum system in the are feasible, and the effect is satisfactory.

The validity of the simulation and experiment results show that the control method.

目 录

第一节：绪论

1.1 引言

1.2 研究背景及意义 1.3 倒立摆系统的分类 1.4 国内外研究现状

1.5 本课题的主要研究内容和任务 1.5.1倒立摆的控制算法 1.5.2本文的主要工作

第二节：数学建模

2．1 倒立摆系统特性分析 2．2 欧拉一拉格朗日建模方法 2．3 一级倒立摆系统建模

第三节：现代控制算法

3．1 倒立摆系统的特性分析 3.1.1系统的稳定性 3.1.2 系统可控性 3.1.3系统可观性 3．2 极点配置法 3．3 LQR控制方法

第四节：控制算法仿真实验

4．1 极点配置法仿真实验 4．2 LQR算法仿真实验

第五节：总结与展望

5．1 本论文主要的研究成果 5．2 参考文献 5．3 致谢

第一节 绪论

1.1引言

在日常生活中，我们经常可以看到这样的东西：一些支点在上而重心在下

的摆。就好像挂钟的摆，我们把这种摆称为顺摆。除此之外，还有一种不稳定的系统，它是一种支点在下而重心在上的装置，这种装置就是所谓的倒立摆。我们

把倒立摆系统作为实验装置，首先我们要先了解它的一些特点如形象直观、成本较低、形状易于改变和结构简单等特点。再来作为被控对象的倒立摆系统，它是一种自然不稳定的系统，其自然不稳定体现在典型的高阶次、非线性、、强耦合多变量这些方面。所以要是使倒立摆系统稳定，就要采取有效的控制方法。我们不仅可以通过稳定性直观，也可以通过摆杆角度来直接观察倒立摆系统的控制效果。目前，在检验各种控制理论这一方面，倒立摆系统被公认为是一个理想的实验平台，也是一个理想的物理模型（在教学和科研中）。

1.2 研究意义及背景

倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，然而倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性，是一个绝对不稳定系统，必须采用十分有效的控制策略才能使之稳定。倒立摆系统是研究变结构控制，非线性控制，目标定位控制，智能控制等控制方法理想的实验平台，被誉为:“控制领域中的一颗明珠”。

本课题研究的意义主要可以体现在以下两个方面：

一、为进行各种控制算法的研究工作提供了很好的研究对象和实验系统：本文就旋转式倒立摆，对两种现代控制算法作了深入的研究，建立了仿真模型，均获得了很好的仿真效果，从而验证了算法的可行性。

二、目前市场上已经有很多公司开发了各种倒立摆系统的实验平台，如深圳的固高公司开发的倒立摆家族已涵盖了直线倒立摆、平面倒立摆、环形倒立摆，摆杆最多已经达到4级，为控制理论的教学和研究，提供了很好的实验设备。 本课题的研究背景：

倒立摆由于其自身是一个绝对不稳定、多变量、强耦合的高阶非线性系统而被广泛研究，其控制方法多种多样，在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射、卫星飞行等工程技术领域有着广阔的利用开发前景。例如，机器人直立行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直的控制和卫星飞行中姿态控制等问题，和倒立摆系统大同小异，均涉及到倒置问题。而且，倒立摆的控制方法对于我们处理一般工业工程，

也有很大的借鉴。

1.3 倒立摆系统的分类

倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。倒立摆系统按摆杆数量不同，可以分为一级、二级、三级以及多级倒立摆。摆杆的级数越多，控制难度相应也越大。按不同结构形式，倒立摆系统又可以分为：小车式倒立摆系统(即直线式倒立摆系统)、旋转式倒立摆系统(即环形倒立摆系统)、平面倒立摆系统、柔性倒立摆系统、直线柔性连接倒立摆系统。

图一：直线式倒立摆系统

图二：环形倒立摆系统

图三：平面倒立摆系统

图四：直线柔性连接倒立摆系统

1.4 国内外研究现状

对于倒立摆的研究主要集中在两个方面:

1)研究控制器使倒立摆系统稳定并可以定位在特定位置 2)倒立摆系统的自动起摆

倒立摆系统的研究始于20世纪50年代，当时主要集中在直线倒立摆系统的线性控制上面1966年Schaefer和Cannon运用Bang．Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。60年代后期，首次提出了倒立摆的概念，并用来检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力。在这之后倒立摆问题受到国内外许多科学家的重视，并成为具有挑战性的课题之一。

70年代初，根据经典控制理论和现代控制理论应用极点配置法，各国学者针对不同类型的倒立摆问题设计模拟控制器，进行了较为广泛的研究。 80年代后期起，，倒立摆系统中的非线性特性得到较多的研究，并且提出了一系列基于非线性分析的控制策略。1992年，Furuta等人提出了倒立摆系统的变结构控制。1995年，Fradkov等人提出的基于无源性的控制。另外Wiklund等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆，Yamakita等人给出了环形二级倒立摆的实验结果。

90年代初，1993年Bouslama利用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。今天仍有许多学者正致力于利用神经网络控制倒立摆的研究。目前，把人工智能引入到倒立摆控制系统中的方法，也有了很大的突破：1994年8月，北航张明廉教授等人组成的人工智能小组，突破传统控制理论的模式，率先在我国的实验室里稳定住三级倒立摆。2001年6月，北师大李洪兴教授领

导的科研团队，采用“变论域自适应模糊控制理论\，成功实现四级倒立摆控制系统的计算机仿真实验；次年8月，又成功实现全球首例四级倒立摆实物系统控制。总而言之，倒立摆系统是各检验控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。

1.5本课题的主要研究内容和任务

1.5.1倒立摆的控制算法

本课题采用现代控制理论，现代控制理论控制倒立摆的平衡主要用状态反馈来实现的。状态反馈控制系统是在对倒立摆物理模型的分析及建立倒立摆的数学模型的基础上，用状态空间理论推出状态方程和输出方程，再利用状态反馈和kalman滤波相结合的方法，最终实对倒立摆的控制。目前大多采用两种状态反馈的方法来设计倒立摆控制器，即极点配置调节器的方法和LQR最优调节器的方法。 1.5.2本文的主要工作

在课题的研究中，所做的主要工作如下： ①对国内外倒立摆的研究现状进行总结和概括。

②选取旋转式倒立摆作为研究对象，介绍了系统机械结构部分，通过分析力学中的拉格朗日法，推导了一级倒立摆系统的非线性数学模型，在平衡点附近进行局部线性化，得到旋转式倒立摆系统的线性化数学模型。

③探讨了系统的稳定性、能控性和能观性。对旋转式倒立摆系统的现代控制算法进行研究，即LQR算法和极点配置算法。

④运用MATLAB和SIMULINK工具在两种算法下搭建了仿真模型，进行了仿真实验。

⑤对论文的工作进行总结，并对课题的发展方向提出几点个人的看法。

第二节 系统数学建模

建立准确的数学模型是控制系统设计的基础，特别是对于仿真研究来说尤为重要。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法和欧拉一拉格朗日原理方法。本文中，为简化旋转式倒立摆系统的数学建模过程，将采用第二种方法，即分析力学中的Lagrange方程来推导旋转倒立摆的系统模型。

2.1倒立摆系统特性分析

倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性：

1.欠冗余性。一般地，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余结构，比如说冗余机器人有较大不同。之所以采用欠冗余要在不失系统可靠性的前提下降低经济成本或者有效的空间。并通过对倒立摆控制系统的研究获得性能优越的新型控制器设计方法，进而验证其有效性及控制性能。

2.不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。

3.仿射非线性系统。倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。

4.耦合特性。倒立摆摆杆和旋臂之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。

5.开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。针对以上倒立摆的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀以及传动齿轮的间隙等等。将悬臂和摆杆抽象为匀质

刚体，摆杆绕转轴转动，便可建立系统较为精确的数学模型。

为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型是必不可少的。

2.2欧拉一拉格朗日建模方法

1.欧拉一拉格朗日方程

拉格朗日建模方法，是将系统当作一个整体考察，并用动能和势能的标量函数来描述系统，从而大大简化了很多系统的动力学问题的研究和求解过程，特别是那些受理想约束的非自由质点系的动力学问题。我们所要研究的欧拉一拉格朗日方程，在理论上揭示了系统的最小势能原理，当系统的动能和势能可以用表达式表达时，我们就可以使用Lagrange方程来进行系统的建模，从而使建模和求解过程变得简单。 2.建模过程

假设系统的广义坐标是qi，广义速度为qi,i=1，2，?，n。Qi为对应于各个广义坐标的广义力。广义力Qi主要取决于广义坐标qi的量纲：当qi表示长度时，则Qi表示作用力；当qi表示面积时，则Qi表示表面张力；当qi表示体积时，则Qi表示应力；当qi表示转角时，则Qi表示力矩。本文的应用就是基于最后一种情况。H是用广义坐标和广义速度表示的系统功能。由分析力学中的相关知识，则系统的运动满足下列方程组：

上式即为欧拉一拉格朗日方程的一般形式。

当系统为保守系统时，此时作用于系统的主动力为保守力，即Qi=0,拉格朗日方程可以写成如下形式：

这里H为系统的动能和势能的差，记为拉格朗日算子，分析力学中又称为拉格朗日函数。

2.3 一级倒立摆系统建模

一级旋转式倒立摆系统由一个水平旋臂和一级摆杆组成，旋臂由电机驱动在

水平面内作圆周运动，通过耦合作用带动摆杆转动。

假设一级旋转式倒立摆系统中，旋臂的长度和质量分别为L1、m1，相对其水平方向零位的角位移为，角速度为，摆杆的长度和质量分别为L2、m2，相对其竖直方向零位的角位移为，角速度为，电位器质量为m3。建立如图2-1所示坐标系。

图2-1旋转式倒立摆参考坐标系

1．系统总动能 (1)摆杆动能

旋臂和摆杆的连接点为B。对于距B点l2处、长为dl的一小段，其坐标为：

这一小段的动能为

故摆杆的总动能为： （2）旋臂动能

同理，对于旋臂上距o点l1处长为dl的一小段，其坐标为：

则旋臂总动能为：

(3)旋臂与摆杆连接处电位器动能 该电位器的坐标为：

故系统的总动能为： 2．系统总势能

以摆杆自然下垂时质心所在平面为零势能面，则系统的总势能为：

3.由拉格朗日方程推导系统模型 由以上分析知，拉格朗日算子:

则由拉格朗日方程 已知系统广义坐标为：

其中，fi为广义坐标qi上非有势力对应的广义外力，M为电机输出转矩，C1、C2为阻尼系数。

代入（2-9），有：

将方程(2—9)、(2—10)在=0，=0，=0，=0处线性化，忽略高次项，得：

表示成矩阵形式： 记为：

令x1=θ1，x2=θ2，x3=，x4= 则

得出一阶旋转式倒立摆系统空间状态表达式为： 其中,

为便于仿真，本文倒立摆物理参数，如下所示： 旋臂质量ml=200g，摆杆质量m2=52g，电位器质量m3=10g 旋臂长Ll=20cm，摆杆长L2=25cm，g=9．8m／s2 旋臂绕电机转轴转动的阻尼系数C1=O．01N·m．S 摆杆绕轴转动的阻尼系数C2=O．001 N·m·S

通过公式可计算出电机力矩系数Km和电机反电势系数Ke如下：

代入方程(2—14)、(2—15)，得到一阶旋转式倒立摆系统的数学模型：

第三节 现代控制算法

3.1倒立摆系统的特性分析

3.1.1系统的稳定性

根据系统模型(2一15)，利用MATLAB的eig函数求出系统的特征值：

>>A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432]; >> eig(A) ans =

0 7.8357 -9.8468 -2.6048

由于有非负的特征值，所以系统不稳定，在不施加任何控制作用时是一个不稳定的发散系统。

3.1.2 系统可控性

利用MATLAB的ctrb函数求出系统的能控性矩阵： >>Mc=ctrb(A,B) Mc =

1.0e+003 *

0 0.0049 -0.0183 0.1529 0 0.0055 -0.0253 0.5115 0.0049 -0.0183 0.1529 -1.0361

0.0055 -0.0253 0.5115 -3.0794

再通过rank函数求出能控阵的秩： >> rank(Mc)

ans = 4

由于Mc满秩，所以系统完全能控。

3.1.3系统可观性

利用MATLAB的obsv、rank函数求出系统的能控性矩阵的秩： >>rank(obsv(A,C)) ans = 4

系统能观阵满秩，所以系统又完全能观。

3.2 极点配置法

我们都知道，控制系统的稳定性和动态性能指标很大程度上取决于其闭环系统的零极点分布情况，因此，我们进行控制系统设计时，可以根据对系统性能指标的要求，通过选择适当的状态反馈矩阵，使闭环系统的极点配置在所期望的位置，这就是极点配置方法。

极点配置法是控制系统时域设计理论中最早发展起来的一种设计思想，系统通过状态反馈可以任意配置闭环极点的充要条件是系统必须完全能控。

3.3 LQR控制方法

如果所研究的问题是线性的，且性能指标为状态变量x和控制变量u的二次型函数，则最优控制问题称为线性二次型问题，即LQR问题。LQR问题的基本思想是在线性系统的约束下，选择控制输入使得二次型函数达到最小。由于二次型性能指标有较为明确的物理概念，且采用二次型性能指标在数学处理上较简单，甚至可以得到解析形式的线性反馈规律，所以在工程实际中应用线性二次型最优控制是非常普遍的。

LQR问题，是20世纪60年代发展起来的一种普遍采用的最优控制系统设计方法，它可以归结为：当系统受扰偏离原平衡状态时，通过控制使系统状态保持在平衡位置附近，并使控制过程中的动态误差和能量消耗综合最优。

假设线性连续定常系统的状态方程为：

要寻求控制向量, ，使得如下二次型目标函数为最小，即

式(3—1)中，Q为半正定实对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R分别为状态变量x和控制变量u的加权矩阵，确定了误差和能量耗损的相对重要性。第一积分项表示系统在控制过程中，对动态跟踪误差加权平均和的积分要求，是系统运动过程中动态误差的总动量；第二积分项表示控制过程中对系统加权后的控制能量消耗的总度量，对控制能量的能量耗损加以限制。因此, 具有二次型函数的最优控制问题, 实际上就是在于用不大的控制能量来实现较小的误差控制, 以在能量和误差2方面实现综合最优控制。

根据极值原理(庞德里亚金的极大值原理)，可以得出最优控制律，即

式(3—2)中，K为最优反馈增益矩阵，P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提(Riccati)代数方程，即

因此，系统设计归结于求解黎卡提方程的问题，并求出反馈增益矩阵。

图3—3 LQR控制框图

u

x

第四节 控制算法仿真实验

4.1 极点配置法仿真实验

通过计算求出系统的特征值为[0 7.8357 -9.8468 -2.6048 ] 。由于有两个特征根是在复平面的右半平面,所以可以看出系统不稳定。通过计算可知系统的能控性矩阵、能观性矩阵的秩均为4 ,所以系统是完全可控且可观测的,可以通过配置系统的极点使系统稳定。

相对平衡的偏移，得到迅速修正的程度要依赖指定的特征根的值。一般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，控制动作就越迅速，但相应地需要更大的控制力和快速的灵敏度。

假设取闭环极点的配置为[-1+2j,-1-2j,-2+2j,-2-2j] ，在MATLAB 下对系统仿真进行研究,取初始值为X =[30 ,10 ,0 ,0 ] 程序： clear all; clc

A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];

B=[0;0;4.8895;5.4862];

C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; p=[-1+2j,-1-2j,-2+2j,-2-2j]; K=place(A,B,p); Ac=A-B*K;

Gc=ss(Ac,B,C,0); t=0:0.1:10; x0=[30 10 0 0]; [y,t]=initial(Gc,x0,t); plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),grid xlabel('时间/秒');

ylabel('旋臂和摆杆的角度/度')

得出图如下：

系统大约在6s后稳定

假设闭环极点为[-3.3+0.8i -3.3-0.8i -6 -12],得到仿真曲线下图所示,从图中可以看出,系统能够快速趋于不稳定的平衡状态。

由图可见，系统约在3s后进入稳定状态

所以闭环极点的选择对系统稳定性是有影响的，同时极点配置法是可行的。

4.2 LQR算法仿真实验

LQR算法中，Q、R这两个参数分别体现控制过程中对动态跟踪误差和消耗总能量的要求。在倒立摆系统的控制过程中，我们控制的‘目标先是要有良好的动态性能，对能量的消耗是次要要求。LQR问题中，确定加权阵Q、R是一项重要的工作，这两个参数在使性能指标函数最小的过程中使输入和系统的状态达到平衡。通常情况下，令R=1，则参数调节的重心集中在Q阵的参数调节。Q阵通常是一对角常数矩阵，对角线上的元素qi仍分别表示对应误差分量的重视程度：越重视的误差分量，希望它越小，与之相应的加权系数qi就应取得越大。最简单的情况是先假定：R=1，Q=CTC，其中，Q11表示旋臂角度θ1的敏感程度，Q22表示摆杆角度θ2的敏感程度。 先选取：Q=CTC ，R=1

MATLAB中，利用lqr函数可以方便的求出最优反馈增益矩阵K： >> Q=diag([10 1 0 0]); R=1;

sys=ss(A,B,C,0); [K,p,e]=lqr(sys,Q,R) K =

-3.1623 52.3849 -3.0019 6.0669 p =

7.2470 -21.7108 2.3737 -2.6919 -21.7108 176.5050 -12.7108 20.8768

2.3737 -12.7108 1.1111 -1.5374

-2.6919 20.8768 -1.5374 2.4761 e =

-9.7409

-7.8941 -2.7936 + 1.9578i -2.7936 - 1.9578i

取系统初始状态为(30，10，0，0)，其中，P是黎卡提(Riccati)方程（）的解，e是闭环系统的特征值。 求取系统的零输入响应：

程序： clear all; clc

A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];

B=[0;0;4.8895;5.4862];

C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; Q=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; R=1;

sys=ss(A,B,C,0); [K,P,e]=lqr(sys,Q,R) Ac=A-B*K; Gc=ss(Ac,B,C,0); t=0:0.1:10;%仿真时间 x0=[30 10 0 0];

[y,t]=initial(Gc,x0,t);%运行仿真 plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),grid xlabel(' 时间／s');

ylabel(' 旋臂和摆杆角度／度'); 得出： K =

-1.0000 48.5335 -2.4003 5.6776 P =

1.6901 -6.4176 0.6760 -0.7847 -6.4176 155.1912 -9.9636 17.7264

0.6760 -9.9636 0.8298 -1.1771 -0.7847 17.7264 -1.1771 2.0840 e =

-12.7804 -0.8288 -4.5592 -5.8598

Q=CTC，R=1时的图

从图中可看出大约6s后,系统才进入稳定状态 所以，改变Q、R矩阵的值，经多次实验，这里取： Q=diag([10 1 0 0]); R=1;

程序： clear all; clc

A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];

B=[0;0;4.8895;5.4862];

C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; Q=diag([10 1 0 0]); R=1;

sys=ss(A,B,C,0);

[K]=lqr(sys,Q,R)%计算状态反馈矩阵，k为最优反馈增益矩阵 Ac=A-B*K; Gc=ss(Ac,B,C,0); t=0:0.1:10;%仿真时间 x0=[30 10 0 0];

[y,t]=initial(Gc,x0,t);%运行仿真 plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),grid xlabel(' 时间／s');

ylabel(' 旋臂和摆杆角度／度'); 得出： K =

-3.1623 52.3849 -3.0019 6.0669 p =

7.2470 -21.7108 2.3737 -2.6919 -21.7108 176.5050 -12.7108 20.8768

2.3737 -12.7108 1.1111 -1.5374 -2.6919 20.8768 -1.5374 2.4761 e =

-9.7409 -7.8941 -2.7936 + 1.9578i -2.7936 - 1.9578i

由图可见，3s以内，系统就会进入稳定状态，所以，LQR控制算法是可以实现倒立摆系统的稳定控制的。

建立Simulink模型，Clock模块用来提供仿真所需的时间t，注

意Y、U、t均设置成Array格式：

得出仿真结果如下：

实际情况中，倒立摆控制系统是受扰的，现在模型中加上一个冲激作用，在Pulse Generator模块中将Amplitudes（振幅）、Period（时段）和Pulse Width（脉宽）分别设为1、10和1，相当于每隔5s提供一个单位冲激信号作为外界对系统的扰动作用。

由仿真结果可见，用现代控制算法实现倒立摆控制，稳定效果明显，并可以通过摆动角度和稳定时间来直接度量，控制效果一目了然。

第五节 总结与展望

5.1 本论文主要的研究成果：

1．基于欧拉一拉格朗日方程，构建并推导了一级旋转式倒立摆系统的数学模型，最终得到了近似线性的状态空间模型。．

2．运用MATLAB软件下的Simulink工具对一级旋转式倒立摆系统进行了多种算法下的仿真实验，构建并改进了仿真模型，并研究了改变仿真参数时对系统的稳定性、准确性及快速性的影响。

3．基于一级旋转式倒立摆，设计了整个控制系统，进行了实验研究。本论文

在算法仿真方面做了大量的工作，主要采用了现代控制理论中的极点配置算法和LQR算法， 倒立摆问题的研究虽然已经取得了很多的研究成果，国内外仍然有很多学者继续进一步挑战这个难关，主要有两种形式：一种是增加摆杆级数以增加控制难度；另一种是改进现有的控制方法或是采用新的控制算法。由于时间和条件所限，未能做充分的实验研究，还有待进一步深入，主要包括：对几种算法的控制效果进行分析比较，采用几种控制算法相结合的控制方式，选择较佳的控制方法进行实验研究；增加摆杆级数。

5．2 参考文献

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5．3 致谢

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v6wg.html