安徽省淮南市2015届高三第一次模拟考试数学理

安徽省淮南市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)试卷

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）． 1．复数z

4 3i

的虚部为 2 i

A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 2集合A {x N

3

1},B {x Nlog2(x 1) 1},则集合A B的子集个数为 x

A.8 B. 4 C. 3 D. 2

3. 设A，B为两个不相等的集合，条件p：x (A B)， 条件q：x (A B)，则p是q的

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是

2828749A. B. C. D.

3939

5. 将函数y= cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移

单位，所得函数图象的一条对称轴方程是

A．x

B

个4

C．x

3

D．x

4

6.已知定义域为R的偶函数y f(x)满足f(2 x) f(x),且当0 x 1,f(x) sin

2

x，

) f(2015)的值为 则f(2014

A．1 B．-1 C． 2

1

3

D．-2

7. 设函数y x与y ()的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是

1x2

111111A.(,1) B.(,) C.(,) D. (0,)

324342

8. 已知A,B,C

三点共线，{an}为等差数列，且 a2 a12，则

a3 a15 a11的值 为

11

D. 22

9. .对于函数f(x),g(x)和区间D，如果存在x0 D，使得|f(x0) g(x0)| 1，则称x0是

A. 1 B. -1 C.

函数f(x)与g(x)在区间D上的“亲密点”。现给出四对函数： ①f(x) x2,g(x) 2x 2；

②f(x)g(x) x 2；

③f(x) ex,g(x) x 1； ④f(x) lnx,g(x) x

则在区间(0, )上存在唯一“亲密点”的是 ．．A. ①③ B.③④ C. ①④ D.②④

10．已知圆M:(x 3)2 (y 4)2 2,四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为边AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，ME OF的取值范围是 A. [ 52,52] B.[ 5,5] C.[ 2,2] D.[ 10,10] 二、填空题：（本大题共5小题，5每小题5分，共25分）

11.已知f(x) asinx bx3 6(a,b为常数）,且f(log23) 2,则f(log13)

2

y x

12. 已知z 2x y，其中实数x,y满足 x y 2，且z的最大值是最小值的2倍，则a

x a

的值是

13.已知ΔABC三条边a,b,c成公比大于1的等比数列，则

sinA cosAtanC

的范围

sinB cosBtanC

y22

14. 已知双曲线 x2 1一个焦点与抛物线x ay(a>0)的焦点F重合，O为原点，

3

点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且AF 4，则PA PO的最小值

为

15.设异面直线a,b所成角为 ，点P为空间一点（P不在直线a,b上），有以下命题 ①过点P存在唯一平面与异面直线a,b都平行

,则过点P且与a,b都垂直的直线有且仅有1条. 2

③若 ,则过点P且与a,b都成直线有且仅有3条.

33

④若过点P且与a,b都成直线有且仅有4条，则 (,).

323

⑤若过点P且与a,b都成直线有且仅有2条，则 (,).

633

②若

其中正确命题的序号是_________（请填上所有正确命题的序号）

三．解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．（本小题12分）

已知函数f(x) sin

xxx

cos cos2 444

（Ⅰ）若f( ) 1,求cos( )的值;

（Ⅱ）在 ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足(2a c)cosB bcosC，

求f(A)的取值范围。

17. （本小题12分）

23

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当

x>0时，有f(x)<0。

（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数且在R上是减函数；

14

（Ⅱ）若正数x,y满足 1,且f(x) f(y) f(1 m) 0恒成立,

xy

求m的范围。

18. （本小题12分）

在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，A1B 平面ABC，且AB AC A1B 2． （Ⅰ）若P为棱B1C1的中点，求出二面角P AB A1的

平面角的余弦值．

（Ⅱ）证明：平面ABC与平面ACC1A1一定不垂直

C1

B1

A1

C

A

19. （本小题13分）

已知椭圆C中心在原点O，对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上，离心率e 点A(1,)。

（Ⅰ）椭圆C的标准方程.

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP OQ，求证：

1

，且经过2

32

1OP

2

1OQ

2

为定值

(Ⅲ)当

1OP

2

1OQ

2

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP OQ是否成立？并说明理由．

20. （本小题13分）

1,0）处切线方程为y x 1 已知函数f(x) axlnx b(a,b为常数)在（

（Ⅰ）试求a, b的值.

（Ⅱ）若方程f(x)=m有两不等实数根，求m的范围.

/

g(x) f(x),A(x1,y1),B(x2,y2)为y g(x)曲线上不同两点(Ⅲ) ，

记直线AB的斜率为k,证明：

21. （本小题13分）

k g (

x1 x2

). 2

已知数列{an}满足a1 a2 an

n

an 1(n N*)，数列{bn}为等比数列， 2

a1 b1 2,a2 b2

（I）求{

an}、{bn}的 通项公式。

cn}。设T是数列

n

（II）若对每个正整数k，在bk和bk 1之间插入ak个2，得到一个新数列{{

cn}的前n项和，试求满足T 2c的所有正整数m.

mm 1

安徽省淮南市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)试卷答案

（Ⅱ）由 2sinAcosB sinCcosB sinBcosC 知 2sinAcosB sin(B C) sinA,cosB

12

B (0, ), B

3

,A (0,

2

3

)…………………………………9分 f(A) sin(

A 12 6) 2

A 1A 6 2 6 2,2 sin(2 6

) 1 f(A) (1,3

2

)…………………………………………..12分

17、（Ⅰ）证明：令 x y 0，得f(0) 0………………..1分 又 f(x) f( x) f(x x) f(0) 0

f(x)为奇函数……………………………………..3分

任取 x1 x2,

f(x2) f(x1) f(x2) f( x1) f(x2 x1) 0………………….5分

即 f(x1) f(x2) ∴f(x)为奇函数且在R上是减函数 6分 （Ⅱ）解：由 f(x) f(y) f(1 m) f(m 1) 又（Ⅰ）得知：f(x y) f(m 1)恒成立

从而 m 1 x y恒成立………………………..9分

∵x y (x y)(

1x4y4xy4x) 5 5 2 9 yxyxy

∴m 1 9 ∴m 10.........................12分

18. C1 (Ⅰ) 解：以A为原点建立空间直角坐标系（如图），

A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),A1(0,2,2)B1(0,4,2),C1(2,2,2),P(1,3,2)

…… 2分

设平面P AB A1的法向量为n1 x,y,z ， 则

n1AP 0 n1AB 0

, 即

x 3y 2z 0

2y 0

令z 1 故n1 2，0，1 4分

平面ABA1的法向量n2=（1,0,0），且二面角平面角为锐角………………..5分

则cosn1,n2

n1n2n1n2

． 7分 故二面角P AB A1（Ⅱ）证明：假设平面ABC与平面AA1CC1垂直………………………………8分

因为AB AC，平面ABC与平面ACA1C1交线为AC

所以A B 平面ACA1C1，AB AA1……………………………………10分 又A1B 平面ABC，A1B AB 故矛盾，从而假设错误，原命题正确

即平面ABC与平面ACA1C1一定不垂直………………………..............12分 注：本题也可运用空间坐标计算平面ABC与平面ACA1C1法向量不垂直。

3x2y2

19(Ⅰ)解：由题意: 设椭圆方程为2 2 1 (a>b>0)，把点A(1,)代入椭圆方程，

2ab

把离心率e

1222

用a,c表示及 a b c，解得a 2,b 3， 2

x2y2

1……………………………………..4分 故椭圆方程；43

1

（Ⅱ）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点,则

②若P、Q都不为长轴和短轴的端点, 设OP: y kx;那么OQ:

OP

2

1OQ

2

7

12

...................5分

y

1

x.P(xP,yP),Q(xQ,yQ)k

x2y2

1

,3 41212k222

xP 2,yP 2 y kx

4k 34k 3 联立方程 解得

x2y2

1 43 2

112k1222 y xxQ 2,yQ 2;

k,解得3k 43k 4...............................7分 同理联立方程

1OP

2

1OQ

2

1

1212k2

3 4k23 4k2

1

12k212

3k 43k 4

7k2 77 12k2 1212

1

综合①②可知

OP

2

7

OQ

为定值12..........................................................9分

2

1

1

（Ⅲ）解：对于C上的任意两点P、Q,当

2

P

OP

2

1OQ

2

712

时,设

OP:y k1x,OQ:y k2x,

211712k1212k21212222 x 2,yP 2;xQ 2,yQ 2,22

12OPOQ4k 34k 34k 34k 31122易得由得 2

4k12 34k2 37

,2

12k12 1212k2 1212

222222228kk 7k 7k 6 7(kk k k 1),亦即k1k2 1,………………..12分 12121212即

1

所以当

OP

2

7

OQ

为定值12时,OP OQ不一定成立………………………..13分

2

1

（Ⅲ）证明：由g(x) 1 lnx，y1 1 lnx1, 从而k

lnx2 lnx1lnx2 lnx12

,即证：

x2 x1x2 x1x1 x2

2(x2 x1)

x2 x1

即证：lnx2 lnx1

x2

1

xxx2(t 1)

即证：ln2 21，令t 2 (1, ),即证：lnt 10分

x2t 1x1x1

1x1

令 (t) lnt

'

2(t 1)

(t 1) t 1

1(t 1) (t 1)14(t 1)2 4t(t 1)2

(t) 2 0

tt(t 1)2t(t 1)t(t 1)(t 1)2

(t) (1) 0 ∴ (t)在(1, )单增，

从而lnt

21、解（Ⅰ）由a1 a2 ... an a1 a2 ... an 1①-②得：an ∴

2(t 1)

∴原式得证 .13分 t 1

n

an 1 ①得 2n 1 an ②

2

nn 1an 1 an,nan 1 (n 1)an22

(n 2) 2分

an 1n 1a1

(n 2),又当a1 a2,a2 4，2 2也满足

2a1ann

∴

an 1a n 1(n N ),从而a2 a3an 2 3n

n .4分 nna1a2an 112n 1

即 an 2n,b1 2,b2 a1 4,bn 2n 6分

从而

cm 1必是数列{bn}中的某一项bk 1

,则

Tm b1 2 2 b2 2a 2 2 2 b3 bk 2 2

2 11

a2

ak

=2 22 23 2k 2(a1 a2 a3 ak)

2(2k 1) 2

(2 2k)k

2 2k 1 2k2 2k 2,...................................................11分

又2cm 1 2bk 1 2 2k 1

所以2k 1 1 k2 k k(k 1)，因为2k 1(k N

)为奇数, 而k2 k k(k 1)为偶数,所以上式无解.

即当m 3时, Tm 2cm 1.综上所述,满足题意得正数仅有m 2.....................13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v6o4.html