竞赛试题选编之排列组合

竞赛试题选编之排列组合 一．选择题

(2005年全国高中数学联赛)

T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4???|ai?T,i?1,2,3,4},将M中7727374的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103C．?2?3?4 D．?2?3?4

77777777A．

（2004年高中数学联赛）设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ）

A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 (2002年全国高中数学联赛)已知两个实数集合A?{a1,a2,?,a100}与

B?{b1,b2,?,b50}，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)?f(a2)???f(a100)，则这样映射共有

50504949（A）C100 （B）C99 （C）C100 （D）C99

某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是B （A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有D （A）216个 （B）252个 （C）324个 （D）432个 对xi∈{1,2,?,n}，i=1,2,?,n，有

?xi?1ni?n?n?1?，x1x2?xn=n！，使x1,x2,?,xn，

2

（D）9

一定是1,2,?,n的一个排列的最大数n是C （A）4 （B）6 （C）8

设集合M={?2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使对任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是A （A）45 （B）27 （C）15 （D）11 一个五位的自然数abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的

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个数是B （A）8568

（B）2142 （C）2139 （D）1134

集合A、B、C（不必两两相异）的并集A∪B∪C＝{1,2,3,?,n}．则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 ．7n．

在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是C

（A）36 （B）37 （C）48 （D）49

S={1,2,?,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是B

2222（A）C32003 （B）C1001?C1002 （C）A1001?A1002

（D）A32003

一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A）12 （B）13 （C）14 （D）15

在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是D （A）8 （B）10 （C）14 （D）16

m2n2若m，n是不大于6的非负整数，则C6x?C6y＝1表示不同的椭圆个数为

22A.P7 B.C6 C.C24 D.P24

正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有( )对.

A. 114 B. 138 C. 174 D. 228

B如图,从A到B(方向只能从左->右或下->上或左下->右上)不同

A 走法路线种数为( ).

A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 A 从正方体的8个顶点中取出3个，使至少有两个顶点在同一条棱上，其取法数为

A.44 B.48 C.50 D.52

二．填空题

(2005年全国高中数学联赛)如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,?,若an?2005,则a5n?＿＿＿＿＿.

(2002年全国高中数学联赛)已知点P1,P2,?,P10分别是四面体的顶点或棱

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的中点，那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)（1?i?j?k?10）有 个．

（2001年全国高中数学联赛）在一个正六边形的六个区域栽

种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。 (2000年全国高中数学联赛)如果：

(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a;

(3)a是a,b,c,d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.

从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有 不同的取法．

圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形个数为 117600． 在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有n队参赛，则n=__6____.

平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条不同的直线，这11个点可以构成的不同的三角形的个数为_______________160 将一枚硬币掷出，若出现正面，点P就在数轴上移动+1，若出现反面就不动，掷币次数不超过12次，而且点P到达了坐标+10就不再掷了，则点P到达坐标点+10的所有不同情况共有 种

一副桥牌有52张牌，将其排成一横行，任意两张A都不相邻的排列数为______

从{1,2,3,?,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．816；

12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌

子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．5．

一个三位自然数a1a2a3称为凹数，如果同时有a1?a2,a3?a2（例如

F E A B C D 104,525,849都是凹数而123,684,200都不是凹数），则所有的凹数的个数是

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有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果随意在每一个匣子内放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有___________种.

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三．解答题

有n(n≥6)名乒乓球选手进行单循环赛(无平局)，比赛结果显示：任意5人中既有1人胜于其余4人，又有1人负于其余4人，问恰胜两场的人数有几个？

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