2005-2009考研数学（二）历年真题集锦

硕博考研 www.edufzu.com

2009 数学二

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数f?x??x?x3sinnx的可去间断点的个数，则（ ）

?A?1.

?B?2. ?C?3.

2?D?无穷多个.

（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）

?A?a?1,b??16.

?B?a?1,b?16. ?C?a??1,b??16. ?D?a??1,b?16.

（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）

?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点.

?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.

（4）设函数f?x,y?连续，则?dx?f?x,y?dy?1x22?21dy?4?yyf?x,y?dx?（ ）

?A??12dx?4?x14?yf?x,y?dy. f?x,y?dx.

?B??12dx?24?xx2f?x,y?dy.

?C??12dy?1?D?.?1dy?fy?x,y?dx

22（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在区间

?1,2?内（ ）

?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.

（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

1

硕博考研 www.edufzu.com

f(x)O 0 -1 -2 则函数F?x??1 2 3 x

?x0f?t?dt的图形为（ ）

f(x)f(x)1 0 -1 1 -2 1 2 3 x ?B?.

-2 -1 0 1 2 3 x

?A?.

f(x)f(x)1 0 1 -1 1 2 3 x

-2 0 -1 1 2 3 x

?C?.?D?.

**B=3，则分块矩（7）设A、B均为2阶矩阵，A，B分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，?0阵??BA??的伴随矩阵为（ ） 0?*3B?? 0??0?A?.?*?2A

?0?B?.?*?3A2

*2B?? 0?硕博考研 www.edufzu.com

?0?C?.?*?2B*3A?? 0?

?0?D?.?*?3B*2A?? 0??1?T（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PAP=0??0?0100??0，若 ?2??，则QTAQ为（ ） P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）?2??A?.?1?0??2??C?.?0?0?1100100??0 ?2??0??0 ?2???1??B?.?1?0??1??D?.?0?0?1200200??0 ?2??0??0 ?2??

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1-t?u2?edu?x=?（0，0）（9）曲线?在处的切线方程为 0?y?t2ln(2?t2)?（10）已知?+???ekxdx?1,则k? （11）lim1?xesinnxdx? n???0（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则

2xydydx2x=02=

（13）函数y?x1?上的最小值为 在区间?0，?2?TT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?0?0?0000??0，则?T?= ?0??三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

硕博考研 www.edufzu.com

（15）（本题满分9分）求极限lim?1?cosx??x?ln(1?tanx)?sinx1?xx4x?0

（16）（本题满分10 分）计算不定积分?ln(1?)dx (x?0)

2（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与（18）（本题满分10分）

?z?x?y

设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。 （19）（本题满分10分）求二重积分???x?y?dxdy，

D其中D???x,y??x?1?2??y?1??2,y?x

2?（20）（本题满分12分）

（-?，?）设y?y(x)是区间内过（-?2，?2的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的）法线都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式 （21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?

（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?存在，且f???0??A。

?1?（22）（本题满分11分）设A???1?0??11?4?1???1????1，?1?1???

??2??2????????0?内可导，且lim?f??x??A，则f???0?x?02（Ⅰ）求满足A?2??1,A?3??1的所有向量?2,?3

4

硕博考研 www.edufzu.com

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3

222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

2（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y2，求a的值。

2008 数学二

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）

?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3

at（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分?af(x)dx（ ）

0?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.

?D?三角形ACD面积.

x（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解

的是（ ）

?A??C?y?y?4y?4y?0 y?y?4y?4y?0

'''''''''''''''''' ?B?y?y?4y?4y?0

?D?y?y?4y?4y?0

''''''（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）

?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.

?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.

5

硕博考研 www.edufzu.com

（6）设函数f连续，若F(u,v)?vuvu??Duvf(x?y)x?y2222dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则

?F?u?

?A?2vf(u) ?B?f(u) f(u)

2?C?vf(u) ?D?（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）

?A??C?E?A不可逆，E?A不可逆. E?A可逆，E?A可逆.

?B?E?A不可逆，E?A可逆.

?D?E?A可逆，E?A不可逆.

（8）设A????2??1?1?22??，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） 1??A?1??. ?2?

?B??2???1?1??. 2??C??2??11??. 2?

?1 ?D????2?2??. 1?二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且lim1?cos[xf(x)](ex2x?0?1)f(x)?1，则f(0)?____.

（10）微分方程(y?xe2?x)dx?xdy?0的通解是y?____.

（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

2（12）曲线y?(x?5)x3的拐点坐标为______.

x?z?y?y（13）设z???，则

?x?x?(1,2)?____.

（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6

硕博考研 www.edufzu.com

??sinx?sin?sinx???sinx(15)（本题满分9分）求极限lim. 4x?0x(16)（本题满分10分）

?dxx?x(t)?x??2te?0??2设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dtty??ln(1?u)du??x?00?t?0?的解.求

?y?x22.

xarcsinx1?x2(17)（本题满分9分）求积分 (18)（本题满分11分）

?10dx.

求二重积分??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}

D(19)（本题满分11分）

设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成

一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式. (20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?f(x)dx?f(?)(b?a)

ab (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)??32?(x)dx，证明至少存在一点

??(1,3),使得???(?)?0

（21）（本题满分11分）

求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）

22222 7

硕博考研 www.edufzu.com

?2a?2a设矩阵A?????12a???a2???，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,?,x?T，

1n1??2a?n?nB??1,0,?,0?，

（1）求证A??n?1?a；

n（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足

A?3??2??3，

（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求P?1AP.

2007 数学二

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与 （A）1?ex?x等价的无穷小量是

（B）lnx1?x1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]

（2）函数f(x)?(e?e)tanx??x?ex?e???1在???,??上的第一类间断点是x? [ ]

（A）0 （B）1 （C）??2 （D）

?2

（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，

8

硕博考研 www.edufzu.com

在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?论正确的是：

?x0f(t)dt，则下列结

（A）F(3)??（C）F(3)?3434F(?2) (B) F(3)?54

F(2) 54F(?2) [ ]

F(2) （D）F(3)??（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： （A）若lim （C）若limf(x)xf(x)xx?0存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若limf(x)?f(?x)xf(x)?f(?x)xx?0存在，则f(0)?0 . 存在，则f?(0)?0.

x?0x?0 [ ] （5）曲线y?1x?ln?1?ex?的渐近线的条数为

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：

(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散

(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] （A）

lim(x,y)??0,0??f(x,y)?f(0,0)??0.

（B）lim

f(x,0)?f(0,0)xx?0?0,且limf(0,y)?f(0,0)y9

y?0?0.

硕博考研 www.edufzu.com

（C）

y)?f(0,0)(x,ylimf(x,)??0,0?x2?y2?0.

（D）lim?x?0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.

（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分??1?dxy等于

2?sinxf(x,y)d（A）?1d? （B）?10y???arcsinyf(x,y)dx dy?0???arcsinyf(x,y)dx （C）?1dy???arcsiny0D）?1dy???arcsiny?f(x,y)dx （0?f(x,y)dx

22（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.

(D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ?2?1?1??100?（10）设矩阵A????12?1??,B??010???，则A与B ??1?12?????000??(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinx? __________.

x?0x3（12）曲线??x?cost?cos2t上对应于t??的点处的法线斜率为?y?1?sint4_________.

（13）设函数y?12x?3，则y(n)(0)?________.

（14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________.

（15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f?yx??,?z?z?xy?，则x?y? __________. ??x?y 10

] ]

硕博考研 www.edufzu.com

?0?0（16）设矩阵A???0??0100001000??0?，则A3的秩为 . 1??0?三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)

设f(x)是区间0,?????4??上单调、可导的函数，且满足?f(x)0f?1(t)dt??x0tcost?sintsint?costdt，其

中f?1是f的反函数，求f(x).

（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域.

（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）

求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解. （20）（本题满分11分）

已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所确定，设

dzdxx?0z?f?lny?sinx?，求

,dzdx2x?02.

（21） (本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

（22） (本题满分11分)

?? 设二元函数f(x,y)????D???x,y?|x|?|y|?2?.

11

x,1x?y222|x|?|y|?1,1?|x|?|y|?2，计算二重积分??f(x,y)d?，其中

D硕博考研 www.edufzu.com

（23） (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有

?2x?4x?ax3?02?1公共解.

（24） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量，记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵. （I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.

2006 数学二

填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线y?x?4sinx5x?2cosx 的水平渐近线方程为

?1x2?3?sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x0在x?0处连续，则a? .

?a,　　　　 x?0?（3）广义积分???0xdx(1?x)22? .

（4）微分方程y??y(1?x)x的通解是

y（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则

?2（6）设矩阵A????1dydxx?0? 1??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则 2? B? .

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，

12

硕博考研 www.edufzu.com

?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .

（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则?（A）连续的奇函数.

（B）连续的偶函数

（D）在x?0间断的偶函数. [ ]

（C）在x?0间断的奇函数

x0f(t)dt是

（9）设函数g(x)可微，h(x)?e1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于

（A）ln3?1. （C）?ln2?1.

（B）?ln3?1. （D）ln2?1.

[ ]

x?2xx（10）函数y?C1e?C2e?xe满足的一个微分方程是

（A）y???y??2y?3xex. （C）y???y??2y?3xex.

?4

（B）y???y??2y?3ex.

（D）y???y??2y?3ex. [ ]

f(rcos?,rsin?)rdr等于

21?x02（11）设f(x,y)为连续函数，则?d?0?102（Ａ）?20dx?21?xx2f(x,y)dy. （B）?220dx?f(x,y)dy.

(C)

?20dy?1?yy2f(x,y)dx. (D)

?20dy?1?y02f(x,y)dx . [ ]

（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

13

硕博考研 www.edufzu.com

（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.

(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.

（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列?1?得C，记P?0??0?1100??0，则 ?1??（Ａ）C?P?1AP. （Ｂ）C?PAP?1.

（Ｃ）C?PTAP. （Ｄ）C?PAPT. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得ex(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，

3其中o(x)是当x?0时比x3高阶的无穷小.

（16）（本题满分10分）求 （17）（本题满分10分）

?arcsineexxdx.

设区域D?(x,y)x?y?1,x?0， 计算二重积分??D?22?1?xy1?x?y22dxdy.

（18）（本题满分12分）

设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?) （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n??1?xn?1?xn（Ⅱ）计算lim??. n???xn?

14

2硕博考研 www.edufzu.com

（19）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

（20）（本题满分12分）

设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?z?x22?x?y22?满足等式

??z?y22?0.

（I）验证f??(u)?f?(u)u?0；

（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式. （21）（本题满分12分）

?x?t2?1已知曲线L的方程?2?y?4t?t,(t?0)

（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程； （III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?1234?1有3个线性无关的解.

（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2； （Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??.

15

TTT

硕博考研 www.edufzu.com

2005 数学二

填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设y?(1?sinx)x，则dy3x?? = .

（2）曲线y?1(1?x)2xxdx的斜渐近线方程为 .

（3）?0(2?x)1?x22? .

19（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?k= .

（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1?? 如果A?1，那么B? .

2的解为 . 1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则

??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limnn??1?x3n，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] ?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的

y?ln(1?t)?横坐标是

(A)

18ln2?3. (B) ?18ln2?3.

16

硕博考研 www.edufzu.com

(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]

（10）设区域D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，

af(x)?bf(x)?f(y)f(y)则??Dd?? ab2a?b2(A) ab?. (B) ?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ]

（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?一阶导数，则必有

(A)

?u?x222?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有

???u?y222. （B）

?u?x222??u?y22.

(C)

?u?x?y??u?y1x2. (D)

?u?x?y??u?x22. [ ]

（12）设函数f(x)?,则

ex?1?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.

(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

**（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B

的伴随矩阵，则 [ ]

(C)

交换A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*.

(C) 交换A*的第1列与第2列得?B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得?B*.

三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17

硕博考研 www.edufzu.com

（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限lim?x0(x?t)f(t)dtxx?0.

x?f(x?t)dt0（16）（本题满分11分）

如图，C1和C2分别是y?12(1?e)和y?e的图象，过点(0,1)的

xx曲线C3是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与

ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)

2与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分?(x?x)f???(x)dx.

03（18）（本题满分12分）

2 用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足

yx?0?1,y?x?0?2的特解.

（19）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；

（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

y2D?{(x,y)x?24?1}上的最大值和最小值.

（21）（本题满分9分）

计算二重积分??x?y?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

D22（22）（本题满分9分）

18

硕博考研 www.edufzu.com

确定常数a,使向量组?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组

TTT?1?(1,1,a),?2?(?2,a,4),?3?(?2,a,a)线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组

?1,?2,?3线性表示. （23）（本题满分9分）

?1已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B???2??3且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

19

23?46??（k为常数），6k??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v655.html