2《概率统计》试题A卷答案

学姓级专业学学院领导 审批并签名 A 卷 号广州大学2008-2009学年第二学期考试卷

概率论与数理统计（A卷）参考解答与评分标准

题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 12 15 15 12 12 12 10 12 100 分 数 得 分 评卷人 一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）

1．对于任意两个事件A与B,若A?B,则P(A?B)= ( B )。 A. P(A)?P(B) B. 0 C. 1 D. P(A)

2．设A,B是两个概率不为0且互不相容的事件，则下列成立的是（ D ）。 A. A与B互不相容 B. A与B独立

C.P(AB)= P(A)P(B) D. P(AB)= P(A)

3．设f(x)为某连续型随机变量的概率密度函数, 则必有( B )。 A．0?名班院f(x)?1 B. ?f(x)dx?1

??x?????C. 在定义域内单调不减 D.

limf(x)?1

4．设一个连续型随机变量的分布函数为

x?0?0?F(x)??x?k0?x?a

?1x?a?则（ C ）。

111k?0,a? B. k?,a?

2221C. k?0,a?1 D. k?,a?1

2A.

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5．设二维随机变量(X,Y)的联合分布概率为

2 Y1 X 1 1/12 1/6 a 1/3 2 3 1/12 b

若X与Y独立,则P{X?Y?3}=( A )。 A. 1/3 B. 5/6 C. 1/6 D. 2/3

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

?a00???(1) 三阶方阵A??0b0?中的a,b,c取0,1,2,3的概率都相同，则该阵为可

?00c???逆阵的概率为_27/64____。

(2) 某人射击某一个目标的命中率为0.6，现不停的射击，直到命中为止，则第3次才命中目标的概率为_0.096__。

(3)设X~U(1,6)，则方程x?Xx?1?0有实数根的概率为__5/6 。

(4)设X和Y是相互独立的两个随机变量，且X~U(?2,3)，Y~N(1,4)，则

2E(X?Y)?__1.5__。

(5)若

X~b(n,p)，且E(X)?6，D(x)?4，则P{X?20}=_0_。

三、（本大题共2小题，每小题6分，总计12分）

1． 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少？

解：一个数若要为偶数，最后一位一定是0，2，4，6，8。个位是0的四位数个数为P9，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 个位数为2，4，6，8的四位数个数都为P9于是四位偶数个数为为P9333。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ?P82，

4，这样概率为?4(P93?P82)，而总的个数为P10P93?4(P93?P82)4P10?41 。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 90

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2．已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。

解：由于P(A)?0.3，则P(A)?1?P(A)?1?0.3?0.7，类似地由于

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 P(B)?0.4，则P(B)?0.6。

P(AB)?P(A)?P(AB)?0.7?0.5?0.2

P(B(A?B))P(AB?BB)P(B|A?B)??。。。。。。。。。。4分

P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.2P(AB)。。。。。。。。。。。。。。6分 ??0.25。?0.7?0.6?0.5P(A)?P(B)?P(AB)

四、（本题满分为12分）

甲盒中有两个白球，一个黑球，乙盒中有一个白球，五个黑球，求

（1） 从甲盒中任取一个放入乙盒后，随机从乙盒中取出一个球为白球的概率。 （2） 若由甲盒中取出一个球放入乙盒后，再由乙盒中取一球为白球，则由甲

盒中取出的球为白色的概率。

解：（1）设A表示从甲盒中取的球为黑球，B表示从乙盒中取的球为白球，2分 则P(B)?P(B|。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 A)P(A)?P(B|A)P(A)。11225?????。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 737321P(B|A)P(A)（2）P(A|B)?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

P(B)22?4?73?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

5521

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五、（本题满分为12分）

假设每个粮仓内有老鼠的数目X服从参数为?的泊松分布，根据统计资料，一个粮仓内有老鼠与无老鼠的概率相等，求：（1）参数?。（2）1个粮仓内仅有一只老鼠的概率 。 解：（1）有老鼠与无老鼠的概率相等，则P{X?0}?1?P{X?0}。。。3分

1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 2??而X服从参数为?的泊松分布，则P{X?0}?e，。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 这样??ln2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

1（2）P{X?1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 }??e???ln2 。

2于是P{X?0}? 六、（本题满分为12分） 设随机变量X的概率密度为

?2?2x,0?x?1 f(x)??

0,其它?1）求数学期望E(X)； 2）求方差D(X).

解：（1）E(X)? ?（2）E(X2)? ??????。。。。。。。。。。。。3分 xf(x)dx??x(2?2x)dx 。

011 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 3。。。。。。。。。。8分 x2f(x)dx??x2(2?2x)dx 。

01?????1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 6122 D(X)?E(X)?[E(X)]? 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18

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七、（本题满分为12分）

设连续型随机变量?的密度函数为

2??12x?12x?3,0?x?1 f(x)???0,其它?1求：1）P?的密度函数p?(y)； ??0.5?；2）????1解：（1）P?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ??0.5??1?P???0.5?。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ?1??(12x2?12x?3)dx。

00.5?1?0.5?0.5

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）由于在区间[0,1]内y?11的反函数为x??1，且导函数为x?1y1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ??0，

2(x?1)11函数x??1的导函数为?2，则。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

yy1111?2[12(?1)?12(?1)?3]|?|,?y?1?2yy2 yp?(y)???0,其它?

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?27y2?36y?121,?y?1?4。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ??2y?0,其它?八、（本题满分为10分）

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Ce?(x?y)x?0,y?0 p(x,y)??其他?0求(1) C；(2) 分布函数 （3）(X,Y)落在三角形区域G内的概率，其中 G={(x,y)|0?x?1,0?y?2?2x}。

解：（1）??????????。。。。。。。。。。。。。1分 p(x,y)dxdy???Ce?(x?y)dxdy?1，

00????则C?1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 （2）分布函数F(x,y)???xy。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 p(u,v)dudv，

????当x?0或y?0时，F(x,y)?0； 当x?0,y=(1?e?x?0时， F(x,y)???p(u,v)dudv???e?(x?y)dudv。。。。5分

0000xyxy)(1?e?y)，因而分布函数为

?(1?e?x)(1?e?y)x?0,y?0F(x,y)??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

0其他?。。。。。。。。。。。8分 ???p(x,y)??dx?e?(x?y)dy。

G001（3）P((X,Y)?G)12?2x??[e(1?e01?x2x?2。。。。。。。。。。10分 )]dx??(e?x?ex?2)dx?(1?e?1)2。

0

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八、（本题满分为10分）

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Ce?(x?y)x?0,y?0 p(x,y)??其他?0求(1) C；(2) 分布函数 （3）(X,Y)落在三角形区域G内的概率，其中 G={(x,y)|0?x?1,0?y?2?2x}。

解：（1）??????????。。。。。。。。。。。。。1分 p(x,y)dxdy???Ce?(x?y)dxdy?1，

00????则C?1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 （2）分布函数F(x,y)???xy。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 p(u,v)dudv，

????当x?0或y?0时，F(x,y)?0； 当x?0,y=(1?e?x?0时， F(x,y)???p(u,v)dudv???e?(x?y)dudv。。。。5分

0000xyxy)(1?e?y)，因而分布函数为

?(1?e?x)(1?e?y)x?0,y?0F(x,y)??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

0其他?。。。。。。。。。。。8分 ???p(x,y)??dx?e?(x?y)dy。

G001（3）P((X,Y)?G)12?2x??[e(1?e01?x2x?2。。。。。。。。。。10分 )]dx??(e?x?ex?2)dx?(1?e?1)2。

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