完整word版,职高数学第九章立体几何习题及答案

第7章 立体几何习题

练习9.1.1

1、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ”

（1）一个平面长是4cm ，宽是2cm （ ）；

（2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）；

（3）一个平面将空间分成两部分（ ）。

2、选择题（每题只有一个正确答案）

（1）以下命题中，正确的个数是（ ）

①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（2）下列说法中，正确的是（ ）

A ．教室里的黑板面就是平面

B ．过一条直线的平面只有1个

C ．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内

D ．平面是没有厚薄之分的

3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示）

参考答案： 1、（1）Χ（2）Χ（3）√

2、（1）C （2）D

3、平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ADD 1 A 1，平面BCC 1 B 1，平面ABB 1 A 1，平面D CC 1D 1 练习9.1.2

1、选择题（每题只有一个正确答案）

（1）下列说法中有错误的是（ ）

①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

（2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）

A ．三角形

B ．平行四边形

C ．四条线段首尾连接而成的四边形

D ．梯形

（3）用符号表示语句“直线a ，b 相交于平面α内一点M ”，正确的是（ ）

A ．,,a b M a b αα=??I

B ．,a b M M α=∈I

C ．,,a b M a b ααα=∈I 刎

D ．,,,M M a b a b ααα∈∈I 刎

2、用符号表示下列语句

（1）点A 在直线a 上，直线a 在平面α内

（2）平面β过直线b 及b 外一点M ，点N 在平面β外，直线c 过点M ，N

3、如图所示，对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，回答下列问题。

（1）直线AC 是否在平面ABCD 内？

（2）四点A 、A 1、C 、C 1是否在同一平面内？

（3）过直线AD 和点B 1的平面有多少个？

参考答案： 1、（1）B （2）C （3）B

2、（1）,A a a α∈?（2）,,,,,b M M b N M c N c βββ?∈??∈∈

3、（1）AC ?平面ABCD ，（2）因为1AA ∥1CC ，所以四点A 、A 1、C 、C 1是在同一平面

（3）过直线AD 和点B 1的平面只有一个

练习9.2.1

1、填空题

（1）空间内两条直线有三种位置关系： 、 、

（2）若a ∥b ，b ∥c ，则

2、选择题

（1）两条异面直线是指（ ）

A ．空间中两条不相交的直线

B ．分别在两个平面内的两条直线

C ．不同在任何一个平面内的两条直线

D ．平面内一条直线和平面外的一条直线

（2）已知直线a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）

A ．一定是异面直线

B ．一定是相交直线

C ．不可能是平行直线

D ．不可能是相交直线

（3）已知在空间里两条直线a ，b 都和第三条直线c 垂直且相交，则直线a ，b 位置关系是（ ）

A.平行

B.相交

C. 异面

D.平行、相交或异面

3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 和F 分别是棱B 1C 1和CC 1的中点，试分析下列两对直线的位置关系：

（1）EF 与AA 1； （2）EF 与A 1D

参考答案：

1、（1）平行 相交 异面（2）a ∥c

2、（1）C （2）C （3）D

3、（1）EF 与AA 1异面直线；（2）EF ∥A 1D

练习9.2.2

1、填空题

（1）直线与平面的位置关系有三种： 、 、 ；

（2）直线在平面外指 与 两种直线与平面位置的统称。

E F

2、选择题

（1）如果直线a ∥平面α，直线b α?平面，那么a 与b 的位置关系一定是（ ）

A. a ∥b

B. a 与b 异面

C. a 与b 相交

D. a 与b 无公共点

（2）下列命题中，a ，b 表示直线，α表示平面，其中正确命题的个数是（ ） ①若//,//,//a b a b αα则 ②若//,//,//a b b a αα则 ③,a b αα??,且a ，b 不相交，则a ∥b

A.0

B.1

C.2

D.3

（3）下列条件中，可得出直线a ∥平面α的是（ ）

A. a 与α内一条直线不相交

B. a 与α内所有直线不相交

C.直线b ∥直线a , 直线b ∥平面α

D. 直线a 平行于α内无数条直线

3、已知：空间四边形 ABCD ，E ，F 分别是 AB ，AD 的中点(如图)．

求证：EF // 平面 BCD ．

参考答案：

1、（1）直线与平面相交 直线与平面平行 直线在平面内

（2）直线与平面相交 直线与平面平行

2、（1）D （2）A （3）B

3、证明：连结 BD ，在 △ABD 中，

因为 E ，F 分别是 AB ，AD 的中点，

所以 EF // BD ．

又因为 BD 是平面 ABD 与平面 BCD 的交线，EF ? 平面 BCD ，

所以 EF // 平面 BCD ． 练习9.2.3

1、填空题

（1）空间内两个平面有两种位置关系： 与 ；

（2）如果一个平面内的 都与另一个平面平行，那么这两个平面平行；

（3）如果一个平面与两个平行平面相交，那么 。

2、选择题

（1）已知平面α∥平面β，若直线a α?平面，直线b β?平面，则a 与b 的关系是（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．平行或异面

（2）给出以下命题：

①如果平面α∥平面β，直线a ∥平面β，那么直线a ∥平面α；②若平面α∥平面β，直线a α?平面，直线b β?平面，那么a ∥b ；③若直线a ∥平面α，直线//b β平面，且a ∥b ，则平面α∥平面β；④直线a α?平面，直线b β?平面， a ∥b ，则平面α∥平面β。 其中真命题的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（3）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（ ）

A ．平面A 1

B 1

C 1∥平面AC

D B ．平面BDC 1∥平面B 1D 1C C ．平面B 1D 1D ∥平面BD A 1 D ．平面AD C 1∥平面A D 1C

A B C

D E

F B A

E

C D

F P

3、已知空间四边形P ABC ，连接PB ，AC ，且D ，E ，F 分别是棱P A ，PB ，PC 的中点(如图)． 求证：平面 DEF // 平面 ABC ．

参考答案：

1、（1）相交 平行（2）两条相交直线（3）两条交线平行

2、（1）D （2）A （3）A

3、证明 在△P AB 中，因为D ，E 分别是P A ，PB 的中点，所以DE // AB ．

又因为DE ?平面ABC ，所以DE // 平面ABC ．

同理EF // 平面ABC ．

又因为DE ∩EF ＝E ，AB ∩BC ＝B ，

所以平面DEF //平面ABC ．

练习9.3.1

1、填空题

如图，在正方体ABCD -A 'B 'C 'D ' 中：

（1）直线A B '与C D ''是 直线，直线A B '与C D ''所成

的角＝ ；

（2）直线BC 与C D ''是 直线，直线BC 与C D ''所成的

角＝ ；

（3）直线A B '与AD '是 直线，直线A B '与AD '所成的

角＝

2、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1

的中点，求：

（1）直线AD 与EF 所成角的大小；

（2）直线B 1C 与EF 所成角的大小。

参考答案：

1、（1）异面 45°（2）异面 90°（3）异面 60°

2、（1）45°（2）60° 练习9.3.2

1、选择题

（1）若斜线段AB 和长是它在平面α内和射影长的2倍，则

AB 与平面α所成的角为（ ）

A ．60°

B ．30°

C ．120°或60°

D ．150°或30°

（2）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线D 1B 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．12

D ．2 （3）给出以下几个命题：

①一条直线在平面上的射影是一条直线；②在同一平面上的射影长相等，则斜线段长也相等；A B C D A ' B ' C ' D ' F

E

③两条斜线与一个平面所成的角相等，则这两条斜线平行；④过一点只能作一条直线与一平面成45°角。

其中错误的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2、如图长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝1，AA 1＝2．求对角线A 1C 与平面ABCD 所成的角． 参考答案：

1、（1）A （2）A （3）D

2、连接AC ，由题意知△A 1AC 为直角三角形，且∠A 1AC ＝90?．又由题意，可知

AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋12＝2． 而AA 1＝2，所以∠ACA 1＝45?．

因此A 1C 与平面ABCD 所成的角为45?．

练习9.3.3

1、选择题

（1）二面角是指（ ）

A.两个平面所组成的角

B.从一条直线出发两个平面组成的图形

C.从一条直线出发两个半平面组成的图形

D. 两个两平面所夹角为不大于90°的角 （2）给出以下三个命题：

①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的平面角的大小与二面角的两个面的相对位置有关；③二面角的平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置有关。其中正确命题的个数为：（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（3）在正方体ABCD —A 1B 1C

1D 1中，平面A 1BC 1与底面ABCD 所成的二面角（锐角）的 正切值是（ ） A B

．2 C ．3 D 2、如图，已知正方体 ABCD -A 'B 'C 'D '，求二面角 D '-AB -D 的大小． 参考答案： 1、（1）C （2）B （3）D 2、在正方体ABCD -A 'B 'C 'D ' 中，因为AB ⊥平面 ADD 'A '， 所以AB ⊥AD '，AB ⊥AD ，

因此∠D 'AD 即为二面角 D '-AB -D 的平面角．

由于△D 'AD 是等腰直角三角形，因此∠D 'AD ＝45o

，

所以二面角 D '-AB -D 的大小为45o

．

练习9.4.1

1、填空题：

如果空间两条直线a 和b 所成的角等于 ，那么称这两条直线互相垂直，记为 。

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

A

B

C

D

A '

B '

C '

D '

2、选择题：

给出下列命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平行或异面；③经过空间任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

其中正确命题个个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列各组直线是否垂直？

（1）AA1与BC；（2）AB1与CD；（3）A1 B1与AD

参考答案：

1、90°a⊥b

2、A

3、（1）垂直（2）不垂直\（3）垂直

练习9.4.2

1、选择题：

（1）下列四个命题中正确的是（）

①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。

A．①②④B．①④C．①D．①②③④

（2）一条直线l与平面α内两条直线m，n都垂直，则（）

A．l⊥αB．l在α内C．l∥αD．l与α关系不确定

（3）垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是（）

A．垂直B．平行C．斜交D．不能确定

2、如图，已知ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA=PC，PB=PD，O是AC 与BD的交点。求证：PO⊥平面ABCD。

参考答案：

1、（1）B（2）D（3）A

2、因为ABCD是正方形，所以O是AC与BD的中点

在△PAC中，PA=PC，则PO⊥AC；

在△PBD中，PB=PD，则PO⊥BD；

因为AC与BD相于点O，且AC与BD均在平面ABCD中，所以PO⊥平面ABCD

练习9.4.3

O

D

A

B

C

P

1、选择题：

（1）已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ，下列四个命题中，正确的是（ ）

A ．//αγαββγ⊥???⊥?

B ．//m l l m ββ??⊥?⊥?

C ．////m m n n γγ???⊥?

D ． //m m n n γγ⊥???⊥? （2）若平面αβ⊥，则（ ）

A ．α中任意一条直线都垂直于β

B ．α中有且仅有一条直线垂直于β

C ．平行于α的直线都垂直于β

D ．α内至少有一条直线垂直于β

2、如图所示，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆上任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC

3、已知Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边上的高，以AD

为折痕使∠BDC 成直角，如图所示．求证：

(1)平面ABD C ⊥平面BDC ，平面ACD ⊥平面BDC ；(2)∠BAC ＝60?．

参考答案：

1、（1）D （2）D

2、因为AB 是圆O 的直径，C 是圆上点

所以AC ⊥BC

又因为PA 垂直于圆O 所在的平面，BC 在圆O 所在的平面

所以PA ⊥BC

因为,,PA AC A PA AC PAC =?I 平面

所以BC ⊥平面PAC

因为BC PBC ?平面

所以平面PAC ⊥平面PBC

3、(1) 如图(2)，因为AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面BDC ，

因为平面ABD 和平面ACD 都过AD ，

所以平面ABD ⊥平面BDC ，平面ACD ⊥平面BDC ；

(2) 如图(1)，在Rt △BAC 中，因为AB ＝AC ＝a ，所以BC ＝ 2 a ，BD ＝DC ＝22a ．

A B C D A B D C (1) (2)

如图(2)，因为△BDC 是等腰直角三角形，所以BC ＝ 2 BD ＝2×

22

a ＝a ． 所以AB ＝AC ＝BC ．

因此∠BAC ＝60?． 练习9.5.1

1、填空题

（1）侧棱与底面斜交的的棱柱叫 ，侧棱与底面垂直的的棱柱叫 ，底面是正多边形的直棱柱叫 。

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点，这样的多面体叫 ，底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫 。

2、选择题

（1）下列命题中，正确的是（ ）

A ．各侧面都是矩形的棱柱是长方体

B ．各侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

C ．有两个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱

D ．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱

（2）下列命题中，正确的个数是（ ）

①如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形，则它是正四棱柱；②如果四棱柱的底面是正方形，则它是正四棱柱；③在四棱锥P ─ABCD 中，若棱锥的侧棱长相等，则它是正四棱锥；④若棱锥的底面是正方形，则它是正四棱锥。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3、已知一个正四棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，求该正四棱柱的全面积和体积；

4、已知一个正四棱锥 S -ABCD 的高 SO 和底面边长都是4，求它的侧面积．

参考答案：

1、（1）斜棱柱 直棱柱 正棱柱（2）棱锥 正棱锥

2、（1）D （2）A

3、2348,20S cm V cm ==全

4、过点 O 作 OE ⊥ BC 于点 E ，连接 SE ．

则在Rt △SOE 中，SE 2＝SO 2＋OE 2＝16＋4＝20，

所以SE ＝25．

因此S 正棱锥侧＝12Ｃh '＝12

×4×4×25＝165， 所以正四棱锥S -ABCD 的侧面积是165．

练习9.5.2

1、填空题

（1）以 的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面（或平面）所围成的O E A B C D S

几何体叫圆柱；

（2）以直角三角形的一条 为旋转轴旋转一周，其余各边旋转而形成的曲面（或平面）所围成的几何体叫圆锥；

（3）以半圆的 所在的直线为旋转轴旋转一周，所形成的曲面叫球面，曲面围成的几何体叫 。

2、选择题

（1）若圆柱的轴截面面积为4，体积为10π，则它的底面半径是（ ）

A ．2π

B ．5

C ．4π

D ．20

（2）如果圆锥的高等于底面的直径，则它底面积与侧面积的比为（ ）

A ．

B ．

C ．1:2

D ．

（3）球的表面扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的（ ）倍

A ．2

B ．

C

D ．8

3、已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，求该圆柱的全面积及体积．

4．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的全面积及体积．

5、已知球的大圆的周长为4π，求球的表面积及体积

参考答案：

1、（1）矩形（2）直角边（3）直径 球

2、（1）B （2）D （3）B

3、54,54S V ππ==全

4、12,S V π==

全 5、3216,3

S V ππ==球表 练习9.5.3

1、选择题

（1）已知圆柱和圆锥的底面积相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2 =（ ）

A ．1:3

B ．1:1

C ．2:1

D ．3:1

（2）把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（ ）

A ．圆锥

B ．圆柱

C ．球

D ．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体

2、如何所示，该组合体上部分是一个半径为1的圆球，下部分是一个半径为

1的、高为3的圆柱，求几何体的表面积。

3、有一个六角螺母毛坯，它的底面正六边形的边长是12 mm ，高是10 mm ，

内孔直径是10 mm，求这个毛坯的体积．参考答案：

1、（1）D（2）D

2、10π

3、因为V正六棱柱＝

3

4×12

2×6×10 ≈3 741 (mm3)，V圆柱＝π×52×10≈785(mm3) ，

所以一个毛坯的体积为V＝3741－785＝2 956 (mm3) ≈2．96 (cm3)．

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