功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

第14卷第4期

2000年7月常熟高专学报JournalofChangshuCollegeVol.14No.4July.2000

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

范　瑜,邬正义

(常熟高等专科学校物理系,常熟　215500)Ξ

摘　要:在经典谱估计领域,由Welch提出的修正周期图法获得了有效的应用。其优点是简单、易于理解、便于计算。在多数情况下,其频率分辨率、Matlab对于Welch方法的估计特性进行了分析,关键词:Welch;谱估计;窗函数

中图分类号:TM935　:A(2000)04-0036-04　　FFT快速算法,所以又称之为非参数方法。如果利用相关函数,把求功率谱的估计,直接用x(n)的FFT来实现,则称为周期图法,即

Ωj^Px(e)=F[R^xx(m)]=

N-1NF[x(n)3x(-n)]=NΩj2|X(e)|(1)

(2)

(3)

(4)其中,X(e)=所以,^Px(k)=其中,X(k)=Ωjn=0∑x(n)eΩ-jnNN-1

n=0|X(k)|,k=0,1,…,N-1x(n)e-j2∑Nkn

理论和实践均证明周期图法谱估计的波动比较显著,尤其当N愈大,波动愈严重。但若N取太小,分辨[1][2][3]率又明显下降。

在目前实际中,经典谱估计获得有效应用的是由Welch提出的修正周期图法。

1　Welch法谱估计

Welch法谱估计采取数据分段加窗处理再求平均的办法

,先分别求出每段的谱估计,然后进行总平均。根据概率统计理论证明,若将原长度为N的数据分成K段,每段长度取M=N/K,如各段数据互为独立,则估计的方差将只有原来不分段的1/K,达到一致估计的目的。但若K增加、M减小,则分辨率下降。相反,若K减小、M增加,虽偏差减小,但估计方差增大。所以在实际中必须兼顾分辨率与方差的要求适当选取K与M的值。

Welch法谱估计流程如图1.在分段时为了减少因分段数增加给分辨率带来的影响,采取各段数据有一定重叠的方法。

Ξ　收稿日期:2000-05-08作者简介:范瑜,男,1976年生,助教

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

第4期　　　　　　　　范瑜　邬正义:功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

数据

分

段窗处理37求各段功率谱　　

图1求平均功率谱　　

2　不同窗函数的谱估计性能分析

为分析Welch谱估计的性能,我们采用Matlab进行了计算,选取如下计算参数:

(5)输入信号,x(n)=sin(23π31503t)+sin(23π

32003t)

假设噪声为加性高斯白噪声,噪声方差为0.1。FFT点数256,采样点数1000,分段重叠128,在此基础上,研究不同窗函数的作用。选取窗长度255的Chebyshev窗、Hanning窗、Kaiser窗、Rectangular窗做分析,其结果如图2所示:

图2

由图2分析可知,在其他条件一致的情况下,Kaiser窗和

Hanning窗的噪声水平较低,而Chebyshev窗的分辨率较好。Reclangular窗由于对信号的突然截断及无法避免的吉布斯现象,频谱泄露严重,噪声水平较高。

在进行谱分析时选择什么样的窗函数是由具体的使用环境来决定的。如果仅要求分辨率高能精确读出主瓣频率而不考虑幅度的精度,例如测振动物体的自振频率时,则可选用主瓣宽度比较窄便于分辨的Rect2angular窗函数。从图2也能看出Rectangular窗的主瓣频率指示最精确。对存在于强干扰情况下的窄带信号,若干扰靠近信号则可选用旁瓣幅度较小的窗函数;若离开通带较远则可用渐近线衰减速度比较快的窗函数。总之,窗函数的选择一定要针对不同的信号和不同的处理目的加以选用才能收到良好效果。

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

38常熟高专学报　　　　　　　　　　　　　　　　2000年从图2不难看出,谱估计的噪声水平与谱估计的峰值精确度是一对矛盾。这取决于窗函数的选取,我们以Kaiser窗的选取来说明这个问题。

Kaiser窗是利用贝塞尔函数逼近一个理想的窗:

I0[α

w(n)=)2-(n-)2],0ΦnΦN-1(6)

I0[α(2)]

其中I0是第一类零阶变型贝塞尔函数,利用下列快速收敛级数可以计算出任意需要的精度。

∞

I0(x)=1+

k=1()[∑k!2k2](7)

α是独立参数,可以在频谱的主瓣宽度与旁瓣峰值之间进行选择。一般增大α将使主瓣宽度增加,旁瓣幅度减小,如α=8.5则特性就接近Blackman窗。由此可见Kaiser窗是一种可变窗,它改善了其他单纯地用加宽过渡带来换取旁瓣幅度减小的缺点,通过改变α值(通常4<α<9),选择满足设计指标所要求的窗函数。

在实际计算时,β:

α>50　0.1102(α-8.7)

β=

　(8)0.5842(α-21)0.4+0.07886(α)　0

增加β可以展宽主瓣,,,需要指出,

,,在预处理时应把直流或周期分量去掉,。

由于,有效地减小了方差和偏差,提高估计质量,满足一致估计的要求,在经典领域中得到广泛应用。

与直接用FFT估计功率谱密度(图3)相比:

图3

比较可知,Welch法估计谱密度方差明显减小;并且,从噪声水平看,Welch法谱估计的噪声水平明显低于直接对信号作FFT来估计谱密度的噪声水平。在有一定数量采样数据的情况下,信号分辨率已能满足实

[4][5]际应用的需要。

对于短数据的谱分析,Welch方法表现出其局限性,对此我们进行了研究。在以下的计算中,选取信号频率400Hz、300Hz、采样频率1000Hz、采样点数100,假设噪声为加性高斯白噪声,噪声方差为0.1。FFT点数

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方法中的窗函数研究39256,分段重叠25,研究不同窗函数的作用。选取窗长度50的Chebyshev窗、Hanning窗、Kaiser窗、Rectangular窗做分析,其结果如图4所示

:

图4

在短数据情况下,频率分辨率明显下降,如图4所示,信号的谱估计已不能令人满意,谱峰不够尖锐。特别是Rectangular窗,若信号功率再减小,必将淹没于噪声之下而无法识别。如何在短数据情况下提高信号估计的质量,如何选取最佳窗函数、提高频谱分辨率,我们正致力于进一步研究上述问题。

参考文献

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[2]　吴湘淇.信号、系统与信号处理[M].电子工业出版社,1996.

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ModifiedPeriodograms.”IEEETrans.AudioElectroacoust.Vol.AU-15(June1970).70-73.

TheResearchofWelchMethodinEstimateofPowerSpectram

FANYu　,　WUZhen-yi

(Dept.ofPhysics,ChangshuCollege,Changshu215500)

Abstract:Inthefieldofclassicalchart,Welchputforwardtoamendperiodictable,whichisprovedtobeeffectiveinap2pliance.Itissimpleandeasytounderstand,besides,itisconvenienttocalculate.Undermanyconditions,itsfrequencydistinctionandestimatevariancecansatisfythepracticalappliance.ThispaperisabouttheanalysisofcharacteristicsofWelch’sestimatechat,itsadvantagesanddisadvantagesaswell.

Keywords:Welch;PowerSpectramestimation;Windowfunction

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v5g4.html