(2019-2020)【重点资料】高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4

1 1.1.

2 弧度制

A 级 基础巩固

一、选择题

1．下列说法中，错误的是( )

A ．半圆所对的圆心角是π rad

B ．周角的大小等于2π

C ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D

2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )

A.

143π B ．－143π C.718 π D ．－718

π 解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73

×2π＝－143

π. 答案：B

3.把－1 125°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Ｚ)的形式是( )

ＴA.－π4

－6π B.7π4－6π C.－π4－8π D.7π4

－8π 解析：－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋7π4

，故选D. 答案：D

4.在半径为10的圆中，4π3

的圆心角所对弧长为( ) A.40π3 B.20π3 C.200π3 D.400π3

解析：由于r ＝10，α＝4π3，所以弧长l ＝r ·α＝40π3

. 答案：A

2 5.周长为9，圆心角为1 rad 的扇形面积为( )

A.92

B.94

C.π

D.2 解析：由题意可知?????2r ＋l ＝9，l ＝r ， 所以?????r ＝3，l ＝3，

所以S ＝12lr ＝92

. 答案：A

二、填空题

6.半径为12 cm 的圆中，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为___________.

解析：圆心角α＝8π12＝2π3，所以α＝2k π＋2π3

，k ∈Ｚ. 答案：???α????

??α＝2k Ｔπ＋2π3，k ∈Ｚ 7.设扇形的周长为4 cm ，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是___________

解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，由题设可得?????l ＋2r ＝4，12

lr ＝1??????r ＝1，l ＝2，则扇形圆心角所对的弧度数是α＝l r

＝2.

答案：2

8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；

(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．

解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1， 所以r ＝l |α|＝1π180

＝180π

. (2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝

l |α|＝1. 答案：(1)180π

(2)1 三、解答题

9.已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是R ，弧长是l ，扇形的周长为y ，则y ＝l ＋2R .

由题意，得12lR ＝25，则l ＝50R

，

3 故y ＝50R

＋2R (R ＞0). 利用函数单调性的定义，可以证明：

当0＜R ≤5时，

函数y ＝50R

＋2R 是减函数； 当R ＞5时，函数y ＝50R

＋2R 是增函数. 所以当R ＝5时，y 取最小值20，

此时l ＝10，α＝l R

＝2，

即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值.

10.已知α＝2 000°.

(1)把α写成2k π＋β(k ∈Ｚ，β∈[0，2Ｔπ))的形式；

(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π).

解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋10π9

. (2)因为θ与α的终边相同，

所以θ＝2k π＋10π9

，k ∈Ｚ， 又θ∈(4π，6π)，

所以当k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9

. [B 级 能力提升]

1.圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )

A.1

B.12

C.π6或5π6

D.π3或5π3

解析：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，

所以可得2α＝π3或2π－2α＝π3，解得α＝π6或α＝5π6

. 答案：C

2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.

解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以

经过一小时，时针转过－π6

rad. 答案：－π6

4 3.已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.

(1)求弦AB 所对的圆心角α(0＜α＜π)的大小；

(2)求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .

解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10，所以△AOB 为等边三角形，所以α＝∠AOB ＝π3.

(2)因为α＝π3，所以l ＝|α|·r ＝10π3，

S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3.

又S △AOB ＝12×10×10×3

2＝253，

所以S ＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50????π3－3

2.

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