山东省济南市2014届高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）

山东省济南市2014届高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）

1．若a?bi?25(a、b都是实数,i为虚数单位）,则a+b=( ) 3?4iA．1 B．-1 C．7 D．-7 【答案】B 【解析】

试题分析：因为a?bi?25(3?4i)25,a?bi?3?4i， ，即a?bi?3?4i25由复数相等的充要条件，a?3,b??4, 所以，a?b??1，选B.

考点：复数的四则运算，复数相等的充要条件.

2．已知集合M?{y|y?x2?1},N?{y|x2?y2?1},则M?N?( ) A．{(0,1)} B．{1,?2} C．{1} D．[?1,??) 【答案】C 【解析】

试题分析：因为M?{y|y?x2?1}?{y|y?1}，N?{y|x2?y2?1}?{y|?1?y?1}，所以M?N?{1}，选C.

考点：集合的运算，函数的定义域、值域. 3．设P?e0.2,Q?ln0.2,R?sin15?,则( ) 7A．P?R?Q B．R?Q?P C．R?P?Q D．Q?R?P 【答案】D 【解析】

R?sin试题分析：因为P?e0.2?1,Q?ln0.2?0，

所以Q?R?P，选D.

考点：指数函数、对数函数的性质，诱导公式. 4．等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3?6,s3?A．1 B．?【答案】C

【解析】

15???2?sin(2??)?sin?(,1)，7772?4xdx,则公比q的值为( )

03111 C．l或? D．-1或? 222

试题分析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn,s3??4xdx?2x03230|?18，a3?6，

设公比为q，则a1(1?q?q2)?18,a1q2?6，所以2q2?q?1?0，解得q= l或?C.

考点：等比数列的通项公式及前n项和，定积分计算.

1，选25．将函数y?sinx?cosx的图象向左平移m(m?0)个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m的最小值是( ) A．

?4 B.

?3?5? C． D．

664【答案】A

【解析】

试题分析：函数y?sinx?cosx的图象向右平移m(m?0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，说明得到的是一个偶函数.而y?sinx?cosx?移m(m?0)个单位长度后，得到函数y?即m?k??2sin(x?)的图象向右平

4?2sin(x??4?m)所以

?4?m?k???2,k?z?4,k?z，m的最小值是

?4，选A.

考点：三角函数辅助角公式，三角函数图像的平移，诱导公式.

6．“m?3”是“直线l1：2(m?1)x?(m?3)y?7?5m?0与直线l2：(m?3)x?2y?5?0垂直”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：m?3时，有直线l1：8x?8?0，l2：2y?5?0，两直线垂直；反之，如果“直线， l1：2(m?1)x?(m?3)y?7?5m?0与直线l2：(m?3)x?2y?5?0垂直”则2(m?1)(m?3)?(m?3)?2?0,m?3或m??2，

故“m?3”是“直线l1：2(m?1)x?(m?3)y?7?5m?0与直线l2：(m?3)x?2y?5?0垂直”的充分不必要条件，选A. 考点：直线垂直的条件，充要条件.

?x?y?0?7．设变量x,y满足约束条件?x?y?1,则目标函数z?x?5y的最大值为( )

?2x?y?1?A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D 【解析】

试题分析：画出可行域及直线x?5y?0（如图），平移直线x?5y?0，当其经过A(0,1)时，

z?x?5y?5最大，故选D.

考点：简单线性规划的应用 8．函数y?2x?x2(x?R)的图象大致为( )

【答案】A 【解析】

试题分析：观察函数可知，該函数是偶函数，其图像关于y轴对称，据此可排除B,D.又在y轴附近，函数值y接近1，所以C不符合.选A.

考点：函数的奇偶性，函数的图像.

9．已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：

①若???,m//?,则m??；②若m??,n??,且m?n,则???；③若

m??,m//?,则???； ④若m//?,n//?,且m//n,则?//?．其中正确命题的序号

是( )

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【解析】

试题分析：当???,m//?时，有m??、m//?、m??等多种可能情况，所以①不正确；

当m??,n??且m?n时，由平面垂直的判定定理知???，所以②正确； 因为m??,m//?,所以???，③正确；

④若m//?,n//?,且m//n,则?//?或?,?相交，其不正确，故选B. 考点：平行关系，垂直关系.

10．设M是?ABC边BC上任意一点,N为AM的中点,若AN??AB??AC,则λ+μ的值为( ) A．

111 B． C. D．1

324【答案】A

【解析】

1111AM＝(AB?BM)?AB?BM 2222111t1tt（?）AB?AC =AB?tBC?AB?(AC?AB)?22222221tt1∴?＝??＝,????＝

2222试题分析：设BM＝tBC，则AN＝故选A． 考点：平面向量的线性运算

x2y211．已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线2?2?1(a?0,b?0)有相同的焦点F,点A

ab是两曲线的一个交点,且AF?x轴,则双曲线的离心率为( )

2A．2 B．1?3 C.2?2 D．1?2

【答案】D 【解析】

试题分析：因为∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p?2c ，∵A是它们的一个公共点，且AF?x轴

（ ，p）设A点的纵坐标大于0，∴AF?p，∴A

p2p2p2??1 ∵点A在双曲线上，∴4a2b2c24c2?1 ∵p?2c，b?c?a，∴2?22ac?a222化简得：c4?6c2a2?a4?0,?e4?6e2?1?0 ∵e2＞1?e2?3?22,e?2?1，选D.

考点：双曲线、抛物线的几何性质

12．设f(x)是定义在R上的可导函数,当x≠0时,f(x)?＇f(x)?0,则关于x的函数xg(x)?f(x)?1的零点个数为( ) xA．l B．2 C．0 D．0或 2 【答案】C 【解析】

xf＇(x)?f(x)f(x)?0，得?0， 试题分析：由f(x)?xx＇当当

时，时，

，即，即

，函数，函数

单调递增； 单调递减．

又

的零点个数．

当

时，

，当

，函数的零点个数等价为函数

时，，所以函数无

零点，所以函数的零点个数为0个．故选C．

考点：函数的零点，利用导数研究函数的单调性.

13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S是________．

【答案】1007 【解析】

试题分析：观察并执行如图所示的程序框图，其表示计算s??1?2?3?4?5?......?2013?2014，所以输出S为1007. 考点：算法与程序框图，数列的求和.

14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．

【答案】

1 2【解析】 试题分析：观察三视图可知，该几何体底面为直角梯形的四棱锥，且其一个侧面与底面垂直.根据主视图是腰长为1的等腰直角三角形,可得四棱锥的高为

2，所以其体积为211121??(1?2)?12?12??，故答案为.

23222考点：三视图，几何体的体积.

15．已知定点Q(2,?1),F为抛物线y2?4x的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当

|PQ|?|PF|取最小值时P的坐标为________．

【答案】(,?1) 【解析】

试题分析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知PF?PD，

14，Q三点共线时|PQ|?|PF|最小. ∴要使|PQ|?|PF|取得最小值，即须D，P将Q(2,?1)的纵坐标代入y2?4x得x?考点：抛物线的定义及其几何性质

16．已知m?0,n?0,若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)2?(y?1)2?1相切,则m?n的取值范围是________． 【答案】m?n?2?22 【解析】

试题分析：因为m?0,n?0,直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)2?(y?1)2?111，故P的坐标为(,?1). 44

相切,，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1. 所以|m?1?n?1?2|(m?1)2?(n?1)2?1，即|m?n|?(m?1)2?(n?1)2,

mn?m?n?1，由基本不等式得

两边平方并整理得，

m?n?1?(m?n2),(m?n)2?4(m?n)?4?0 2解得m?n?2?22，故答案为m?n?2?22. 考点：直线与圆的位置关系，距离公式，基本不等式，一元二次不等式的解法.

17．已知m?(2sinx,sinx?cosx),n?(3cosx,sinx?cosx),函数f(x)?m?n. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)在?ABC中,角A、B、C的对边为a,b,c,若f()?2,b?1,?ABC的面积为求a的值．

【答案】(1) f(x)?2sin(2x?【解析】

A23,2?6);(2) a?7.

试题分析：(1)利用平面向量的坐标运算及倍角的三角函数公式，即可化简得到函数f(x)的解析式为f(x)?2sin(2x??6)；

(2) 利用f()?2可建立方程sin(A?式及余弦定理，即可求得a?A2?6)?1 从而首先得到A?2?，进一步应用面积公37.

本题解答思路清晰，难度不大，较为注重了基础知识的考查.

试题解析：(1)∵f(x)?m?n=(2sinx,sinx?cosx)?(3cosx,sinx?cosx) =23sinxcosx?sin2x?cos2x 3分

?2sin(2x?)

6故函数f(x)的解析式为f(x)?2sin(2x?(2)∵f()?2sin(A???6) 6分

A2??2?)?2 即sin(A?)?1 所以 A? 8分 663又

13bcsinA?，可得：c?2 10分 22

所以a?b?c?2bccosA?1?4?2?7,得a?2227 12分

考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，已知三角函数值求角，余弦定理的应用.

4x?m18．已知函数f(x)?是奇函数． x2(1)求m的值：

(2)设g(x)?2x?1?a．若函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．

【答案】（1）m??1. （2）[2,??). 【解析】

试题分析：（（1）由函数f(x)是奇函数可知：f(0)?1+m?0， 即得m??1.

4x?1?2x?1?a至少（2）根据函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点，转化得到方程x2x有一个实根.即方程4?a?2?1?0至少有一个实根 ，令t?2?0，则方程t?at?1?0xx2至少有一个正根.

接下来可有两种思路，一是通过分离参数，应用基本不等式；二是利用二次函数知识. 试题解析：（1）由函数f(x)是奇函数可知：f(0)?1+m?0， 2分 解得m??1. 4分 （2）函数f(x)与g(x)的图象至少有一个公共点

4x?1?2x?1?a至少有一个实根 6分 即方程x2即方程4?a?2?1?0至少有一个实根 8分

x令t?2?0，则方程t?at?1?0至少有一个正根

xx2方法一：由于a?t??2

∴a的取值范围为[2,??). 12分

1t???0?方法二：令h(t)?t2?at?1，由于h(0)?1?0，所以只须?a，

?0??2解得a?2.

∴a的取值范围为[2,??).

考点：函数的奇偶性，指数函数的性质，二次函数的性质，基本不等式. 19．已知{an}为等比数列,其中a1=1,且a2,a3+a5,a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式：

(2)设bn?(2n?1)?an,求数列{bn}的前n项和Tn．

?1?【答案】(1)an????2?【解析】

n?1；(Ⅱ)Tn?6?2n?3. 2n?1试题分析：(1)设在等比数列?an?中，公比为q, 根据因为a2,a3?a5,a4成等差数列.建立q的方程.

?1? (Ⅱ)由（I）可得bn?(2n?1)???2?n?1.从其结构上不难看出，应用“错位相减法”求和.

此类问题的解答，要特别注意和式中的“项数”. 试题解析：(1)设在等比数列?an?中，公比为q, 因为a2,a3?a5,a4成等差数列.

所以 2(a3?a5)?a2?a4 2分

2(q2?q4)?q?q3

解得 q?1 4分 2n?1?1?所以an????2? 6分

n?1?1?(Ⅱ)bn?(2n?1)???2?.

Tn?b1?b2?b3???bn

1?1?Tn?1?1?3??5????2?2?22?1??(2n?1)????2?3n?1①

n11?1??1?Tn?1??3????5????22?2??2?①—②,得

?1??(2n?1)???② 8分

?2?

?1?1?21Tn?1?2??????2??2?2??1?????2?n?1n??1???(2n?1)???

?2???n??1?n?1??1??1?2?1?????(2n?1)???

?2????2???2n?3 10分 2n2n?3所以Tn?6?n?1 12分

2?3?考点：等差数列的性质，等比数列的通项公式，“错位相减法”.

20．在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD＝１,AA1＝AB＝２．点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点．

(1)当E点是AB中点时,求证：直线ME‖平面ADD1 A1； (2)若二面角AD1ＥＣ的余弦值为

45．求线段AE的长． 153. 2【答案】（1）证明：见解析；（2）AE?【解析】

试题分析：（1）证明：取DD1的中点N，连结MN、AN、ME，由三角形中位线定理得到 MN∥

11CD，AE∥CD，所以四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN，即得证. 22（2）利用空间向量.

设AE?m，建立空间直角坐标系，将问题转化成计算平面的“法向量”夹角的余弦，建立AE?m的方程.

试题解析：（（1）证明：取DD1的中点N，连结MN、AN、ME， 1分 MN∥

11CD，AE∥CD， 3分 22?四边形MNAE为平行四边形，可知 ME∥AN 4分

AN?平面ADD1A1 ME?平面ADD1A1

?ME∥平面AD1. 6分

（2）设AE?m，如图建立空间直角坐标系 7分

zD1A1NMB1C1DCyAxEB

A(1,0,0),E(1,m,0),C(0,2,0),D1(0,0,2)，

AD1?(?1,0,2),AE?(0,m,0),DC?(0,2,?2),EC?(?1,2?m,0),平面AD1E的法向量1为n1?(x1,y1,z1)，由n1? AD1?0及n1?AE?0得n1?(2,0,1) 9分

平面D1EC的法向量为n2?(x,y,z)，由n2? DC?0及n2?EC?0得n2?(2?m,1,1) 111分

cos??n1n2n1n2?5?2m5(2?m)?1?12?4502?，即2m151m1?6?1，29解得0343m?或m?(舍）

2103所以AE? 12分

2考点：直线与平面平行的判定，二面角，距离的计算，空间向量的应用. 21．已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx，a?1． 2(1)求f(x)的单调区间；

(2)若g(x)?(2?a)x?lnx,f(x)?g(x)在区间[e,??)恒成立,求a的取值范围． 【答案】(1)（i）a?2, f(x)在(0,??)单调增加.

(ii)1?a?2,f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加. (iii)a?2,f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调递增. （2）a?2e?12e . 2

【解析】 试

题

分

析

：

(1)

f(x)的定义域为(??0,.

a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a??? 注意分以下情况讨论导函数值

xxx'的正负，确定函数的单调区间.a?2， 1?a?2,a?2等.

12x?alnx?2x?0恒成立. 212a'引入函数F(x)?f(x)?g(x)?x?alnx?2x， 则F(x)?x??2?2a?2?0

2x12得到F(上是增函数，从而只需F(e)?e?a?2e?0，求得x)在区间[e,??）21a?2e?e2 .

2（2）由题意得f(x)?g(x)?试题解析：(1)f(x)的定义域为(0,??). 1分

a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)f(x)?x?a??? 3分

xxx'(x?1)2（i）若a?1?1即a?2,则f(x)?故f(x)在(0,??)单调增加. 4分

x'(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0; 当x?(0,a?1)或x?(1,??)时，f'(x)?0；

故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加. 5分 (iii)若a?1?1,即a?2,

同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调递增. 6分 （2）由题意得f(x)?g(x)?设F(x)?f(x)?g(x)?则F(x)?x?'12x?alnx?2x?0恒成立. 212x?alnx?2x， 8分 2a?2?2a?2?0 x所以F(x)在区间[e,??）上是增函数， 10分 只需F(e)?121e?a?2e?0即a?2e?e2 12分 22考点：应用导数研究函数的单调性、最值.

2x2y222．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点M(2，1),离心率为2．

ab(1)求椭圆C的方程：

(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程．

x2y2??1.(2) x?y?【答案】(1) 1?0. 42【解析】

21?2?1 ②， 即得解. 2ab (2)两种思路，一是讨论①当直线l的斜率为0，②当直线l的斜率不为0的情况；二是讨论①当直线l垂直于x轴，②当直线l与x轴不垂直的情况.两种情况的不同之处在于，直线方

试题分析：(1) 由已知建立方程组a?2b ①

22程的灵活设出.

y?1, 第二种思路可设直线l的方程为y?k(x?1).第一种思路可设直线l的方程为x?m两种思路下，都需要联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程.

本题是一道相当典型的题目.

c2a2?b2122?a?2b试题解析：(1) 由已知可得2?，所以 ① 12aa2分

又点M(2,1)在椭圆C上，所以由①②解之，得a2?4,b2?2.

21?2?1 ② 2分 2abx2y2??1. 4分 故椭圆C的方程为42(2)解法一：①当直线l的斜率为0时,则k1?k2?333??; 5分 4?24?24y?1, ②当直线l的斜率不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x?mx2y222?1,整理得(将x?m. 7分 m?2)y?2my?3?0y?1代入?42则y1?y2??3?2m, 9分 yy?1222m?2m?2y1,xy1, 又x1?m1?2?m2?所以,k1?k2?9?3(y?y)?yy(3?y)(3?y)3?y13?y2121212 ? ??29?3m(y?y)?myy3?my)(3?my)4?x14?x2(121212

?2m?3?22m?2m?2

=?2m?39?3m2?m22m?2m?29?3?3m2?2m?534m?1 11分 ???224m?648m?1232t

4t?2t?2513当t?0时即m??时，k1?k2?；

4432t32当t?0时，k ?k????122254t?2t?254(t?)?2t733?k1?k2? 或?k1?k2?1 1244m?1,则k令t?4?k12??2当且仅当t?5,即m?1时, k1?k2取得最大值. 13分 由①②得,直线l的方程为x?y?1?0. 14分

663+22=5; 解法二：①当直线l垂直于x轴时,则k1?k2?4?14?163?②当直线l与x轴不垂直时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y?k(x?1),

x2y2将y?k(x?1)代入??1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?4?0.

424k22k2?4,x1x2?则x1?x2? 1?2k21?2k2又y1?k(x1?1),y2?k(x2?1), 9?k2?(3k?k2)x1x2?k2x1x23?2k?5k23?y13?y2?, 所以,k1?k2? ??24?6k4?x14?x216?4(x1?x2)?x1x223?2k?5k2?k??k?1,h(k)?0令h(k)?由得或 234?6k所以当且仅当k?1时k1?k2最大，所以直线l的方程为x?y?1?0.

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线方程，基本不等式，应用导数研究函

数的最值.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v576.html