奥数：MSDC.初中数学 有理数B级 第01讲 学生版

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有理数的概念与运算

中考要求

内容 有理数 基本要求 理解有理数的意义 能用数轴上的点表示有理数；知数轴 道实数与数轴上的点一一对应 会用有理数表示具有相反意义的相反数 量；借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数 掌握有理数的加、减、乘、除及能用有理数的运算有理数的运算 理解乘方的意义 乘方和简单的混合运算（以三步解决简单问题 为主） 在解决实际问题中，能按问题的近似数、有效数字了解近似数和有效数字的概念；要求对结果取近似值；能对含有和科学计数法 会用科学计数法表示数 较大数值的信息作出合理的解释和推断 掌握相反数的性质 略高要求 会比较有理数的大小 较高要求 重难点

1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算

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课前预习

数学符号的由来

在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生。

“?”是15世纪德国数学家魏德美所创造的。它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加 “?”也是德国数学家魏德美创造的。它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少

“?”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写

“?”是18世纪瑞士人哈纳创造的。它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开 “=”是16世纪英国学者列科尔德创造的。列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。

17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号

17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”全等。

例题精讲

模块一 正负数与有理数的分类

1. 对于正负数的理解不能简单理解为带“?”号的数就是正数，带“?”号的数就是负数。 2. 相反意义的两个量是相互的，也是相对的。

3. 掌握有理数的两种分类：按“定义”分类与按“性质符号”分类 ?正负数

【例1】 如果收入200元，记作?200元，那么支出150元，记作

【巩固】如果水位下降3m，记作“?3m”，那么“?4m”表示

【例2】 某轿车的车圈零件的半径设计标准是200mm，估计误差?0.5mm，甲工人制作的零件半径为

200.4mm，乙工人制作的零件半径为199.2mm，则 工人制作的产品合格

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0.05【巩固】一名工人师傅看到加工零件外径尺寸在图纸上标注是60?，则该零件的最大尺寸?0.03（单位：mm）

为 ，最小尺寸为

?有理数的分类

【例3】 下列说法：①0是整数；②负分数一定是负有理数；③一个数不是整数就是负数；④??为有理

数；⑤最大的负有理数是?1，正确的序号是

【巩固】下列说法：①正数、零、负数统称为有理数；②正有理数、负有理数统称有理数；③整数和分数

统称为有理数；④小数一定是有理数；⑤0?C表示没有温度，错误的序号是

【巩固】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最

大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是

模块二 数轴、相反数、倒数

1. 数形结合思想是一种重要的数学思想。数轴就是数形结合的工具。 2. 数轴是条直线，可以向两方无限延伸。

3. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可。

4. 所有有理数都可以用数轴上点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数 5. 相反数是成对出现的，不能单独存在。相反数和为零。 ?数轴

【例4】 数轴上与原点距离5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和

【巩固】与原点距离不大于3个单位长度的点表示的整数是

【巩固】在数轴上，点P到表示2的点的距离是3，则点P表示的数为

【例5】 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试定墨迹盖住的整

数共有几个

4.11014.3

【巩固】 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm，若在数轴上任意画出一条长

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