计算机控制系统(刘士荣版)第二版

4-6试求下列函数的初值和终值

2

(1)X(z)

1 z 1T2z(z 1)

(3)X(z)

(z 1)3

解

(1)

10z 1

(2)X(z)

(1 z 1)25z2

(4)X(z)

(z 1)(z 2)2

2

z 1 z 1

z 1

x(0) limX(z) lim

z z 1

x( ) lim(z 1)X(z) lim(z 1)

2

21 z 1

10z 1

(2)x(0) limX(z) lim 0

z z (1 z 1)2

10z 1

x( ) lim(z 1)X(z) lim(z 1)

z 1z 1(1 z 1)2

T2z(z 1)

(3)x(0) limX(z) lim 0

z z (z 1)3

T2z(z 1)x( ) lim(z 1)X(z) lim(z 1) 3z 1z 1(z 1)5z2

(4)x(0) limX(z) lim 5

z z (z 1)(z 2)

5z2

x( ) lim(z 1)X(z) lim(z 1) 5

z 1z 1(z 1)(z 2)

4-9S平面与Z平面的映射关系z e解

(1)S平面的虚轴，映射到Z平面为

。

(2)S平面的虚轴，当 由0趋向∞变化时，Z平面上轨迹的变化。

从（1，0）绕单位圆逆时针旋转无穷圈

(3)S平面的左半平面，映射到Z平面为。(4)S平面的右半平面，映射到Z平面为单位圆外。(5)S平面上 由0趋向∞变化时，Z平面上轨迹的变化。

若 不变，则Z平面上轨迹为从原点出发的一条射线，其角度由 决定

4-12已知闭环系统的特征方程，试判断系统的稳定性，并指出不稳定的极点数。解

(2)z 1.5z 0.25z 0.4=0

3

2

sT

e Tej T

4-120070503

z

w 1w 1

3

2

w 1 w 1 w 1

1.5 0.25 0.4=0 w 1w 1w 1

(w 1)3 1.5(w 1)2(w 1) 0.25(w 1)(w 1)2 0.4(w 1)3=0

w3 3w2 3w 1 1.5[(w2 2w 1)(w 1) 0.25[(w 1)(w2 2w 1)] 0.4(w3 3w2 3w 1)=0

w3 3w2 3w 1 1.5(w3 w2 w 1) 0.25(w3 w2 w 1) 0.4(w3 3w2 3w 1)=0 0.35w3 0.55w2 5.95w 2.65=0 不稳定

(4)z

z 0.632=0

2

z1,2

稳定

1 0.5 j0.618

2

4-15设离散系统如图4-29所示，要求：

图4-29离散系统

(1)当K=5时，分别在z域和 域中分析系统的稳定性；(2)确定使系统稳定的K值范围。解

(1)开环脉冲传递函数为

1 e Ts K1c ab Ts 1

G(z) Z KZ(1 e) K(1 z)Z 2

s(0.2s 1) s2(0.2s 1) ss0.2s 1 s

as(0.2s 1) b(0.2s 1) cs2 (0.2a c)s2 (a 0.2b)s b 1

b 1，a 0.2，c 0.04

4-220070503

G(z) K(1 z 1)Z a s bc 1

0.210.04 s2 0.2s 1 K(1 z)Z s s2

0.2s 1

=K(1 z 1)Z 0.2 0.2s 1

s

2 s 5

Kz 1 0.2zTz0.2z z 1 (z 1)2 z z e 5T K

0.2 1z 1 0.2(z 1) z 0.0067

K

0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2

(z 1)(z 0.0067)

闭环传递函数为

Gc(z)

G(z)1 G(z)

0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2G G(z)K

(z 1)(z 0.0067)

c(z)1 G(z)

1 K

0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2(z 1)(z 0.0067)

K[ 0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2

]

(z 1)(z 0.0067) K[ 0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2]

K[ 0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2]

(1 0.2K)(z 1)(z 0.0067) K(z 0.0067) 0.2K(z 1)2

K[ 0.2(z 1)(z 0.0067) (z 0.0067) 0.2(z 1)2]z2 (0.80134K 1.0067)z 0.192K 0.0067

闭环系统的特征方程为

z2 (0.80134K 1.0067)z 0.192K 0.0067 0

K=5代入，即

z2 3z 0.9667

因为方程是二阶，故直接解得极点为

z1,2

z1 0.2935z2 3.2935

一个极点不在单位圆内，所以系统不稳定。

z

w 1w 1

2

w 1 w w 1 3 1

w 1 0.9667=0

(w 1)2 3(w 1)(w 1) 0.9667(w 1)2=0

3.0333w2 3.9334w 2.9667=0

4-3

20070503

劳斯表为

w2w1w0

3.03333.9334-2.9667

-2.9667

系统不稳定，不稳定的极点数为1个。(2)闭环系统的特征方程为

z2 (0.80134K 1.0067)z 0.192K 0.0067 0

z

w 1w 1

(

w 12w 1

) (0.80134K 1.0067) 0.192K 0.0067 0w 1w 1

(w 1)2 (0.80134K 1.0067)(w 1)(w 1) (0.192K 0.0067)(w 1)2 0

0.99334Kw2 (1.9866 0.384K)w (2.0134 0.60934K) 0

劳斯表为

w2w1w0

0.99334K1.9866 0.384K2.0134 0.60934K

2.0134 0.60934K

若系统要稳定，则应满足以下不等式方程组

0.99334K 0

1.9866 0.384K 0或 2.0134 0.60934K 0

得0 K 3.3042

0.99334K 0

1.9866 0.384K 0 2.0134 0.60934K 0

4-16设离散系统如图4-32所示，其中r(t) t，试求稳态误差系数Kp、Kv、Ka，并求系

统的稳态误差e( )。

解开环脉冲传递函数为

图4-32离散系统

4-420070503

1 e Ts 1 11 11 Ts 1

G(z) Z Z(1 e) (1 z)Z 2

s(s 1) s2(s 1) ss 1 s s

Tzzz T(z e T) (z 1)(z e T) (z 1)2 1 (1 z) 2 T (z 1)z 1z e(z 1)(z e T)

则

T(z e T) (z 1)(z e T) (z 1)2

1 G(z) 1

(z 1)(z e T)

(z 1)(z e T) T(z e T) (z 1)(z e T) (z 1)2

(z 1)(z e T)

T(z e T) (z 1)20.1(z e 0.1) (z 1)2z2 1.9z 0.9095

2

T 0.1

(z 1)(z e)(z 1)(z e)z 1.905z 0.905

1(z 1)(z e 0.1)z2 1.905z 0.905

2

0.12

1 G(z)0.1(z e) (z 1)z 1.9z 0.9095

稳态误差系数

0.1(z e 0.1) (z 1)2Kp lim[1 G(z)] lim

z 1z 1(z 1)(z e 0.1)

稳态速度误差系数

0.1(z e 0.1) (z 1)20.1(z e 0.1)

Kv lim(z 1)G(z) lim(z 1) 0.1 0.1 0.1z 1z 1(z 1)(z e)(z e)

稳态加速度误差系数

0.1(z e 0.1) (z 1)2

Ka lim(z 1)G(z)lim(z 1) 0 0.1z 1z 1(z 1)(z e)

2

2

稳态误差

esr lime(t) lim(z 1)

t

z 1

1

R(z)

1 G(z)

2)单位速度输入时，R(z) 稳态误差

Tz0.1z

(z 1)2(z 1)2

(z 1)(z e 0.1)0.1z(z e 0.1)z

esr lim(z 1) lim 1

z 10.1(z e 0.1) (z 1)2(z 1)2z 1(z e 0.1)

或解

由例4-13知系统的开环脉冲传递函数

T(z e T) (z 1)(z e T) (z 1)2

G(z)

(z 1)(z e T)

可见系统含有一个积分环节，所以是Ⅰ型系统。由表4-2可知

单位速度输入时，

4-5

20070503

T(z e T) (z 1)(z e T) (z 1)2T(z e T)

Kv lim(z 1)G(z) lim(z 1) lim T 0.1

z 1z 1z 1(z e T)(z 1)(z e T)

4-620070503

，esr

T 1Kv

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