离散数学第二版邓辉文编著第一章第一节习题答案

第1章 集合、映射与运算

1.1 集合的有关概念

习题1.1

1.用列举法表示下列集合: (1){x|x?R,x2?5x?6?0}.

(2){2x|x?N}.

解 (1) {x|x?R,x2?5x?6?0}?{2,3}. (2) {2x|x?N}?{0,2,4,6,...,2x,...}.

2. 写出35的所有因数集合及D35.

解 35的所有因数集合为{-35, -7, -5, -1, 1, 5, 7, 35}，D35 = {1, 5, 7, 35}. 3.比较集合?,{?}和{{?}}的不同之处.

解 ?是空集，它里面没有元素; {?}是由空集?组成的集合，它里面有一个元素?; {{?}}里面有一个元素为{?}，但{?}与?是不同的.

4.判定下列断言是否成立，说明理由: (1) ???.

(2) ???. (3) ??{?}.

(4) ??{?}.

解 (1)成立，因为空集是任意集合的子集. (2)不成立，因为空集中不含任意元素. (3)成立，因为空集是任意集合的子集. (4)成立，因为{?}含有元素?.

5.设A和B是集合，试举出使A?B且A?B同时成立的例子.

解 例如A?{a,b}，B?{a,b,{a,b},c}，这时A?B且A?B同时成立. 6.对于任意集合A,B,C，判定下列断言是否成立，说明理由: (1)若A?B且B?C，则A?C. (2)若A?B且B?C，则A?C. (3)若A?B且B?C，则A?C. (4)若A?B且B?C，则A?C.

解 (1)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{a,b,c}，C?{a,b,{a,b},{a,b,c}}，这时有A?B且B?C，而A?C.

(2)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{a,b,c}，C?{b,{a,b},{a,b,c}}，这时有

A?B且B?C，而A?C不成立.

(3)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{{a,b},c}，C?{b,{{a,b},c},{a,b,c}}，

这时有A?B且B?C，而A?C.

(4)不成立. 例如，A?{a,b}，B?{{a,b},c}，C?{b,{{a,b},c},{a,b,c}}，这时有A?B且B?C，而A?C不成立.

7.分别计算 (1)P(P(?)). (2)P({a, b, c}). (3)P({{a,b,c}}).

解 (1)因为P(?) = {?}，所以P(P(?)) = {?，{?}}. (2) P({a, b, c}) = {?, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. (3)P({{a,b,c}}) = {?, {{a,b,c}}}}.

8.试用乘法原理证明定理1-4.

证 设S?{x1,x2,...,xn}，对于S的任意子集A，S中的元素x1可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式；同样，在元素x1定下来以后，在考虑S中的元素x2，它可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式；…；一直下去，对于S中的最后一个元素xn，它可以属于A，也可以不属于A，有2种选取方式. 于

n?????是，根据乘法原理知，S的子集共有2?2?...?2?2n个.

9.证明定理1-5.

证 根据笛卡尔积的定义知，A?B?{(x,y)|x?A,y?B}. 由于这样的有序对(x,y)的第一位置元素x?A有m种选取方式，第二位置元素y?B有n种选取方式，因此根据乘法原理，A?B中的有序对共有mn个，所以|A?B|?mn.

10.设A?{a,b},B?{1,2,3}，试计算

A?A,A?B,B?A,A?B?A,(A?B)?A.

解 计算结果分别为

A?A?{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

A?B?{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. B?A?{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}.

A?B?A?{(a,1,a),(a,1,b),(a,2,a),(a,2,b),(a,3,a),(a,3,b),

{(b,1,a),(b,1,b),(b,2,a),(b,2,b),(b,3,a),(b,3,b)}.

(A?B)?A?{((a,1),a),((a,1),b),((a,2),a),((a,2),b),((a,3),a),((a,3),b),

{((b,1),a),((b,1),b),((b,2),a),((b,2),b),((b,3),a),((b,3),b)}. 11.对于任意集合A,B,C，由A?B?A?C能否得出B?C，为什么？ 若

A???

C?{c,d}，解 若A??，取B?{a,b}，根据笛卡尔积的定义知A?B??

且A?C??，这时A?B?A?C，但B?C.

若A??，则存在元素a?A，这时由A?B?A?C可以得出B?C: 对于任意x?B，因为(a,x)?A?B，所以(a,x)?A?C，根据笛卡尔积的定义知

x?C，即有B?C. 同理可得C?B. 故B?C.

12.设|S|?n，给出一种列出S的所有子集的方法.

解 设S?{x1,x2,...,xn}，将S的所有子集A用长度为n的0，1字符串表示，其中字符串的第i位取1的充要条件是xi?A.

于是，可以按从小到大的顺序列出所有长度为n的0，1字符串，再写出对应的子集，就可以将S的所有子集A列举出来.

注 此方法可用计算机实现.

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