第117讲 流体力学（三）（2010年新版）

四、静止液体作用在曲面上的总压力

在工程中常常会遇到曲面受压问题，如弧形间门，圆柱形油箱等。作用在曲面任意点的液体静压强都沿其作用面的内法线方向垂直于作用面，但曲面各处的内法线方向不同，彼此互不平行，也不一定交于一点。因此，求曲面上的总压力时，一般将其分为水平方向和铅直方向的分力分别进行计算。现研究二向曲面（如柱面、圆弧曲面） AB 上的液体总压力。图 6-2-13AB 为垂直于纸面的柱体，长度 l ，受压曲面 AB ，其左侧承受液体的压力。设在曲面土，深度 h 处取一微小面积 dA ，作用在 dA 上的压力 dP= pdA = ρghdA ，该力垂直于面积 dA ，并与水平面成夹角a，此力可分解成水平分力 dPx= dPcosa = ρgh dAcosa和垂直分力 dPz= dP sina =ρgh dAsina .因为 dAcosa 和dAsina 分别等于微小面积 dA 在铅直面和水平面上的投影．令 dAx = dAcosa， dA z = dAsina，所以 dPx =ρgh dAx 及 dPz= ρgh dAz ，经积分可得：

式（ 6-2-9 ）右边的积分等于曲面 AB 在铅直平面上投影面积 Ax 对液面的水平轴 oy 的静矩. 设 hc 为 A

x

的形心在液面下的淹没深度，则

因此

可见，作用于曲面上的液体总压力P的水平分力Px等于该曲面的铅直投影面上的总压力。因此，可以

引用求平面总压力的方法求解曲面上液体总压力的水平分力。

式 （6-2-10）右边的 hdAz , 是以 dAz 为底面积，水深h为高的柱体体积。

?AzhdAz即受压曲面 AB 与

其在自由面上的投影面积CD这两个面之间的柱体体积 ABCD ，称为压力体，以 V 表示。所以

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这就是说，作用于曲面上液体总压力P的铅直分力Pz等于其压力体内的液体重量。可见正确绘制压力体是求解铅直分力的关键.

压力体是由三种面封闭所成的体积：即 1 ）曲面本身； 2 ）液体的自由表面（相对压强为零）或自由表面的延长面； 3 ）自曲面两端向自由表面作铅垂面。Pz的指向取决于受压曲面和液体的相对位置：液体在受压曲面的上方则Pz向下；液体在受压曲面的下方则Pz向上。求出Px和 Pz 后可求P

P与水平线的夹角

其作用线必通过Px与Pz作用线的交点。P的作用点位于 P 的作用线与曲面的交点. 但对许多实际问题

往往只需求出Px，Pz．即可，并不需要计算合力P。

【 例 6-2 -7 】 长度为 1m 的半圆柱（图 6-2-14 ) ，直径 D 为 3m ，左、右侧均有水，求 A B曲面上的总压力。

【 解 】 （ 1 ）水平分力:

曲面 AB 的水平分力Px等于作用在曲面 AB 的竖直投影面A?B?上的液体总压力A?B?为矩形，由于左、右侧均有水，应用求压强分布图体积的方法比较直观、简便。见图 6-2-14( a ) ，分别作左侧和右侧的压强分布图。由于左、右侧压强方向相反，抵消后剩下

A?C面上的三角形压强分布图和 CB?面上的矩形压强分布图。计算以上压强分布图的面积再乘以圆柱体长

度 〔 垂直于纸面方向） lm 可得到压强分布图体积，即为所求的 Px .

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( 2 ）竖直分力 作压力体图见图 6-2-14 ( b ）。由于 AB 曲面的土半段与下半段绘制压力体时有重

合部分，易混淆，故应以最大轮廓点 C 为分界，将其分为上半段 AC 与下半段 CB ，分别绘制其压力体图。又由于左、右侧均有水，故还需分别绘制左侧和右侧的压力体图。图 6-2-14 ( b ）中， ( l ）为 AC 受左侧水压力的压力体图； ( 2 ）为 CB 受左侧水压力的压力体图； ( 3 ）为 CB 受右侧水压力的压力体图（右侧水对 AC 无压力）。将三者叠加，方向相反的部分抵消后，剩下的压力体图见（ 4 ）。计算 Pz 。

P与水平的夹角

由于 AB 为圆弧面，合力P垂直于 AB 则应通过圆心，过圆心作与水平成 27.6°的直线即为P的作用线，其与曲面 AB 交于 D 点， 可求得 D 点水深hD =

DD＋? sin 27.6°= 2.2m 。 22【 例 62 - 8 】图 6-2- 15 所示一球形容器由两个半球面铆接而成，铆钉有n个，内盛密度为 ρ 的液体，求每一铆钉所受的拉力。

【 解 】 铆钉受的拉力应等于上半球所受的液体总压力（水平分力为零，只有竖直分力）。 绘出上半球的压力体图：压力体由 l ）上半球面； 2 ）自由表面，此处应为过测压管自由液面（相对压强为零）的延长面． 3 ）过上半球周界向自由面的延长而所作的铅垂面，此处即为圆柱面。这样，上

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半球压力体如图示（竖直线所示）。压力体体积为以 R 为半径以 H + R 为高的圆柱体减去以 R 为半径的半球：

第三节 流体动力学基础

本节将分析流体运动的基本规律及其在实际工程中的初步应用。由于工程中许多流动问题都以总流为对象，所以本节将主要讨论总流运动的三个基本方程 ― 连续性方程、能量方程和动量方程。

一、描述流体运动的方法

描述流体运动的方法有两种，即拉格朗日法与欧拉法。拉格朗日法是以个别质点为对象，研究这些质点的各个运动参数随时间的变化情况，再将它们汇总起来以描述流体的整个流动。但是这样研究难度较大而且一般工程问题中只要求知道若干控制断面上运动参数的变化即可，并不需要了解个别质点的运动情况。因此我们通常采用较简便的欧拉法来描述流体的运动。欧拉法是以流场为对象，研究流场中给定空间点上不同质点的运动参数随时间的变化情况，汇总起来就构成了整个流动。按欧拉法，各运动参数如速度 u 、压强 p 等都是空间坐标（x， y ，z）和时间 t 的函数。即

式中坐标x、 y 、 z 和时间变量称为欧拉变数。

在流场中，同一空间点上，不同流体质点通过该点时流速是不同的，即在同一固定点上流速随时间而变化。同时通过该空间点的流体质点的速度也在随时间而变化，因此欧拉方法中任一流体质点在给定空间点上的加速度可以表示为：

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从式（ 6-3 - 2 ）中可以看出，质点的加速度是由两部分组成的，前面的一项

表示不同流体质点通过该空间点流速不同的加速度，称为当地加速度或时变加速度．其余各项

表示流体质点本身在经过该点时具有的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。某一流体质点在给定空间点上的加速度则为上述两种加速度之和.

二、流体运动的基本概念

由于描述流体运动比刚体复杂得多，所以需引用与固体力学不同的一些方法和概念如前所述，我们将流体当作连续介质。本节中我们描述流体运动不是去逐个研究流体质点的运动而是着眼于我们所感兴趣的充满流体质点的流场。研究流场中流体质点通过各个给定的空间点的运动要素的变化。将有关空间点上流体质点的运动清况汇总起来就构成了整个流体的运动。

（一）流线和迹线

流线是在流场中画出的这样一条曲线：同一瞬时，线上各流体质点的速度矢量都与该曲线相切，这条曲线就称为该瞬时的一条流线。由它确定该瞬时不同流体质点的流速方向。其绘制方法如下：

从空间某点 M 开始，沿 tl 时刻 M 点流速 uM 方向取一相邻的点 N ，再沿同一时刻 tl 点 N 的流速

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