微积分下（A层）10-11期末考试试卷答案及评分标准

浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A层)

2010/2011(1)微积分(下)(A层)期末考试试卷答案及评分标准

一、填空题(每小题3分,共15分)

?(?1)n(x?3)n1?y21.?2esinx; 2.?2x; 3.; 4.[0,2]; 5.?,0?x?6. n?134n?1二、单项选择题(每小题3分,共12分)

1. B;

2. B;

3. C;

4. D.

三、计算题(每小题7分,共42分)

1. 计算定积分解 原式

??20xcosxdx. tcost?2tdt

x?t??2?0 ……………2分 ……………4分 ……………6分 ……………7分

?2?? =2?td(sint)=2tsint|0??sint?2tdt? ??00????? =4?td(cost)=4?tcost|? ?costdt0?0??0?? =4(???sint|? 0)=?4?.

2. 设f(x,y,z)?ezyz2,其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?xyz?0所确定的隐函数,求fy?(0,1,?1). 解 fy??ez?z?z, ?yz2?ezz2?ezy?2z?y?y

(1) ………3分

方程x?y?z?xyz?0两边对y求偏导,得……7分

?z?z?xz?zy??0. (2) ………5分 ?y?y?z将x?0,y?1,z??1代入(2),得|(0,1,?1)??1; ………6分

?y2?z再将x?0,y?1,z??1,|(0,1,?1)??1代入(1),得fy?(0,1,?1)=. …7分

?ye 1??2u3. 设u?f(2x?y,ysinx),其中f(s,t)具有二阶连续偏导数,求.

?x?y?u解 ?f1?2?f2?ycosx?2f1?ycosxf2, ………4分

?x?2u =2?f11?(?1)?f12?sinx??cosxf2?ycosx?f21?(?1)?f22?sinx? …6分

?x?y=?2f11?(2sinx?ycosx)f12?cosxf2?ysinxcosxf22.

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…7分

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4. 计算I?解 I=

22,其中区域D?{(x,y)|x?y?2,x?1}. [x?sin(xy)]dxdy??Dy??xdxdy???sin(xy)dxdy=2??xdxdy?0

DDD1…1分 …3分

1D1x2?y2?2?=2?40d??21cos?rcos??rdr

?

O1x1241d?=2?4cos??r3|2 =(22cos??)d? …5分 103cos?3?0cos2??224=(22sin??tan?)|0?. 33??(?1)n1??5.求级数???的和. 2n?1n(n?1)n?1????

…7分

(?1)n2n?1解 设S(x)??,x?[?1,1],则 x2n?1n?1?nx2nx

…1分 …3分

???S(x)=?(?1)?xdx=???(?1)nx2n?dx

00n?1?n?1?x?x1??x2=?=?1?dx dx??0?1?x2?01?(?x2)?x=?(x?arctanx)|0=?x?arctanx.

…4分 …5分

(?1)n??S(1)??1?. 所以,?4n?12n?1?

又

nn111?1??1? ??lim??lim?????lim?1???1. …6分

n??n??n??k?1??n?1?n?1n(n?1)k?1k(k?1)k?1?k?因此,

?(?1)n1??????1??1? ??. ?2n?1n(n?1)44n?1??6. 求微分方程y???4y??3y?excosx?xe3x的通解.

?…7分

解 原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2?4r?3?0,r1?1,r2?3,故齐次微分方程的通解为y=C1ex?C2e3x. 将原方程分解为两个方程:

y???4y??3y?excosx, y???4y??3y?xe3x,

(1) (2)

…2分

*?ex(Acosx?Bsinx),代入方程(1)解得A??,B??设方程(1)的特解是y1152. 5第 2 页 共 4页

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…4分

*设方程(2)的特解是y2?x(ax?b)e3x,代入方程(2)解得a?11,b??.

44

…6分

所以,原方程的通解为

** y?y?y1?y2?C1ex?C2e3x?ex(cosx?2sinx)?151x(x?1)e3x. …7分 4五、应用题(第1小题9分,第2小题12分,共21分)

1. 设函数y?y(x)是微分方程xdy?(x?2y)dx?0满足条件y(1)?2的解,求曲线

y?y(x)与x轴所围图形的面积S.

解 将微分方程xdy?(x?2y)dx?0变形为y??2y??1,所以 x22?2lnx??dx?xdx?x??e?2lnxdx?C e(?1)edx?C y=???=e??????…3分 …4分 =x2????1?2?1?2==, x?Cxdx?Cx?C???2?xx???

?1yOx由y(1)?2得C?1,所以y?x2?x. 如图所示,所求面积为

0…5分

y?x?x1?1312?0 S???(x?x)dx???x?x??1?. …7分

?1326??2. 求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最

22大值和最小值.

2??fx?2x?2xy?0解 (1)由?解得函数f(x,y)在D内的驻点为(?2,1),相应的2f?4y?2xy?0??y函数值为f(?2,1)?2. 值为4,最小值为0.

…2分 …4分

(2)在边界L1:y?0(?2?x?2)上,由f(x,0)?x2知函数f(x,y)在L1上的最大(3)在边界L2:x2?y2?4(y?0)上,令

F(x,y,?)?x2?2y2?x2y2??(x2?y2?4),

由

?Fx?2x?2xy2?2?x?0?? ?Fy?4y?2x2y?2?y?0

?22??F??x?y?4?0第 3 页 共 4页

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?5x????x?02?解得?和?.

y?2??y?3?2?函数f(x,y)在相应点的值为f?????5,23???7和f(0,2)?8. 2??4

…6分 …7分

综上可知函数f(x,y)在D上的最大值为8,最小值为0.

六、证明题(第1小题4分,第2小题6分,共10分)

1. 设平面区域D为x2?y2?R2,?(x)为正值连续函数,试证:

a?(x)?b?(y)?dxdy?(a?b)R2. ???(x)??(y)2D证 由于D关于y?x对称,则

a?(x)?b?(y)a?(y)?b?(x)dxdydxdy =?????(x)??(y)?(y)??(x)DD=

…2分

?1?a?(x)?b?(y)a?(y)?b?(x)dxdy?dxdy???? ??2??(x)??(y)?(y)??(x)?D?D?==

?1?a?(x)?b?(y)a?(y)?b?(x)??dxdy ????2D??(x)??(y)?(y)??(x)?112(a?b)dxdy=. (a?b)?R??2D2…4分

12. (1)设?an是收敛的正项级数,证明:当??时,级数

2n?1?n?1?an收敛;(2)证明级数n??nn?1??n?1n发散.

an1?1?证明 (1)由于???an?2??,而级数

n2?n?从而级数

?an和级数

n?1?11()都收敛,???2?n2n?1??n?1?an收敛. n??n?1n

…3分

?1n1(2)由于lim?1?lim1?1,而级数?发散,故由比较审敛法知级数

n??nn??n?1nnn发散. …6分

?nn?1??n?1n第 4 页 共 4页

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