统计学经典例题（暨南大学出版社）

第五章：平均指标

例1：某公司下属各店职工按工龄分组情况

工龄 组中值 人 数 f x 一店 二店 三店 四店 五店 1.0 1 3.5 1 7.5 1 15.0 1 — 4 — 6.75 ?0～2年 2 ～5年 5 ～10年 10 ～20年 合计 平均工龄 7 7 7 7 28 6.75 25 25 25 25 100 6.75 1 3 6 10 20 10 6 3 1 20 10.325 3.425 （年）?6 .75?68.520（1）

一店平均工龄

（2）

?nx?1?3.5?7.5?154 10?6?3?1例2：水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。问：

五店平均工龄??xf?f?1?10?3.5?6?7.5?3?15?1

?3.425(年)（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？ （2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？

（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？ （4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？ （1）

H?n

?1n?311?11.5?12?32.1667?1.38(公斤/元)（2）

H???1xff?6.5?6.5?6.511?6.5?11.5?6.5?12?6.5?19.514.0833?1.38(公斤/元)（3）H ???1xff?3?2?111?3?11.5?2?12?1?64.83?1.24(公斤/元)（4） x??xn?1?1.5?23?1.（公斤5/元）

例3：自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？ H??f? ?xf30?2?28?2?20?2200?200?200600??25.2(公里/小时)?1xf130?200?128?200?120?20023.81x??f?2?2?2?1566?26(公里/小时)

例4：某牛群不同世代的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头，3世代190头，4世代210头。试求其平均规模。 1H??205(头) 111111(?220?210?190?210)5200 例5：假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。

该地平均储蓄年利率

G?(?(51.5?2.5?11.051.5?1.032.5?1.0221?1)?100%1.183935?1)?100%?3.43%

- 1 -

第7章：抽样调查

例1：从10000盒火柴中,随机抽取50盒,算得样本平均数为49根,样本均方差为2根.求其抽样平均误差。

N?10000,n?50,s?2,x?49 ? x? ?2n?s2n?22?x?2??N?n?2???n?N?1?s?N?n???n?N?1?250?0.2828?2?10000?50????0.2821(根)50?10000?1?

例2：从10000颗螺丝钉中,随机抽取100颗,经检测有5颗不合格.求其抽样平均误差. ?p?

?P(1?P)n?p(1?p)n?p?95%?500.95?0.05?10000?100???100?10000?1??0.02179?0.021686

例3：从一批灯泡中,随机抽取200个,经测算得平均寿命为4800小时,样本标准差为300小时,求其抽样平均误差. n?200,s?30022 ?s?? ?xnn 2300 ??21.21(小时)200

例4：一批罐头中随机抽查300瓶.已知过去几次同样调查所得合格率分99%,98%.求合格率的抽样平均误差.

n?300,P?99%,P21?98%0.98?0.02300?p2?P(1?P)n??0.00808

例5：例：某企业生产A产品的工人有1000人，某日采用不重复抽样从中随机抽取100人调查他们的当日产量，得人均产量为35件，标准差为4.5件。请以95.45%的置信度估计该日人均产量的置信区间。 解：①计算抽样平均误差

?x?sn??1????n?N?24.52100100??1????0.42691000???件?

②计算抽样极限误差

1???0.9545?Z??21?2?x ?Z1??2?x?2?0.4269?0.8538（件）

③确定置信区间

估计区间下限：35－0.8538＝34.15(件) 估计区间上限：35＋0.8538＝35.85(件) 故，可以95.45%的置信度断言，该日人均产量在34.15～35.85件之间 。

- 2 -

例6：某进口公司出口一种茗茶，为检查其每包规格的重量，抽取样本100包，检查结果如下表所示。按规定这种茶叶每包规格重量应不低于150克，试以99.73%的概率对这批茶叶的平均重量做出估计。 每包重量（克） 包数 f 148---149 149---150 150---151 151---152 合计 x?10 20 50 20 100 组中值 x 148.5 149.5 150.5 151.5 … xf 1486 2990 7525 3030 15030 －1.8 －0.8 0.2 1.2 … 3.24 0.64 0.04 1.44 … 32.40 12.80 2.00 28.80 76.00 备注 70包大于150 克/包 解：①计算样本指标 k?xi?1kifi?15030100?150.3（克）;s?2??xi?1ki?x?fi2 k?fi?176.00100?1?0.7677? ?x?fii?1

②计算抽样平均误差

?i?1

?n2?s2

③计算抽样极限误差

n?0.7677100?0.08762(克)

1???0.9973?Z??31?2

④确定置信区间

?x?Z 1??2?x?3?0.08762?0.2629（克）估计区间下限：150.3－0.2629＝150.0(克) 估计区间上限：150.3＋0.2629＝150.6(克) 故，该批茶叶平均重量在150.0－150.6克之间，可靠保证程度为99.73% 。

第8章

例1：某厂生产的电子元件，根据以前的资料，其平均使用寿命为1000小时。现从一批采用新工艺生产的该种电子元件中随机抽出25件，测得其样本平均使寿命为1050小时。已知总体标准差为100小时，试在0.05的显著性水平下，检验： 1、这批电子元件的使用寿命与采用新工艺前是否有显著性差异？

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量z H ???1000x?0z?z ~N?0,1? H ??1000?n1

第三步：给定显著性水平，确定临界值 第四步：根据样本数据计算统计量的值。

第五步：将统计量的值与临界进行比较

?Z?2?5?Z??1?645?拒绝原假设- 3 -

2、这批电子元件的使用寿命与采用新工艺前是否有显著性提高？

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量Z H0??1000x??Z? ~N?0,1 ?H1??1000?n第三步：给定显著性水平，确定临界值

由于单侧概率要求α=0.05，双侧概率应为2×0.05=0.1 F(Zα)=1-0.1=0.9，查概率表得到Zα=1.645 @=0.05 Z??Z0.05?1.645第四步：根据样本数据计算统计量的值。 x??=2.5 ?n第五步：将统计量的值与临界进行比较 ? Z?2?5?Z??1?645 ,故有显著提高

Z??拒绝原假设

例2：某电池厂生产的某号电池，历史资料表明平均发光时间为1000小时，标准差为80小时，在最近生产的产品中抽取100个电池，测得平均发光时间为990小时，给定显著性水平为0.05，问新生产在电池 发光时间是否有明显的降低？ 这是总体平均数的左单侧检验问题。

解：第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量Z

H0:X?1000 H:X ?10001第三步：给定显著性水平，确定临界值

x?XZ??n~N?0,1?

Z??Z0.05?1.645,即临界值?Z???1.645@=0.05

第四步：根据样本数据计算统计量的值。 第五步：将统计量的值与临界进行比较

x?X990?1000Z????1.25 ?/n80/100

?z??1?25?Z???1?645

?接受原假设例3：某装置的工作温度x服从正态分布,据厂商说它的平均工作温度是80度.今从一个由16台装置构成的样本中得出平均工作温度是83度,标准差为2.5度.试在0.05的显著性水平下，检验平均工作温度与厂商所说的是否有显著差异? 解：由题得：x=83度 n=16 s=2.5

题中所问:平均工作温度与厂高所说是否有显著性差异,实际上就是要我们利用由16台装置构成的样本所得出的平均工作温度来检验该厂商说它的平均工作温度是80度这句话是否可信,也就是检验@=80 是否为真.

由于#未知.所以无法用 x ? X 统计量进行检验.

Z? ?n因此考虑用样本方差S 代替总体方差# ,从而构成t统计量,来进行此类问题的检验.

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量t

x??H0??80t?~t?n?1? sn??80H1

- 4 -

第三步：给定显著性水平，确定临界值 第四步：根据样本数据计算t统计量的值。

x??

t??@=0.05 t??n?1??t0?025?15?sn2 83?80?2?1315?4?8 2.54第五步：将t统计量的值与临界值进行比较

?t?4?8?2?1315?t?2?n?1??t0?025?15??拒绝原假设接受备择假设

例4：某化工厂生产一种化学试剂，据经验这种化学试剂中杂质的含量服从均值为2.3％的正态分布。某日开工后，抽检5瓶，其杂质含量（单位：％）分别为： 2.23 2.15 2.2 2.18 2.14

试问该日产品质量在显著性水平α=1％下是否有显著性提高？

x?2.3解：设 H0:X?2.3若H0为真，则统计量 t??t(4) s/n?1H1:X?2.3 n对于给定的显著性水平α=1％，查-t0.01(4)=-3.7469，由样本得：

t?x?2.30.03286/4?2.18?2.30.01643x??xi?1inn?2.18?x)2?(xs?i?1in?0.03286??7.303??t0.01(4)??3.7469拒绝原假设

例5：北京某购物中心欲通过购物指南报作一则广告以吸引更多的顾客。但前提是至少有50%喜爱逛购物中心的顾客订阅该报纸，才在该报上作广告。他们在几家购物中心采用问卷形式随机调查了64名顾客，其中40名顾客订阅这种报纸。问按显著性水平=0.01计算，能否根据调查结果认为这种比率超过50%。

第一步：提出原假设和备择假设 第二步：构造检验统计量Z

p?P H0P?0?5Z?~N?0,1? H 0?5 P?1?P? P?1n第三步：给定显著性水平，确定临界值

??0?01 Z??Z0?01?2?33 第四步：根据样本数据计算统计量的值。

p?P 0?625?0?5

Z???2 P ?1 ? ? P=40/64=0.625 ? P0 ? 5 ?1? 0?5n64

第五步：将统计量的值与临界进行比较

?2?Z?Z0?01?2?33 ?接受原假设H0?0?5

即认为订阅这种报纸的顾客比率不超过50%。

- 5 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v3r2.html