高数第一章习题

高等数学第一章习题

一、填空

1.设y?f(x)的定义域是(0,1]，?(x)?1?lnx，则复合函数y?f[?(x)]的定义域为 2. 设y?f(x)的定义域是[1,2],则f(1)的定义域 。 x?1?13.设f(x)????10?x?1 ， 则f(2x)的定义域 。

1?x?25.设f(x)的定义域为(0,1)，则f(tanx)的定义域

6. 已知f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2，则?(x)的定义域为 。 7. 设f(x)的定义域是?0,1?,则f(ex) 的定义域 8.设f(x)的定义域是?0,1?,则f(cosx) 的定义域

sinx?x?2??3x?6?? 11.lim(1?2)x＝

9. lim＝ 10.limx??x??x??xx?5x?2?1711612.当x??时，

1是比x?3?x?1 的无穷小 x13.当x?0时，31?ax2?1与cosx?1为等价无穷小，则a? 14.若数列{xn}收敛，则数列{xn}是否有界 。

15.若limf(x)?A（A为有限数），而limg(x)不存在则lim[f(x)?g(x)] 。

x?x0x?x0x?x016.设函数f(x)在点x?x0处连续，则f(x)在点x?x0处是否连续。（ ） 17.函数y?2x?1的间断点是 2x?3x?218. 函数f(x)在x0处连续是f(x)在该点处有定义的充分条件；函数f(x)在x0处有定义是f(x)在该点处有极限的 条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 条件，是函数连续的 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要） 21.函数y?1在区间?1,2?内的最小值是 x?sin2x?ln(x?1),x?022.已知f(x)??在x＝0处连续，则k＝ 。

?3x2?2x?k,x?0?23.设f(x)处处连续，且f(2)?3，则 limsin3xsin2xf()＝

x?0xx24.x?a是y?x?ax?a的第 类间断点，且为 间断点.

225.x?0是y?cos1的第 类间断点，且为 间断点. x?1?1(x?1)2e,x?1?2(x?1)?? x?1,当a? ，b? 时，函数f(x)在点x=1处连续. 26．设函数f(x)??a, ?bx?1, x?1???27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：

（1）数列?xn?有界是数列?xn?收敛的 条件。数列?xn?收敛是数列?xn?有界的 条件。 （2）f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的 条件。limf(x)存在是f(x)在x0的

x?x0x?x0某一去心邻域内有界的 条件。

（3）f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)??存在的 条件。limf(x)??存在是f(x)在

x?x0x?x0x0的某一去心邻域内无界的 条件。

二、选择

1.如果limf(x)与limf(x)存在，则（ ）.

x?x?0x?x?0（A）limf(x)存在且limf(x)?f(x0)（B）limf(x)存在但不一定有limf(x)?f(x0)

x?x0x?x0x?x0x?x0（C）limf(x)不一定存在 （D）limf(x)一定不存在

x?x0x?x02.如果limf?x???，limg?x??? ，则必有（ ）。

x?x0x?x0A、lim?f?x??g?x???? B、lim?f?x??g?x???0

x?x0x?x0C、limx?x01?0 D、limkf?x???（k为非零常数）

x?x0f?x??g?x?3.当x??时，arctgx的极限（ ）。 A、??2 B、???2 C、?? D、不存在，但有界

4.limx?1x?1x?1（ ）。A、??1 B、?1 C、=0 D、不存在

5.当x?0时，下列变量中是无穷小量的有（ 。A、sin1sinx?x B、 C、2?1 D、lnx xx16. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（ ）。

x2

?x???? D、exx?0? A、lgxx?0 B、lgx?x?1? C、3

x?1

?????7.无穷小量是（ ）.

（A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）常数0 8. 如果f(x),g(x)都在x0点处间断，那么（）

（A）f(x)?g(x)在x0点处间断 （B）f(x)?g(x)在x0点处间断 （C）f(x)?g(x)在x0点处连续 （D）f(x)?g(x)在x0点处可能连续。 9.已知limx?0f(x)?0，且f(0)?1，那么（ ） xx?0x?0（A）f(x)在x?0处不连续。 （B）f(x)在x?0处连续。 （C）limf(x)不存在。 （D）limf(x)?1

10.设f(x)?2x?x4x?3x ，则limf(x)为（ ）

x?0 （A）

111 (B) (C) (D)不存在 234?x,?11.设 f(x)??|x|??0,x?0x?0 则（ ）

（A） f(x)在x?0的极限存在且连续； （B）f(x)在x?0的极限存在但不连续；

(C)f(x)在x?0的左、右极限存在但不相等； （D）f(x)在x?0的左、右极限不存在。 12. 设f(x)?2x?3x?2，则当x?0 时，有（ ）

（A）f(x)与x是等价无穷小； （B）f(x)与x是同阶但非等价无穷小； （C）f(x)是比x高阶的无穷小； （D）f(x)是比x低阶的无穷小。

13.当x?0时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ ）

2（A） x ； （B） 1?cosx； （C）1?x2?1 ；（D） x?tanx。

14. 当x?0时，arctan3x与ax 是等价无穷小，则：a＝（ ） cosx（A） 1 ； （B） 2； （C） 3； （D）1/2 15下列运算正确的是（ ）

111?limsinx?limcos?0?limcos?0

x?0x?0x?0xx?0xxtanx?sinxx?x?lim?lim0?0 （B）limx?0x?0x3x?0x3sinxsinx?100)=lim?lim100 =0 + 100=100 (C) lim(x??x??x??xxtan3x3x3?lim? (D) limx??sin5xx??5x5（A）limsinxcos三、基本计算题（一．求极限）

1. limx????x2?x?x2?x 2. lim?x????x2?x?x2?x 3.limx?8?9?2x?53x?2

4.limx?01?cosxx(1?cosx) 5.limnsin?(n?2?n) 6.limn???2(1?x?1)sinxx?01?cosx

ex?esinx2sinx?sin2xtanx?sinx7.lim 8.lim 9.lim x?0x?0x?sinxx?0ln(3x31?x3)10.设x?0时，(1?ax)?1与cosx?1 是等价无穷小，求a的值 11 limx?0123?sinx?tanx31?x2?12xx?1???n?2 12.lim(secx)x 13. lim??

x?0n??n?1??1?sinx?121n?2x14. lim()x?1x?117.lim?a?b?c? 15.lim??x?03??1txxx1x1 16. lim(?2x)x a?0,b?0,c?0??x??x11?te842nlim(222?2) 18.1n??t?021tet?arctan?t119.设 f(x)?ax（a?0,a?1),求 lim2ln[f(1)f(2)?f(n)]

n??n11?n2?20. lim 21. lim?1(1?2?3???(n?1)?．??n??n??n?2n2??22.lim(n??12n1????)limx[] 23.222?x?0xn?1n?2n?n1??x1??2?esinxxxx24.lim(2?3?5)x 25.lim??? 4x???x?0|x|?1?ex???（二．连续与间断） 26.f(x)?arcsin(tanx)　(x?0)补充定义f(0)之值，使f(x)在x?0处连续． 2x11x27.指出函数y?2x?12?1的间断点，并判定其类型.

四、综合计算题（一．连续与间断） 1．设f(x)?lim1?x，讨论f(x)在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。

n??1?x2n?cosx,x?0??x?22．设f(x)??，试问：a为何值时，使f(x)在x＝0处连续？

?a?a?x,x?0?x?x2?ax?b?1，求a与b的值， 3．已知limx?11?xxx?24．讨论函数y?2的连续性，并指明间断点的种类。

(x?4)sinx?x2?1,x??1??x??1，应怎样选取数a，b，才能使f(x)在x＝－1处连续？ 5．设f(x)??b,?a?arccosx,?1?x?1??x2?16．讨论函数y?2的连续性，并指明间断点的种类

x?3x?2?sint?， 记此极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型。 ?t?xsinx??1?x?1?,x?0 ，求函数f(x)的间断点并指出其类型。 8．设 f(x)??e??ln(1?x),?1?x?0x?b有无穷间断点x?0,，有可去间断点x?1 9．确定a,b的值，使f(x)?(x?a)(x?1)7．求极限 lim?（二．已知某些极限，求另外的极限或常数）

xsint?sinxx2?ax?b?2， 求a，b的值 10．若lim2x?2x?x?211．已知 limf(x)f(x)???4，求lim?1??。

x?01?cosxx?0x??21x12． 设 lim(3x?ax?bx?1)?2 ，试确定a与b的值。

x???p(x)?x3p(x),且lim?2,lim?1,求p(x). 13． 设p(x)是多项式x??x?0x2x（三．零点定理、介值定理）

14． 设f(x)在[0,1]上连续。且0?f(x)?1，则必存在??(0,1)使f(?)??

15.设函数f(x)在[a,b]上连续，c,d?(a,b),q?0,g?0.证明：在[a,b]上至少存在一点?，使得

qf(c)?gf(d)?(q?g)f(?).

16．设f(x)在[1,3]上连续，且f(1)?f(2)?f(3)?3，则???[1,3]，使得f(?)?1。

六、提高题（一．求极限）

1．当 |x|?1时，求lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)

n??242n111???? 求limxn

n??1?21?2?31?2???ntan(sinx)?sin(tanx)3. lim

x?0tanx?sinx2．设xn?1?（二．零点定理、介值定理）

4．设f(x)在[0,n](n为自然数，n≥2)上连续，f(0)?f(n)，证明：存在?,??1?[0,n]使

f(?)?f(??1)。

5．证明：奇次方程a0x2n?1?a1x2n???a2nx?a2n?1?0至少有一个实根a0?0。

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