大数定律和强大数定律的推广

大数定律和强大数定律的推广

1 引言

大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理．

2 大数定律

2．1 大数定律的叙述

定义2．1．1 设｛Xn｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(Xn)．如果

1nn?[Xk?1k???E(Xk)]?p0，

则称｛Xn｝满足大数定律．

定理2．1．1 （马尔可夫大数定律）设｛Xn｝是方差有限的随机变量列，如果有

1n2nD(?Xn)?0k?1

则｛Xn｝满足大数定律．

推论2．1．2（切贝谢夫大数定律） 若序列｛Xn｝两两不相关且方差有界：D(Xn)?C(n?1)，则｛Xn｝满足大数定律．

推论2．1．3（伯努利大数定律） 设?n为n重伯努利试验中成功次数，

则当n??时有

?nn

???pp．

定理2．1．4（辛钦大数定律） 对于独立同分布随机变量列｛Xn｝，大数定律成立的充分必要条件是E(?n)=a有限．

证明 必要性是大数定律的定义所要求的．只需证明充分性．假定｛Xn｝之共同的特征函数为f(t)，则由引理2．8（《概率论》杨振明 科学出版社 P213）知t?0时有

f(t)＝1+iat+o(t) 从而

1n?nXk的特征函数为

ttn?o()] nntk?1 [f()]n?[1?ian运用如下分析事实：对复数列｛cn｝而言

cnncn?c蕴含(1+

便可得证

)n?ec，

tn1tniatlim[f()]?lim(1?[iat?n?o()])?ennnnn．

根据连续性定理1．10（《概率论》杨振明 科学出版社 P204）及定理1．6（《概率论》杨振明 科学出版社 P141）便得

1n?nXk依概率收敛到a ．

k?1 事实上该定理证明用到了概率论中弱收敛和特征函数收敛之间的等价关系，而几种收敛性之间的互推关系是一个重要的内容，这将在本文的最后一节加以阐述．

2． 2 大数定律的推广

2．2．1 大数定律定义的推广

首先介绍几个引理．

定义 称r．v．'s序列｛Xn｝和｛Yn｝是尾列等价的，若 P(Xn ?Yn，i．o．)＝0

称r．v．'s序列｛Xn｝和｛Yn｝是收敛等价的，若它们的收敛点集只相差一个零测集．

引理1 （等价性引理）

?设r．v．’s序列｛Xn｝和｛Yn｝满足?P(Xn?Yn)??，则下列叙述成立．

n?1(1) (2)

｛Xn｝和｛Yn｝是尾列等价的； ｛Xn｝和｛Yn｝是收敛等价的；

nn(3)

若bn??，则｛b?1n?k?1Xk｝和｛b

?1n?Y｝是收敛等价的，且在公共

kk?1收敛点上，它们的极限相同．

证 P(Xn?Yn，i．o．)＝limP(?k?n(Xk?Yk))?limn???P(Xk?nk故(1)?Yk)=0，

成立，而(2)和(3)的成立是显然的．

定义2．2．1 设{ Xn}为一列r．v．序列，如果存在常数列｛An｝和正常数序列｛Bn｝,其中Bn??，使

SbBn

p??0 －An?则称{ Xn}服从弱大数定律（简称大数定律）．

定义2．2．1是定义2．1．1的推广，但事实上我们所主要讨论的仍然是独立r．v．列以及Bn=n这种形式．

2．2．2 ｛Xn｝为任意r．v．列．

定理2．2．1 （格涅坚科定理） 对随机变量序列｛Xi｝，若记S

1nn=

1n(X

1+X

2+．．．+X

n)，

an=(EX1?EX2???EXn)，则｛Xn｝服从大数定律的充要条件是

(Sn?an)22 limE{n??1?(Sn?an)}＝0

证 （充分性）

令?n＝Sn－an=(Sn?ESn)＝

n11nk?(Xnk?1?EXk)，设其分布函数为Fn(x)，

则

x22P(

1n??Xk?1nk?EXk???)=P(?n??)=?x??dFn(x)??1?xx???22dFn(x)

1??1??2=

?2?2xx??221?xdFn(x)?1??2?2???x22??1?xdFn(x)

=

1???22??n?E?2??0 1??n??故｛Xn｝服从弱大数定律．

（必要性） ｛Xn｝服从大数定律，所以???0

limP(n??1nk(X?nk?1?EXk)??)=limP(n??1n(Sn?ESn)??)

=limP(?n??)?0 (*)

n??P(?n??)=?xx??22x??dFn(x)

=?1?xdFn(x)????x22??1?xdFn(x)??xx??221?xdFn(x)?E(?n22n1??)??2

令n?? 由(*)及?的任意性可得 limE{n??(Sn?an)221?(Sn?an)}＝0

定理2．2．2 （伯恩斯坦定理）

已知随机变量序列｛Xn｝的方差有界：DXn?C，并且当i?j??时，相关系数rij?0，则｛Xn｝满足大数定律．

cov(Xi?Xj)D(Xi)D(Xj)证 因当i?j??时，rij??0，且

D(Xn)?C

故

covXi(,Xj)C?covXi(,Xj)D(Xi)D(Xj)?0 当i?j??时

所以对于任意??0，cov(Xi,Xj) ?C?．

1n2nD(?Xk)?k?11nCn2nn(?D(Xk)?2k?1?cov(X1?i,j?ni,Xj))　　　　　　??n?1n

?又由?的任意性可知

1n2nD(?Xk)?k?1Cn?n?1n??0 n??时

由定理2．1．1可知｛Xn｝符合大数定律．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v3fh.html