折叠几何综合专题 - 16道题目（含答案）

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01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．

(1)证明：由折叠性质可得，EF＝FD，∠AEF＝∠ADF＝90°，∠EFA＝∠DFA，EG＝GD，∵EG∥DC，∴∠DFA＝∠EGF， ∴∠EFA＝∠EGF，∴EF＝EG＝FD＝GD，∴四边形EFDG是菱形；

(2)解：EG2＝GF·AF.理由如下：

2如解图，连接ED，交AF于点H， ∵四边形EFDG是菱形，

∴DE⊥AF，FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE，

22∵∠FEH＝90°－∠EFA＝∠FAE，∠FHE＝∠AEF＝90°， ∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴

EFFHAFEF＝，即EF2＝FH·AF，

又∵FH＝GF，EG＝EF，∴EG2＝GF·AF；

(3)解：∵AG＝6，EG＝2

5，EG2＝AF·GF，∴(2

25)2＝(6＋

GF)·GF，

解得GF＝4或GF＝－10(舍)，∴GF＝4，∴AF＝10. ∵DF＝EG＝25，∴AD＝BC＝

AF2－DF2＝45，

DE＝2EH＝2

1EG2－（GF）2＝8，

2∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°， ∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴

ECDEDF＝AF，即EC2，

510

＝8

125

∴EC＝，∴BE＝BC－EC＝. 55

02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8.

(1)求证：AF＝EF； (2)求证：BF平分∠ABD.

证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∵△BED是△BCD对折得到的， ∴ED＝CD，∠E＝∠C， ∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分) 又∵∠AFB＝∠EFD， ∴△ABF≌△EDF(AAS)， ∴AF＝EF；(4分)

(2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8，

∴sin∠CBD＝

DC1

＝， BD2

∴∠CBD＝30°，(5分) ∴∠EBD＝∠CBD＝30°，

∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分) ∴∠ABF＝∠EBD， ∴BF平分∠ABD.(8分)

03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、

F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。（1）求证：△BHE≌△DGF；

（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC， ∵△BEH是△BAH翻折而成，

∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE， ∵△DGF是△DGC翻折而成， ∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF， ∴△BEH与△DFG中，

∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3， ∴△BEH≌△DFG，

（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm， ∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm， ∴BD=

=10，

∵由（1）知，BD=CD，CG=FG， ∴BF=10-6=4cm，设FG=x，则BG=8-x，在Rt△BGF中，

BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

角相等是解答此题的关键．

04把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是．

考点：翻折变换（折叠问题）。专题：计算题。

分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数．

解答：解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF， ∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，FC=2，DF=4， ∴∠FDC=30°， ∴∠DFC=60°，

∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°， ∴∠DEF=∠BFE=60°．故答案为60．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也

考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．

05如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）

A．

6 B．

12 C．

D． 4

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x， ∵沿EF翻折后点C与点A重合， ∴AE=CE=16﹣x，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6， ∴AE=16﹣6=10，

由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，

∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF=10，

过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形， ∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF=

．

故选D．

点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．

06如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=

来^%&源@:中教网

第1题图

分析：根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，

再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，

根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，

∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°， ∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°，故答案为：45°．

点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，

再进行计算，是一道基础题．

07如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）

A． 4 B． 3 C． 4.5 D． 5 .

考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6， ∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2， ∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． .

08如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则

长AD与宽AB的比值是．

考点：分析：翻折变换（折叠问题）由AE=BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折叠的性质可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF=AD=3=k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即k，进而求解即可．解答：解：∵AE=BE， ∴设AE=2k，则BE=3k，AB=5k． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC． ∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处， ∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC， ∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠DCF=∠AFE， ∴cos∠AFE=cos∠DCF．在Rt△AEF中，∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k， ∴AF=∴=，即k， k， =． ==k，， ∴CF=3∴AD=BC=CF=3∴长AD与宽AB的比值是.

故答案为点评：．此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．

09如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为 2t的代数式表示）．

t （用含

考点：翻折变换（折叠问题）分析：根据翻折的性质可得CE=C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解答：解：由翻折的性质得，CE=C′E， .

∵BE=2CE，∴BE=2C′E，又∵∠C′=∠C=90°，∴∠EBC′=30°， ∵∠FD′C′=∠D=90°，∴∠BGD′=60°， ∴∠FGE=∠∠BGD′=60°， ∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°， ∴∠EFG=（180°﹣∠AFG）=（180°﹣60°）=60°， ∴△EFG是等边三角形，∴AB=t， ∴EF=t÷=t，∴△EFG的周长=3×t． t=2t．故答案为：2

10如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．

（第1题图）

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中， .

， ∴△DEF≌△BCF（AAS）；（2）解：在Rt△ABD中， ∵AD=3，BD=6， ∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°， ∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．

11如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线

EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；

②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）

A． ①② ②③ B． ①③ C． ①④ D． .

解：∵AE=AB，解答： ∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE， ∴∠APE=30°， ∴∠AEP=90°﹣30°=60°， ∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°， ∴∠EFB=90°﹣60°=30°， ∴EF=2BE，故①正确； ∵BE=PE， .

∴EF=2PE， ∵EF＞PF， ∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB， ∴∠EBQ=∠EFB=30°， ∴BE=2EQ，EF=2BE， ∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°， ∴∠BFP=30°+30°=60°， ∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°， ∴∠PBF=∠PFB=60°， ∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

12已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（第6题图）

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，

，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段

AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． .

解答：解：（1）如图1， ①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B． ∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC． ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA． ②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP． ∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中， ∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP， ∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°． ∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°． ∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，.

∠ABP=∠MQP∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ． ∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM． ∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB． ∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°． ∴PB==4．∴EF=PB=2．． ∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2

13如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿

EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 .

A E D B′

第15题

【分析】若△CDB?恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16或45【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想..根据题意，若△CDB?恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB′=DC时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；（2）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB′=DB′时，作BG⊥AB与点G，交CD于点H.∵AB∥CD，

∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=

1∴AG=DH=8，∴GE=AG－AE=5，CD=8，在Rt△B′EG2∴B′H=GH－B′G=4.在Rt△B′DH中，中，由勾股定理得B′G=12，由勾股定理得DB′=45，综上所述DB′=16或45.

A E G B'HD

BF C

14如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP，

PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 ▲ ．2-1-07

【答案】

24. 5【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 218名师原创作品【分析】如答图，∵四边形ABCD是矩形，

∴?D??A??C?90?, AD?BC?6, CD?AB?8. 根据折叠对称的性质，得?ABP≌?EBP， ∴EP?AP, ?E??A?90?, BE?AB?8.

??D??E?在?ODP和?OEG中，∵?OD?OE，

??DOP??EOG?∴?ODP≌?OEG?ASA?.∴OP?OG, PG?GE. ∴DG?EP. 设

AP?EP?x，则PD?GE?6?x, DG?x，∴