高一数学综合知识点

篇一：高一数学重要知识点总结

高一数学知识总结

必修一

一、集合

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集

合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,

大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集

R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大

括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与

B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作

?B或B??A A?

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同则两集

合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子

集，记作AB(或BA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真

子集。 ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

指数函数对称规律：

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称

2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称

&对数函数y=loga^x

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么：

1 loga(M〃N)?logaM＋logaN； ○

M2 loga?logaM－logaN； ○N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

注意：换底公式

logcbc?0，b?0） （a?0，且a?1；且c?1；． logab?logca

幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂

函数，其中?为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+≦）都有定义并且图象都过点

（1，1）；

（2）??0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)

上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当

0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在

第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限

地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限

地逼近x轴正半轴．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使

f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0

实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有

交点?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函○

数y?f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

（1）△＞０，方程ax2?bx?c?0有两不等实根，二次函

数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax2?bx?c?0有两相等实根，二次函

数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二

阶零点．

（3）△＜０，方程ax2?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函 y?cosx y?tanx 数 y?sinx 性 质

图

象

定

义

域

值

域

最

值 R R ????xx?k??,k??? 2??R ??1,1? 当x?2k??时，ymax??1,1? ?k???当x?2k??k???时，既无最大值也无最小值 ?1；当ymax?1；当x?2k??? 2?

x?2k???

2 ?k???时，ymin??1．

2? ?k???时，ymin??1． 周

期性

奇

偶

性 2? ? 奇函数 偶函数 奇函数

????在?2k??,2k??? 22??在?2k???,2k???k???

????单?k???上是增函数；在 上是增函数；在在?k??,k??? 22??调2k?,2k???? ??3??性 ? 2k??,2k???k???上是增函数． ??22???k???上是减函数． ?k???上是减函数．

对称中心对称中心对称中心

???对?k?,0??k??? k??,0??k??? ?k???,0??k??? 称2???对称轴?2?性 ?对称轴x?k??k??? x?k???k??? 无对称轴 2

必修四

角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．

??

第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k???

终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???

终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k???

终边在坐标轴上的角的集合为???k?90,k??? 第一象限角的集合为?k?360????k?360??90?,k?? ????????????????

篇二：人教高一数学第一学期期末各章知识点总结

数学必修一知识系统汇总

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念 1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c??}

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合

2

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同

一集合。

?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

?A 或B?

2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

2

实例：设 A={x|x-1=0} B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A；

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

? 有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集

三、集合的运算

B(或BA)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法(3)代换法 3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法A、描点法 B、图象变换法

常用变换方法有三种： 平移变换 伸缩变换 对称变换 4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间

（3）区间的数轴表示． 5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

1 任取x，x∈D，且x<x； ○

1

2

1

2

2 作差f(x)－f(x)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）； ○

4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○

1

2

1

2

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；○

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。 当n是奇数时，

n

an?a，当n是偶数时，

?a(a?0)

an?|a|??

??a(a?0)

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a

?mn

mn

，

?

1a

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rrr?saa?a（1）· rsrs(a)?a（2） rrs(ab)?aa （3）

(a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R)；

x

(a?0,r,s?R)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

篇三：高一上学期数学知识点总结(含答案)

高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结

一、集合与命题

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P?Q?{a?b|a?P,b?Q}，若P?{0,2,5}

，Q?{1,2,6}，则P?Q中元素的有________

个。（答：8）（2）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且满足“若a?S，则6?a?S”，这样的S共有_____个（答：7） 2.遇到A?B??时，你是否注意到“极端”情况：A??或B??；同样当A?B时，你是否忘记A??的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合A?{x|ax?1?0，}

1B??x|x2?3x?2?0?，且A?B?B，则实数a＝______.（答：a?0,1,）

2

nn

3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2， 2?1 2n?1，，2n?2.如满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）

4.集合的运算性质： ⑴A?B?A?B?A； ⑵A?B?B?B?A；⑶A?B?

痧uB???uA?B； ⑸euA?B?U?A?B； ⑹CU(A?B) uA?uB； ⑷A?痧

?CUA?CUB；⑺CU(A?B)?CUA?CUB.如设全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，(CUA)?(CUB)?{1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：x|y?f?x?—函数的定义域；

??

?y|y?f?x??—函数的值域；?(x,y)|y?f?x??—函数图象上的点集，如

设集合M?{x|y?

，集合N＝

?y|y?x,x?M?，则M?N?_

2

（答：[4,??)）；

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x的不等式

ax?5

?0的解集为M，若3?M且x2?a

5?M求实数a的取值范围。

?5?

（答：a??1???9，25?）

?3?

7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若p则q” ；逆否命题为“若q则p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A?B?B?A”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为?ABC中，若?C?90，则?A,?B不都是锐角）；（2）已知函数

?

f(x)?ax?

x?2

,a?1，证明方程f(x)?0没有负数根。 x?1

8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A?B，则A是B的充分条件；若B?A，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如设命题p：|4x?3|?1；命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：[0,]）

2

12

二、不等式

1. 不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?bc,d?但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

，则a?则a?c?b?d（若a?b,c?d，c?b?d

），

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则

ab

?）； cd

nn

（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则a?

b?

（4）若ab?0，a?b，则

1111?；若ab?0，a?b，则?。 abab

2

2

2

2

如（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

11

?；ab

baab11

⑤若a?b?0,则?；⑥若a?b?0,则a?b；⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，?

abc?ac?bab

则a?0,b?0。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______（答：?1,7?）

①若a?b,则ac?bc；②若ac?bc,则a?b；③若a?b?0,则a?ab?b；④若a?b?0,则

2

2

（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,则

c1??

的取值范围是______ （答：??2,??）

2?a?

2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作

商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ； （8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 如设a?2，p?a?

1?a2?4a?2

，q?2，试比较p,q的大小（答：p?q） a?2

b；a

3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax?b的形式，若a?0,则x?若a?0,则x?

b

；若a?0,则当b?0时，x?R；当b?0时，x??。如已知关于x的不等式a

1

(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为(??,?)，则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______（答：

3

{x|x??3}）

4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当??0和??0时的解集你会正确表示吗？设a?0,x1,x2是方程ax2?bx?c?0的两实根，且

x?x，则其解集如下表：

2

；当0?a?1a

如解关于x的不等式：ax?(a?1)x?1?0。（答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?时，1?x?

11

；当a?1时，x??；当a?1时，?x?1） aa

2

5. 对于方程ax?bx?c?0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若a?0，则一定有

（1）??b2?4ac?0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：

则a的取值范围是_______（答：；（2）关于x的方程f(x)?k(1,2]）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，

有解的条件是什么？(答：k?D，其中D为f(x)的值域)

6. 一元二次方程根的分布理论。方程f(x)?ax?bx?c?0(a?0)在(k,??)上有两根、在(m,n)上有两根、在

2

(??,k)和(k,??)上各有一根的充要条件分别是什么？

???0?

?f(m)?0???0

? ?

（?f(k)?0、 、f(k)?0）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区?f(n)?0

??b

?m??b?n???k

?2a?2a

间[m

,n](m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令x?n和x?m检查端点的情况．

22

如f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。

3

（答：(?3,)）

2

7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax?bx?c?0的两个根即为二次不等式

2

ax2?bx?c?0(?0)的解集的端点值，也是二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴的交点的横坐标。如（1）不等式

31

?ax?的解集是(4,b)，则a=__________（答：）；（2）若关于x的不等式ax2?bx?c?0的解集为

28

(??,m)?(n,??)，其中m?n?0，则关于x的不等式cx2?bx?a?0的解集为________（答：

11

(??,?)?(?,??)）；（3）不等式3x2?2bx?1?0对x?[?1,2]恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：

mn?）。

8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。 如：（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：?1,??????2?）

2

（2）不等式(x??0的解集是____（答：?3,??????1?）

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)?0的解集为{x|1?x?2}，g(x)?0的解集为?，则不等式

f(x)?g(x)?0的解集为______（答：???,1???2,???）

（4）要使满足关于x的不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

2

?81?

x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是.（答：?7,?）

?8?

9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如：（1）解不等式

5?x

（答：??1,1???2,3?） ??1

x2?2x?3

（2）关于x的不等式ax?b?0的解集为(1,??)，求关于x的不等式（答：???,?1???2,???）

10. 绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2?（2）利用绝对值的定义；

ax?b

?0的解集 x?2

31

x|?2?|x?|（答：R） 42

（3）数形结合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：???,?1???2,???）

（4）两边平方：如若不等式|3x?2|?|2x?a|对任意x?R恒成立，则实数a的取值范围。（答：??）

11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）

12. 含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

?4??3?

a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.

2

如设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1，求证：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。 如：（1）下列命题中正确的是

21

A.y?x?的最小值是2

B.y?的最小值是2

x44

C.y?2?3x?(x?

0)的最大值是2?y?2?3x?(x

?0)的最小值是2?

xxy

（2）若x?2y?1，则2?4的最小值是______

（答：

11

（3）正数x,y满足

x?2y?

1，则?的最小值为______（答：3?

xy

14. 常用不等式有：（1???(当且仅当a?b?c时，取等号)，根据目标不等式2?222

左右的结构选用；（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；（3）若

bb?m，则（糖水的浓度问题）。如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________?a?b?0,m?0

aa?m

（答：?9,???）

15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

1111

111???2??? nn

?1n(n?1)nn(n?1)n

?

1n????

222222

如（1）已知a?b?c，求证：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；

常用的放缩技巧有：

(2) 已知a,b,c?R，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；

（3）已知a,b,x,y?

R，且

*

(4)若n?N(n?1)?

222222

?

xy11

； ??,x?y，求证：

x

?ay?bab

n；

(5)已知|a|?|b|，求证：

|a|?|b||a|?|b|

?；

|a?b||a?b|

16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

（1）恒成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B 如（1）不等式x?4?x?3?a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围

2

（2）若不等式2x?1?m(x?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围

（3）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A； 若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 已知不等式x?4?x?3?a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____ （3）恰成立问题

若不等式f?x??A在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??A的解集为D；

若不等式f?x??B在区间D上恰成立, 则等价于不等式f?x??B的解集为D.

三、函数

1. 函数的定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数f(x)，x?F，那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}?{(x,y)|x?1}中所含元素的个数有个（答： 0或1）；（2）若函数y?

12

x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则2

b＝2）

2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y?x，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）

3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数

2

y?

x?3的定义域是____(答：(0,2)?(2,3)?)；（2）若函数y?(3,4)

kx?7

的定义域为R，则

kx2?4kx?3

?3?

k?_______(答：?0,?)；（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定义域

?4?

是__________(答：[a,?a])；

（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x?[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。如（1）若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(2)的定义域为__________（答：x|

2

?1?x??

f(x2?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．

?

2?x?4）；（2）若函数

?

4. 求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域（答：[4,8]）；（2）当x?(0,2]

2

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