数学学科教学论习题答案

习题1

１．你认为数学教育学研究的对象是什么？它与中学数学教育学有何区别？ 答：中学数学教育学研究的对象是中学数学教学．具体可以分为：教学目的（为什么教）、教学对象（教谁）、教学内容（教什么）、学法（如何学）、教法（如何教）、学习效果（学得如何）．

而中学数学教育学是研究中学教育系统中的数学教育现象、揭示数学教育规律的一门科学．

２．中学数学教育学有何特点？

答：首先，数学教育学是一门边缘性学科．它处于数学、教育学、逻辑学和心理学等学科的“交界”处．在数学教学过程和科学研究中，它针对自身研究的对象和需要解决的问题，综合运用相邻学科的有关原理和方法，总结出数学教学，数学学习的具体规律，从而归纳创造出数学教育学的理论体系．那种认为数学教育学仅是教育学添加上一些数学实例的观点是片面的．

其次，数学教育学是一门实践性很强的理论学科．数学教育学的理论知识，是由中学数学教学实践的需要而产生发展得来的．这种理论的意义在于指导教学实践，运用数学教学的基本原理总结出在教学实践中具体可行的教学方式、方法和手段，并受教学实践的检验．

再次，数学教育学是一门发展中的理论学科．由于社会的不断发展，社会对基础教育不断提出新的要求，数学教学的目的、内容及教学方法也需不断改进．认为“数学教育学不能成为一门科学”的观点是不正确的．同样，对数学教育学持教条主义观点也是不正确的． ３．学习中学数学教育学有何意义？

答：（1）科学的数学教学过程是数学教育学的基本原理的具体表现．任何工作要取得好的效果都要顺乎其有关规律，讲究工作方法和艺术．而且工作过程越复杂，就越要有反映客观规律的理论指导和行之有效的工作方法．数学教学过程是在一定的社会、学校环境内，在一定的教育方针和政策指导下，在一定的教育工作系统中进行的．数学教学工作质量的好坏又直接受到教材、学生、教师、教法、学法等因素的影响，可见数学教学工作过程是一种多层次、多因素的比较复杂的工作过程．因而特别需要数学教育学的基本原理作指导，并讲究工作方法和艺术才

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能保证教学质量．

（2）数学教育学对新教师具有特殊的意义．对未来的数学教师或者新教师来说，学习和研究数学教育学更有它特殊的重要的意义．

首先，我国的现代化建设对中学教育和数学教育提出了新的任务．为了完成新的任务，中学数学教育思想、教育理论和教材教法都在不断地变化．对此，即使是有经验的数学教师也必须不断学习和研究，才能适应变化的新形势，更何况是新从事数学教育的教师呢？对新数学教师来说，为了提高教育质量，必须学习和研究数学教育学的基本原理，以求对中学数学教材有正确的、深刻的理解，更有效地结合学生情况使用课本．其次，数学教学工作是多层次、多因素的工作．在教学过程中不仅要考虑教师本身的教学活动和思维活动，还要考虑到学生的学习情况和教学环境、教学条件等因素．总之，一个新教师要想胜任如此复杂的、高度艺术的数学教学工作，成为一个合格的数学教师，不仅要努力学习数学专业知识，提高数学能力，还必须学习和研究数学教育学，提高教学能力和理论水平． （3）数学教育学的现实意义

数学教育学是一门发展中的理论学科．在当前改革的大潮中，数学教育学在理论和实践方面均面临着许多需要研究解决的重大课题．目前，我国中学数学教学与四化建设的需要很不相称，教学质量和水平很不理想，数学教学存在很多问题．诸如数学能力培养问题，中学数学教学内容和体系的改革等等．要解决这些问题，关键在于教师必须具备数学教育学的基本理论知识及先进有效的教学经验，自觉地按照数学教学规律办事．所以，在这方面数学教育学又有它的现实意义．

４．简述我国古代数学教育发展的概况．

答：据史书记载和考古资料知，至少在距今五千年左右，我们的祖先即有了记数思想和几何观念．从那时起，有关数学的知识可以说就代代相传并逐步发展．不过那时的数学教育还没有从生产和生活中分离出来．

周代，数学教育已从生产和生活中分离出来了，数学已成为当时初型学校的必读学科之一．

隋朝统一中国后，在全国颁布了科举考试制度．这是我国科举制度的开始．在数学教育方面，首次在国子监（相当于国立大学）内，设“算学科”（相当于数

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学专业）．

到唐太宗时，科举考试已固定下来．在我国数学教育史上，首次由最高统治者将著名的《算经十书》颁行为数学教科书．在国子监内的算学科，在学生入学条件、招生办法、数学科目的确定，教科书体系的形成，分班教学组织形式，数学专业的学制、考试的办法和毕业分配等方面，均制定了一套比较完善的数学教育制度．

北宋时，我国古代数学教育有了新的发展，首次印刷了数学教科书，这是我国也是世界数学教育史上；还颁布了“算学条例”，这是我国由政府颁布的第一部关于数学制度的重要文献．这对我国后世数学和数学教育的发展起了一定的推动作用．在北宋时，国子监算学科的教学和管理较之唐朝也有了新的发展．

宋元时，民间数学教育发达，在扬州、杭州、河北、山西等地区，形成了几个数学教育中心．

在元朝时期，我国在已有筹算的基础上，改进了计算工具而发明了珠算，这对数学教育的普及起到了一定的作用．

总之，这一阶段可以说是中国古代数学教育的鼎盛阶段．

自明朝到清朝初年，由于封建统治阶级的腐败堕落，严重阻碍了数学和数学教育的发展．

明末清初时，伴随着西方传教士的来华，西方数学开始传入中国．这时以梅文鼎为首的安徽数学学派在江淮大地上掀起了声势浩大的中国数学和天文学的复兴运动，对中国的数学教育产生了一定的积极影响．但是从清雍正元年（1723年）以后，实行闭关锁国的政策，除在钦天监供职的西方传教士外，其余外国人一律驱逐到澳门，不许擅入内地，这又阻碍了我国数学及其教育的发展．

在这个阶段中，由于中国长期处于封建社会之中等各种因素的影响，中国的数学教育的发展是缓慢的，有时甚至是停滞或是倒退的，与西方数学及其教育的发展速度和水平相比，我们是落后的． ５．简述我国近代数学教育发展的概况．

答：这一时期，主要是指我国半封建半殖民地社会的数学教育时期．

在此阶段中，我国民间还有一种独创的数学教育形式，就是“算学课艺”。这说明我国近代民间数学教育较之古代民间数学教育已有了新的发展．

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值得一提的是清末数学教育家华蘅芳（1833年－1902年），他的数学教育思想，在今天仍有一定的现实意义．

在此阶段中，我国早期数学杂志也随之陆续出现．这些早期数学杂志的出现，促进了我国近代数学教育的普及和发展．

在初等数学教育方面，中学数学教材除翻译的或直接采用欧美的教本外，自编教材有了起色．当时的教育部为了“整齐毕业程度”，“增进教学效率”，1933年上半年决定了中小学进行毕业会考．还于1939年全国大体实行统一高考．另外，1935年成立了中国数学会，第二年就出版了我国自编的数学教学法书籍．

在高等数学教育方面，最早是北京大学在1912年成立了数学系，接着，北京师大、南开大学、南京大学、清华大学也先后创办了数学系．为我国培养了一批著名数学家．大约从本世纪二十年代起，我国已能培养出较高水平的数学人才．

在此阶段中，我国出现了不少数学教育家，如姜立夫、程廷熙、傅仲孙等． ６．试述我国50年代以来数学教育发展的概况．你认为当前开展数学教学改革应注意哪些问题？

答：新中国成立之后，我国的数学教育迅速发展，取得了巨大成就，但其间走过的道路是曲折的．

建国初期，1952年至1957年全面学习苏联，先后颁布了三个中学数学教学大纲，在大纲、教材和教学法上成就斐然，较之解放前取得了翻天覆地的变化，把半殖民地、半封建性质的数学教育改造为新式的社会主义性质的数学教育．但是在学习苏联的过程中，也存在脱离我国实际的现象．例如把苏联十年制学校的数学课程盲目照搬，安排在我国十二年制的学校中，不仅延长了学习时间，而且还取消了高中解析几何课的学习，造成了我国十二年制学校中、小学生数学水平的下降．

从1958年到1960年的数学教育，其特点是掀起了教育革命高潮，进行了各种数学教学改革试验．广大数学工作者和师生进一步探索和研究了我国的数学教育体系，提出数学教学内容现代化的主张是正确的，也符合当时在国际上兴起的数学教育现代化运动的潮流．但由于对教材不适当地大砍大改，尤其是几何，削弱了知识的科学性和系统性，使数学教学质量受到了一定影响．

从1961年至1965年的数学教育，其特点是贯彻了党的“调整、巩固、充实、

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提高”的方针，总结了全面学习苏联和群众性数学教育革命的经验教训，使数学教学质量稳步提高．这阶段中，由于加强了学校教育的领导，学校教学秩序趋于正规，大纲、教材编写得比较科学，有利于加强数学教学研究和教学经验的积累．因此，大、中、小学数学教学质量稳步提高，逐步缩短了和世界先进国家数学教育的差距．

1966年到1976年，中国处于“文化大革命”的动乱中，数学教育遭到了空前的浩动，使数学教育质量大大下降，和世界先进国家数学教育的差距增大了．

从1977年到现在，我国为适应四化建设新时期的需要，拨乱反正，复兴改革，开创了社会主义数学教育现代化的历史新阶段．其间，多次对数学教学大纲进行修改，并在世纪之交又掀起了新一轮的基础教育课程改革．沿用半个世纪的数学教学大纲将悄然隐退，取而代之的是国家数学课程标准．数学课程标准是数学教学大纲的继承与发展．数学课程标准无论从内容、要求还是结构、体例上都蕴含着素质教育的理念，体现着鲜明的时代气息．

当前在世界范围内展开的数学教育改革应该是正在寻求东西方数学教育的平衡，西方国家学生的创造性比较强，而东方国家学生的基础比较扎实．我国在加强与国际数学界的交流，借鉴他国的数学教育经验时应注意不要丢失自身的特色．另外，在数学教育改革过程中也出现了诸如评价体系改革滞后等不少问题，都有待逐步解决．

７．为什么会出现“新数学”运动？运动存在的问题是什么？

答：“新数学”运动的产生是历史的必然．它是20世纪克莱因—贝利运动的继续和发展．二战后，一些工业先进国家先后转入了经济恢复时期，各国普遍实行9—12年的义务教育制度．由于生产科学技术数学科学自身发展的需要，使得中学数学教育再也不能保持传统的教学内容和方法．1957年，苏联的人造卫星早于美国上天，美国朝野震惊，由此引发了风靡全球的数学教育改革运动．这场改革运动的主要特征是在中学引进了现代数学的概念，使整个数学课程结构化．存在的问题主要有：

（1）增加现代数学内容份量过重，内容十分抽象、庞杂，致使教学时间不足，学生负担过重．

（2）强调理解，忽视基本技能训练；强调抽象理论，忽视实际应用．

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（3）只面向优等生，忽视了不同程度学生的需要，特别是学习困难的学生． （4）对教师的培训工作没有跟上，使得不少教师不能胜任新课程的教学．

不过，不管后人如何褒贬，这次改革必将以其在社会上的深远影响永远载入数学史册．

８．数学教育现代化运动取得的成果是什么？对我们的数学教育改革有何启示？

答：数学教育现代化运动取得的成果有：（1）出现了一些对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者，在一些国家里建立了合作机构来研究课程的发展．

（2）大多数国家的中学数学课程形成了一个统一的整体，强调结构和原理． （3）在国际上，数学教育工作者活动的联络网已形成．四年一届的国际数学教育会议使数学家、数学教育家、数学工作者之间的活动日趋活跃．

（4）数学教育的大改革使得教师更加集中注意教育的成果．使教师经常研究教什么、如何教、如何学三者之间的关系和一些问题．

当然，数学教育现代化运动中提出的许多有价值的实质性的问题，诸如“结构思想”、“早期教育思想”、“数学教学要重视培养发现能力的思想”、“要激发学生学习数学的兴趣，教材要有趣味性的思想”，又如把中学数学组成“统一数学”的观点、“欧几里得滚蛋”、“回到基础”的观点等都值得我们作深入的探索和研究．

习题２

１．确定中学数学教学目的的依据是什么？

答：中学数学教学目的是依据党和国家对现阶段培养人才提出的总目标，中学教育的性质、任务、数学自身的特点及其在培养人才中所起的作用，以及中学生的学习基础，年龄特征来确定的．

２．现行中学数学教学大纲规定的教学目的是什么？包括哪几个方面？如何理解？

答：现行九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）中提出的数学教学目的是：“使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和

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进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力和空间观念，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识．培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点．”现行全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）中提出的中学数学教学目的是：“使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点．”总的说来，中学数学教学目的主要有三方面的内容：一是掌握基础知识和基本技能；二是培养数学能力；三是形成正确的思想观点和良好的个性品质．

（１）关于数学基础知识和基本技能

中学数学基础知识和基本技能，一般是指学习后继课程与就业所需的那些数学知识和技能．在教学工作中，要具体、恰当地确定基础知识和基本技能的广度和深度，才能使学生切实学好基础知识和基本技能．

对于中学数学的基础知识和基本技能的范围，一般是通过制订中学数学教学大纲、数学课程标准或国家统一的考试大纲的形式说明的．至于哪些数学概念、公式、定理、法则、方法、思想，哪些类型的数学问题以及其他知识属于基础知识和基本技能，就要看中学数学教材列入的具体内容．因此，在教学实践中，应以中学数学教学大纲、数学课程标准为指导，以中学数学教材为依据来具体确定基础知识和基本技能的深、广度．

数学知识的基本表现形式为概念、性质、法则、公式、定理等，采用演绎的方式叙述，具有逻辑的严密性．数学思想（如函数的思想，数形结合的思想，集合的思想，结构的思想等）和数学方法（如消元法、降次法、换元法、配方法、待定系数法、综合除法等）以及逻辑方法（如分析法、综合法、同一法、反证法等）也应当属于数学基础知识．

基本技能是指：按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器）、简单的推理、画图以及绘制图表等技能． （2）关于数学能力

数学能力是在学习数学知识和技能的活动中形成和发展起来的，并且主要是在学习数学活动和运用数学知识活动中表现出来的一种特殊能力．中学数学教学

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大纲中提出了培养运算能力、思维能力和空间想象能力，以及运用数学知识来分析和解决问题的能力等几种数学能力．

数学教学中要培养学生的这些能力，完全是由数学所研究的对象和它的特点所决定的．因此，这些数学能力完全可以通过数学知识的学习及其数学思想、方法的训练而形成和发展，反过来数学能力又为学习数学知识、提高效率创造十分有利的条件．可见，数学知识的学习与数学能力的培养是相互促进的，辩证统一的，教学时应有机地结合． (3)关于思想品德的教育

思想品德的教育是教育工作的灵魂．在各科教学中进行思想政治和道德品质教育是教育事业应当遵循的规律．《心理学》中的“同时学习原理”和《教育学》中的“教学的教育性原则”都反映了这条规律．因此，在进行中学数学基础知识教学和培养能力的同时，必须向学生进行思想政治和道德品质教育，使他们不仅在知识、能力上并且在思想品质上都得到提高和发展．当然，数学教学中的思想品德教育，应该根据数学的特点，与教学内容有机结合进行．中学数学教学中加强思想品德的教育，一般有如下几个方面： ①激励学生为四化建设而努力学习的热情

在中学数学教学中，要不断地向学生阐明数学的重要性，启发学习数学的自觉性，调动学习数学的积极性。 ②培养学生的辩证唯物主义观点

青少年是人生观和世界观形成的重要时期，我们要通过数学教学，逐步培养学生的辩证唯物主义观点，为形成科学的世界观和人生观打好基础． ③培养爱国主义思想

在当前，对青少年进行爱国主义和民族自尊心的教育，具有重要的现实意义． ④进行思想品质的教育

培养学生的创新意识和良好的个性品质是进行思想品德教育的一个重要方面．

在数学教学中，要培养学生对自然界和社会中的数学现象的好奇心，使学生不断追求新知，独立思考，会以数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究，具有鲜明的创新意识．

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良好的个性品质主要是指：正确的学习目的，学习数学的兴趣、信心和毅力，实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，欣赏数学的美学价值．毫无疑义，学生良好的个性品质的形成会促进数学的学习．

总之，在数学教学过程中要循循善诱，不仅教给学生数学知识，也给予思想上的点拨和启迪，逐步培养学生的科学态度和良好的个性品质，树立良好的思想作风和高尚的道德品质．

３．教学内容的安排体系有哪几种？各有什么优缺点？

答：目前，在世界各国的中学数学教材的编排体系中，有以下几种不同类型： （1）以逻辑系统为主来安排内容

这种类型是用公理、定义、定理、推论等形式把教学内容编排成比较严谨的演绎体系（如欧几里德的几何体系）．这种体系有利于学生掌握系统的数学知识，有利于培养学生的逻辑思维能力．但是，由于比较单纯地采用演绎推理，论述问题的方法和结果都是唯一的，这样的思维过程对于学生的思维能力是有局限的． （2）以学生掌握实际知识为主来安排内容

这种类型是从学生的生活经验来引入新知识的．学习新内容，侧重新旧知识的联系和生活实际知识的学习，甚至以实际的数学问题来组成教学内容．这种体系有利于加强学生与生活的联系，有利于学生掌握实际数学知识的应用，但不利于学习系统的知识，不利于发展思维能力． （3）以数学知识的结构为主来安排内容

这种类型侧重教学内容的内在联系，主要考虑数学知识的安排程序问题，有的采用直线式排列程序，有的采用螺旋式排列程序．

直线式排列程序是各个教学内容不重复，每一阶段所学习的都是新知识，这种方式“毕其功于一役”，对于思维强的学生尚可适用，可以提高学生的学习兴趣，加快学习．但是容易造成理解不深、知识不牢、技巧不熟的现象．螺旋式排列程序是把同一课程的教学内容随着学生年龄的增长、年级的增高、理解深度的加深，逐步扩大教材的广度、增加教材的深度，按螺旋式不断上升而编排．这种编排程序比较符合学生认识能力的发展规律，易于理解、掌握并巩固所学知识．但是不能重复过多，否则会浪费时间降低学生学习数学的兴趣．

总的说来，上述各种安排教学内容的体系，各有利弊，因此安排教学内容时

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要处理好学生的思维特点、认识规律、数学知识结构的逻辑系统之间的关系，并吸取上述各种安排体系的长处，避免不利因素．

４．现行中学数学教学大纲对教学内容的安排是怎样的？具体包括哪些内容？ 答：我国现行的中学数学课程的设臵，初中主要学习代数、平面几何和概率统计三科中的内容；高中主要学习代数、立体几何、平面解析几何、微积分初步和概率与统计五科中的内容．数学建模、数学探究、数学文化贯穿于五科内容之中．具体的教学内容简述如下：

代数部分包括：数及其运算；式及其恒等变形；方程和不等式；集合与函数；排列、组合和概论统计的初步知识；数列、极限；行列式与线性方程组的有关知识．

平面几何部分，初中阶段学习平面几何，主要学习直线形，圆的概念和性质及其有关论证的基本方法．直线形部分包括有关几何图形的基本概念和性质，相交线与平行线、三角形、四边形、多边形的面积，勾股定理、相似形．圆的部分主要有点和圆的位臵关系、直线和圆的位臵关系、圆和圆的位臵关系以及与圆有关的角，圆中的比例线段、正多边形、圆周长、弧长；圆、弓形、扇形的面积，基本轨迹等．还选取了同生产实际密切联系的简单的视图知识作为选修内容．

立体几何的主要内容有两部分：

（1）平面的基本性质和平面图形的画法，直线和直线，直线与平面、平面与平面的位臵关系，判定方法及其性质．

（2）多面体（棱柱、棱锥、棱台），旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球、球冠）的概念，性质、画法及其面积和体积．

关于多面角、正多面体则作为选修内容．

平面解析几何的主要内容有直线和圆的方程；椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程、性质、画法；利用坐标轴的平移和旋转化一般二次方程为标准方程；参数方程和极坐标方程等．另外，还有微积分初步知识．

最后，我们指出中学数学教学内容包括概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由此内容所反映出来的数学思想和方法．这些数学思想和方法与它们的内容一样，在数学、自然科学、社会科学的学习研究与应用中都有重大作用．

统计初步与简单视图等，在现代化生产中常应用，把它们列入必修或选修内

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在世界范围内的数学教育改革浪潮中，认知观点逐渐深入人心．因为行为主义观点是一种比较原始、比较朴素的用来分析数学学习的方法，它强调大量、重复的操作性学习，从某种程度上来说，它就是“应试教育”的理论保护伞，虽然它曾长期占据着主导地位，而且至今还对数学的教和学产生着巨大影响，但已不能适应今天的数学教育的需要了．认知观点真正抓住数学学习的实质，从理论上给我们提供一些原理，帮助我们寻找教学途径，诊断分析学生学习中存在的问题．我们应摆脱传统教学观念的束缚，加强合理解释和指导教学的能力，从根本上改进教学方式，提高教学效率，使教学上升到行为主义理论指导下无法达到的水平，最终促进学生素质的迅速发展。

５．什么是非智力因素？它对智力发展起何作用？简述非智力因素在数学学习中的作用．

答：什么是非智力因素？从广义来说，凡智力因素以外的一切心理因素，统称为非智力因素，它是相对人的智力因素而言的．从狭义来说，非智力因素主要指动机，兴趣，情感，意志和性格．

一般来说，非智力因素在促进智力发展中的作用，主要表现在以下几个方面： （１）始动作用；（２）指向作用；（３）维持和调节作用；（４）强化作用；（５）补偿作用．

６．什么是数学学习的记忆和迁移？如何运用记忆和迁移规律进行数学学习？ 答：数学学习的记忆是学生学过的数学知识、经验在头脑中的反映，是学生通过数学学习积累数学知识、经验的功能表现．一种学习对另一种学习的作用，在心理学上称为学习的迁移．

数学记忆是有一定的规律的．在数学学习中，应该不断与遗忘作斗争，加强数学知识的保持．一般地说来，我们应该注意下面几点：（1）明确记忆的目的和任务；（2）理解所学的知识内容并概括成系统；（3）合理安排复习；（4）借助直观形象和语言的作用加强数学记忆．

迁移规律在数学学习中的应用：（1）加强新旧知识的联系；（2）注重规律，教会学生如何学习．

７．简述数学学习的一般原则与方法．你能否给出一些数学学习方法． 答：在数学学习中，一般应遵循以下几条原则：（１）动力性原则；（２）遵循渐

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进原则；（３）独立思考原则；（４）及时反馈原则；（５）理论联系实际的原则．

在数学学习中常用的一些方法：（１）求教与自学相结合；（２）学习与思考相结合；（３）学用结合，勤于实践；（４）博学详说，由博返约；（５）既有模仿，又有创新；（６）及时复习，增强记忆；（７）总结学习经验，评价学习结果；（８）获取反馈信息，纠正学习中的差错．

习题8

1．什么是事物的本质属性？本质属性与属性有何区别？

答：在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，则称其为这种事物的本质属性．

一个对象的某个属性，可以是其他对象也具有的，但是本质属性是它区别于其他对象的属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不一定是本质属性．

2．什么是数学概念？数学概念是怎样产生的？

答：客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物之间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性．事物由于性质相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，性质不同的事物就形成不同的类．在人们在实践活动中，接受客观事物的各种各样信息，形成观念，这是感性认识阶段．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性的特征和各种各样的概念．而各门学科都有它自己研究的对象，各门学科的概念总是反映事物某方面的本质属性．数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系．数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式．

数学概念的产生和发展的途径是不同的．有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的．例如，几何中的点、线、面、体等概念都是从物体的形状、位臵、大小关系等具体形象抽象概括得来的；有些数学概念是在一些相对具体的概念的基础上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的．例如，复数的概念是在实数概念的基础上产生出来的，而实数的概念是在有理数概念的基础上产生出来

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的，有理数概念是在自然数概念的基础上产生出来的；另外，有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的．例如，直线的“笔直”、“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形状理想化、纯粹化得来的；还有些数学概念是从数学的内部需要产生出来的．例如，为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0．又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、分数指数、无理数指数等概念；还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数?等概念都是在一定的理论基础上提出来的。还有一些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的。例如多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念都是从多边形的结构中得来的．还要指出，数学中许多概念随着数学的发展而发展成为新的概念．例如，从具有公共端点的两条射线所成的角的概念发展成为射线绕它的端点旋转所成的角的概念就是一个明显的例子．又如关于几何量角的三角函数发展成为实数的三角函数也是一个例子．

由此可见，数学概念的产生和发展的过程是非常复杂的，但不管数学概念的形成如何复杂，也不管其如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上或者在一定的理性认识基础上产生出来并逐步发展的．

3．什么是概念的外延和内涵？分别举出代数、几何中的几个概念，说明其外延与内涵．

答：一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延，而它所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．

例如，在自然数系中，偶数这个概念的外延是0，2，4，6，8，…，2n，…等数组成的集合，它的内涵是“能被２整除”这个性质．又如，三角形ABC的顶点这个概念的外延是指A、B、C三点的集合．它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质．

4．什么是概念的定义？常用的定义方法有哪几种？举例说明．正确的定义应符合哪些要求？

答：定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对

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象的本质属性．常用的定义方法有以下几种：

（1）属概念加种差定义法．我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．

（2）发生式定义法．不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．

（3）揭示外延定义法．有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．

（４）归纳定义法．例如用递推公式an=an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．

给概念下定义的要求有：

（１）定义应当相称．即必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们又如，不能把“有理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2等等．已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．

（２）定义不能恶性循环．如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．

（３）定义一般不用否定形式．定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定

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形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．

（４）定义中应没有多余的条件．定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．

５．什么叫概念的分类？它的作用是什么？正确的分类应符合哪些条件？两个交叉关系的概念能否同在一个概念的分类中出现？

答：把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的分类．

通过概念的分类可以揭示被分类概念的外延以及概念间的各种关系，并把概念知识系统化．在数学教学中，常常用分类方法把所学概念

正确的分类应符合下列条件：

（１）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．

（２）分类应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．

（３）每次分类都应按照同一个依据进行．在一次分类中用不同的根据就造成了混乱．

（４）分类不应越级．应把属概念分为最邻近的种概念． 两个交叉关系的概念不能同在一个概念的分类中出现．

６．对于原始概念、用概念形成的形式引入的概念、概念同化形式引入的概念（分别对各种不同类型）、发生式定义引入的概念，在概念引入的教学中各有何注意点？结合实例加以说明．

答：（１）对于原始概念的的引入：一般通过具体事例的观察来加以描述，让学生理解．例如通过针尖刺木板的痕迹引入点的概念，并让学生领会点只表示位臵，而没有形状、大小．尽管这种强调在采用公理化定义时是没有任何必要和意义的

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（因为原始概念的意义只由公理系统规定），但在中学数学教学中还是有必要加以强调，以使得学生能把数学概念与日常生活中的概念加以区别．

（２）对于用概念形成的形式引入的概念：一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义．例如，为了建立直线和平面垂直的概念，可让学生观察自然悬挂的电灯线与天花板的相互位臵，回顾把一根杆子在地面上立直的生活经验等等，让学生尝试描述其本质属性．

（３）对于用同化形式引入的概念：①用属概念加种差定义的概念．这时，新概念是已知概念的特例，新概念可从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来．几何概念的学习大多属于此类情形．教学中要注意讲清种概念是属概念的特例，它具有属概念的一切属性，并且相对于属概念还有它自己特有的属性——种差．②由概念的推广引入的概念．概念的推广是从特殊到一般的发展过程，也体现了概念间的联系和概念的深化．例如，绝对值的概念随着数系的扩充而深化；三角函数的概念，从锐角三角函数发展为任意角三角函数；指数概念，从正整数指数扩充了零指数、负整数指数而发展到整数指数，又扩充了分数指数而发展到有理数指数（在中学数学中，只是提到无理数指数，并没有真正引入概念）．在运用概念的推广来引入新概念时，必须注意讲清三点．一是推广的目的意义，即是概念得到拓广、深化，从而有更广泛的应用；二是推广的合理性，即旧概念作为新概念的特殊情况；三是概念在推广之后，已有更广泛的含义，虽然它含旧概念作为其特殊情况，但不能再局限在原来的范围，不能再停留在旧概念上来理解新概念．讲清第三点是尤其重要的，否则对旧概念的思维定势将产生消极影响，给学生的进一步学习造成心理障碍．③采用对比方法引入新概念．当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时，可采用对比方法引入新概念，这在心理学中属于并列结合学习．例如可以对比分数来引入分式；对比等式来引入不等式；对比三角形全等来引入三角形相似等等．④根据逆反关系引入新概念．这在心理学中也属于并列结合学习．例如由多项式的乘法引入多项式的因式分解；由乘方引入开方；由指数引入对数；由三角函数引入反三角函数等等．教学中特别要注意的是讲清两者之间的逆反关系，这样，学生才能把新概念同化而纳入原认知结构．

（４）对于用发生式定义的概念：这是用对象被构造出来的过程下的定义．在

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教学中，如果直接给出定义，即直接给出构造的过程，在许多情况下效果不够好，可以通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然地得出构造过程，也就是揭示出定义的合理性．例如，“直线和平面所构成的角”这一概念的引入，可以让学生考虑一条直线AB和一个平面α相交，如何来衡量直线对平面的倾斜程度． 7．把新概念纳入已有概念体系的常用方法有哪些？

答：把新概念纳入已有概念体系的方法通常有：概念的形成和概念的同化． 8．什么是判断？表示全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断之间关系的逻辑方阵是怎样的？

答：对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做判断．

全称肯定判断、全称否定判断、特称肯定判断和特称否定判断四种判断之间的关系可用逻辑方阵表示．

9．什么是数学判断？什么是数学命题？

答：关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断．

在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式．只有把内容和形式统一起来，才成为数学命题．

10．说出逻辑联结词“非”、“合取”、“析取”、“蕴涵”、“当且仅当”的意义，并分别写出定义它们的真值表．研究它们的意义何在．

答：（1）否定（非）．对于每个命题，都有一个与它意义相反的命题，这个命题称为原来命题的否定．若用P表示一个命题，它的否定，为命题“非P”，记作┐P．命题联结词“非”由下表（称为真值表）严格定义．

P 1 0 ┐P 0 1 37

（2）合取（与，且）．用命题联结词合取（与，且），把两个命题P和Q联结起来，构成新命题“P合取Q”，记作P∧Q．它的意义是，只有在P、Q都真时，P∧Q才为真．命题联结词“合取”由以下真值表严格定义．

（３）析取（或）．把两个命题P和Q用命题联结词“析取”联结起来，得到新命题“P析取Q”，记作P∨Q．它的意义是，只要P、Q中有一个为真时，P∨Q就为真．命题联结词“析取（或）”由下面的真值表严格定义．

（4）蕴涵（如果…，则…）．把命题P、Q用“如果…，则…”联结起来，构成新命题“如果P，则Q”，记作P→Q，称为蕴涵式．它的含义是，只有在P真且Q假时，P→Q方为假．其中的P称为前件，Q为后件．命题联结词“蕴涵”由下面的真值表严格定义．

P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P→Q 1 0 1 1 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∨Q 1 1 1 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0 38

（5）当且仅当．把命题P、Q用“当且仅当”联结起来，得到新命题“P当且仅当Q”，记作“P?Q”，称为当且仅当式．“P?Q”的含义是，只有当P、Q同为真或同为假时，“P?Q”的真值方为真．“P?Q”由下表的真值表严格定义．

11．什么是数学中的条件命题？条件命题的四种形式间的关系如何？

答：在数学中，如果命题具有形式“P→Q”，并且P、Q都存在，P、Q之间在内容、意义上联系着，P是给出事物具有（或不具有）某种属性，则称这个命题为条件命题（或假言命题）．

条件命题的这四种形式之间的关系，显然可用下图表示．

13．如何进行公理教学？

答：数学公理在命题体系中所处的地位与作用，和原始概念在概念体系中所处的地位作用相当．因此，在中学数学教学中，公理的教学类似于原始概念的教学．教学中主要是使学生理解公理的真实性，再者是记住公理的内容并与所指对象紧密联系起来．因此，公理教学，采用由学生熟知的具体事例或生活经验归纳出规律，容易收到好的效果．如果能让学生自己动手探索，则收效更佳．这样学生便对公理笃信无疑．

14．定理、公式的引入有哪些常用的较好的引入方法？

答：数学中的定理、公式是从现实世界的空间形式和数量关系中抽象出来的一般规律．定理、公式的引入方法直接关系到教学的效果．以下是几种比较好的引入

P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P?Q 1 0 0 1 39

方法：（1）通过对具体事物观察和实验与实践活动，作出猜想．（2）通过推理直接发现结论．（3）通过命题间的关系，由一个命题制作出它的逆命题（或偏逆命题）．

15．形式逻辑的基本规律有哪些？说明它们的名称与内容，并举例说明． 答：逻辑思维的基本规律是客观事物在人们头脑中的反映．形式逻辑是从思维的形式结构方面研究思维规律的科学．它的基本规律有四条：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律．

（１）同一律的内容包括三个方面：①在同一个思维过程中，思维的对象必须保持同一；②在同一个思维过程中，使用的概念必须保持同一；③在同一时间，从同一方面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一．例如，数是可以比较大小的．虚数是数．所以虚数可以比较大小．结论是错误的．产生的原因是，第一句中的“数”是指实数，第二句中的“数”是指复数，偷换了概念．

（２）矛盾律的内容是，在同一时间，从同一方面，对同一思维对象不能作出有矛盾关系或反对关系的判断．例如，对于两个实数a和b，“a?b”与“a?b” 是两个矛盾判断，至少有一个是错误的；“a?b”与“a?b”是两个反对判断，也至少有一个是错误的．

（３）排中律的内容是，对于只有互相矛盾的两种可能的问题，必须肯定其一，两者不能同假．例如，对于一个给定的数a，“a是有理数”和“a是无理数”就是两个矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个为真．

（４）充足理由律的内容是，任何判断都必须有充足的理由才被认为是真的．数学正确判断必须有充足的理由，否则会造成错误．例如，设

22222a?b(a?0,b?0)，等式两边乘以a，得a?ab，两边减去b，得a?b?ab?b两边分解因式，得(a?b)(a?b)?b(a?b)，两边除以(a?b)，得a?b?b，以b代

a，得2b?b，两边除以b，得2?1，所得结果显然是错误的，错误的原因在于以(a?b)除等式两边．因为a?b，而a?b?0，用０除等式两边，这是错误的． 16．数学中常用的推理有哪些？各有何特点与作用？

答：数学中常用的推理有归纳推理、演绎推理和类比推理．它们各有其特点及作

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数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生

112??235之类对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现

的笑话．

因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了． （２）提高记忆能力，加强运算基本功训练

培养学生运算能力，还要提高学生的记忆能力，牢固掌握一些常用的数据、常用的公式和法则．尤其要加强运算基本功训练，籍以形成熟练的技能技巧．

一般来说，在小学阶段，作为运算的基本功主要是：i）熟练掌握整数、小数、分数的四则运算；ii）20以内的口算加减法与表内乘法、相应的除法，要达到“直呼”的程度：熟悉分数、小数互化运算，熟悉一些分数互化的数值．例如：

1131?0.5?0.25?0.75?0.1252448、、、等等．

在初中阶段，作为运算的基本功主要是：

i）熟练掌握有理数的四则运算和有理指数、常用对数、锐角三角函数的运算，特别还要加强整式、分式与根式的运算训练．

ii）要熟记一些重要数据，讲究记忆方法和规律，最好能达到“直呼”的程度：

a、多位数与一位数相乘，直接得积； b、1－20的平方数，1－10的立方数． c、将被开方数化为质因数乘积求方根；

d、特殊角的三角函数值；角度制与弧度制互换． e、乘法公式．

在高中阶段，要通过复习以巩固上述初等运算的能力．要学习一些初等函数的恒等变形；学习行列式和复数的运算；学习极限与微积分运算；还要学会集合的运算、逻辑运算．这阶段的运算基本功主要是：

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i）熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变形，初步掌握极限与微积分运算．

ii）熟记基本公式、重要的极限等、以提高计算速度． 例如：logaa?1，loga1?0，（a?0且a?1）；

??????sin?co?s?co?ssi?n?； sin?1?sinxlim?1???elim?1n??x?0n??x ；；

n微积分基本公式等．

为了使学生练习基本功，一要理解运算所依据的道理；二要记住常用的公式、法则；三要通过练习才能落实到学生身上．练好运算的基本功，并使运算具有一定的速度，是培养学生正确迅速的运算能力不可缺少的． （3）加强运算练习

我们知道任何能力都是可以有计划、有目的地训练出来的，提高学生运算能力必须加强练习，严格训练．加强练习就要按规律进行多练、巧练、反复练．题目由浅到深，基本题、引伸题、创新题依次出现，这样不但可训练学生的运算技能技巧，而且可培养学生的运算能力．严格训练就要做到高质量、高效率，即学生练习要做到正确、迅速、合理．从某种意义上讲，运算能力的培养实际上就是对合理进行计算的能力培养．而这种合理性的发现，“简捷算法”的寻得，首先就需要有很好的观察力和对基础知识的良好掌握．

由于每个人在观察时，抓住问题的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”，“多解”之中一般总有较为简捷的解法．经常引导学生重视“简捷算法”与“一题多解”的训练，可以培养学生思维的敏捷性和灵活性．只有思想上“迅速”了，行动上才能“迅速”起来；只有解法上“合理”了，即在应有的水平上达到了“最佳选择”，才能获得最快的速度．

当然“简捷算法”与“一题多解”的训练必须紧密结合教学内容进行；必须从小学到中学，一贯重视这种能力的培养，循序渐进地提高要求，才能使学生学到运算技能和技巧，得到系统的巩固和提高，从而形成一种运算能力，进而去探索未知领域，获得新知识．当然这种未知领域对于学生来说是先前未曾感知过的，

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而对教师来说是可能感知过的．

在低年级，一般宜进行“简捷运算”的训练．因为学生年龄尚小，所学知识也不多，他们往往会为获得一种“简捷运算”而欢欣鼓舞，可以说简捷运算容易引起学生的学习兴趣．当然在高年级也要寻求“简捷算法”，即使搞“一题多解”训练，最后也要比较，看哪种解法最为简捷．从而进行选择，加强解题的预见性，做到解题时思维敏捷，避繁就简，达到正确迅速的要求．而对于学生有创见的解法，也要善于引导，爱护他们独立思考的积极性，同时帮助他们分析具体错误的症结．

另外，在数学教学中经常给学生出一些创新题去运算，对学生的运算能力培养是十分有益的．当然这些创新题应是学生力所能及的，那种一提“创造”就认为是让学生解答数学家所未能解答的问题的态度，显然是不可取的． ４．培养学生的逻辑思维能力有哪些途径？试举例说明．

答：逻辑思维能力就是根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析，抽象概括，推理证明的能力．培养学生的逻辑思维能力有如下基本途径： （1）教师要作出示范

中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的．数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程．数学中的概念的形成，命题的判断，都与逻辑思维紧密相连．所以，教师在传授数学知识的过程中要严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式，作出示范，循序渐进，潜移默化地培养学生的逻辑思维能力．

数学论证都是在一定的逻辑系统中进行的，所以教师必须在给定的逻辑系统中向学生传授知识．

例1 已知实数x、y、z，满足

11x?y?2y?z?z2?z??024

x??z?y求的值．

112x?yz?z?2y?x4 解 因为x、y、z为实数，所以2≥0，≥0，1??11??z??x?y?2y?z?z2?z??02?≥0．又因为2?4，所以

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1?x????4?x?y?01??y????4?2y?z?0?1?21?z?z?z??0??2 4? 解得?所以

?z?y?x?11??????24??14?2．

本题是在实数范围内进行推演的，但是如果在复数范围内，这样推导出来的结果就不正确了．教师对于思维规律的使用不能有半点差错，否则他（或她）的学生思维便会发生混乱．教师对思维形式的使用也应是规范的，不然学生无章可循，也会无所适从．

（2）教会学生运用逻辑常识

培养学生逻辑思维能力的另一个途径是教会学生运用逻辑思维常识进行推理论证，并通过此过程提高他们抽象概括、分析综合、推理证明的能力．

众所周知，在中学数学教材中，运用了许多与逻辑知识有关的数学内容的推理证明方法．因此，应在数学教学过程中，结合具体数学内容通俗地讲授一些必要的逻辑常识，当然应该包括一些数理逻辑常识，使学生能运用它们来指导推理、证明．这样会有助于提高学生的逻辑思维能力．

例如，在学生学习了概念的从属关系以及“属概念加种差”的定义方法之后，在根据某概念的定义进行推理时，就不会只单单考虑定义中的种差，而且同时也会考虑被定义概念还具有它的属概念的一切属性．这样，在推理证明中的思路就会畅通得多．又如学生如果掌握了概念的分类方法和要求，当他们运用穷举法证明问题时，就不会遗漏或重复某种情况．

所以，学生若能运用逻辑知识来指导推理证明，就容易做到思维畅通，正确无误． （3）加强逻辑思维能力的训练

在数学教学中，通过加强对数学概念形成的认识，来加强对数学命题推理证明的训练，是提高学生逻辑思维能力的更有效的途径．因此数学内容的讲授应加强逻辑的严谨性．讲授的例题，布臵的习题应增加思考题、证明题、讨论题，借以加强逻辑思维能力的训练．不仅需在几何内容中加强逻辑推理的训练，还要在代数、三角、解析几何等内容中也要加强推理证明的训练，从而培养学生的逻辑

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思维能力．一些学校在课外活动中也加强逻辑思维能力的培养，同样是值得提倡的．

例1 有两个人玩这样一种游戏，第一个人说出一个个位数（即从1至9的整数）；第二个人对该数加上另一个个位数（也是从1至9的整数）；说出和数，不加数不行．接着第一个人对这个和数再加上一个个位数，并说出和数，如此下去．谁先说到66，谁便得胜．试问，如果玩法正确，胜者是谁？先开头的呢，还是其对手，要想得胜，应当怎样玩这种游戏呢？

解 若玩法正确，先开头说者得胜．这是因为二人竞赛，均想先说到66．而要想先说到66，必须先说到56，此时不论其对手说1至9中的哪一个，并加在56上，其和只能是57至65中的一个，均达不到66，先说者只需将1至9中的一数加到57至65中一数之上即可得66．依此类推，欲先说到56，又须先说到46、36、26、16、6，所以先说者开始只须讲6，然后控制16、26、36、46、56，作为每次加法的和数，则胜利定可在握．

这类题对培养学生的逻辑思维能力是很有益的． ５．培养学生的空间想象能力有哪些途径？试举例说明．

答：如同培养学生的运算能力一样，培养学生的空间想象能力也需要认真学习，牢固掌握基础知识，要会绘图会看图，还要进行一系列的关于加强空间想象能力的训练．具体地说，培养学生空间想象能力的基本途径可有以下几条： （1）学好有关空间形式的基础知识

想象是客观现实在人脑中的一种反映，所以学生学好有关空间形式的数学知识是提高学生空间想象能力的根本．

中学数学中有关空间形式的知识不仅是几何的知识，还有数形结合的内容．如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线，几何量的度量与计算等内容都可以通过数量分析的方法对几何图形加强理解，掌握这些有利于培养学生的空间想象能力．

从研究数量之间的关系，到研究图形之间的关系，数形之间的关系，这是一个很大的变化，虽然在小学里学生已接触过一些几何图形，数形结合的知识，但是学生的空间概念还是很薄弱的，要使学生熟悉图形之间的关系、数形间的关系，还是较为困难的问题，需要有一个逐步培养的过程．

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