《数字信号处理》（2-7章）习题解答

第二章习题解答

1、求下列序列的z变换X(z)，并标明收敛域，绘出X(z)的零极点图。 (1) ()u(n) (2) (?)u(n) (3) (?0.5)u(?n?1) (4) ?(n?1)

(5) ()[u(n)?u(n?10)] (6) a,0?a?1

解：(1) Z??0.5u(n)???图(1)。

?znn??(2) Z??14?u(n)????14?z?n?，收敛域为z?14，零极点图如题1??n?0z?1412n14nn12nnn?0.5nz?n?n?0?z，收敛域为z?0.5，零极点图如题1解

z?0.5解图(2)。

(3) Z??(?0.5)u(?n?1)???题1解图(3)。

(4) Z??(n?1??z，收敛域为z??，零极点图如题1解图(4)。 (5) 由题可知，

nnn????Z?(0.5)[u(n)?u(n?10)]?Z(0.5)u(n)?Z(0.5)u(n?10)???????nn??????0.5??1nz?n??z，收敛域为z?0.5，零极点图如

z?0.5z??0.510z?0.5z?0.510z?9??z?0.5收敛域为z?0，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于

z?10?zz?0.5z10?0.510z9(z?0.5)

a?anu(n)?a?nu(?n?1)

那么，

n34

n??Z?anu(n)??Z?a?nu(?n?1)?Z?a??????zz ???1z?az?az(a?a?1)?(z?a)(z?a?1)收敛域为a?z?1a，零极点图如题1解图(6)。

jIm[z]Re[z]jIm[z]Re[z]jIm[z]Re[z]00.5?140?0.50(1) (2) (3)

jIm[z]Re[z]jIm[z]9阶 极点

Re[z]jIm[z]Re[z]a1a000.50(4) (5) (6) 题1解图

2、求下列X(z)的反变换。 (1) X(z)?1,z?0.5

1?0.5z?11?0.5z?11,z? (2) X(z)?3121?z?1?z?2481?2z?11, z? (3) X(z)?141?z?14(4) X(z)?z?a1, z? 1?aza解：(1) 解法一：留数法

从收敛域z?0.5可以看出，x?n?是因果序列，即当n?0时，x(n)?0。

n?1X(z)z1znn?1?z? 1?0.5z?1z?0.535

当n?0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)zn?1在围线内的极点

z1??0.5如题2解图(1)所示，因为

Res??X(z)z所以

n?1?zn?n ,z??0.5???z?0.5??0.5???????z?0.5??z??0.5x(n)???0.5?,n?0

综上，

nx(n)???0.5?u(n)

解法二：部分分式展开法

nX(z)?由于收敛域为z?0.5，所以

11?

1?0.5z?11???0.5?z?1x(n)???0.5?u(n)

解法三：长除法

收敛域在圆外，是右边序列，按z的降幂排列。

n1?0.5z?1?(0.5)2z?2?(0.5)3z?3?z?0.5zz?0.5?0.5?0.5?(0.5)2z?1(0.5)2z?1(0.5)2z?1?(0.5)3z?2?(0.5)3z?2?(0.5)z?(0.5)z3?24?3

(0.5)4z?3由于X(z)?x(0)z?x(1)z0?1?x(2)z?2?x(3)z?3，那么

x(n)??1,?0.5,(?0.5)2,?(?0.5)3,?所以

?，

x(n)???0.5?u(n)

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n(2) 解法一：留数法

从收敛域z?0.5可以看出，x?n?是因果序列，即当n?0时，x(n)?0。

X(z)zn?11?0.5z?1zn?1?0.5znn?1 ?z?3?11?211????1?z?zz???z???484??2??n?1当n?0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)z在围线内的极点

z1??14和z2??12如题2解图(2)所示，因为

??n?1n1??zn?1?0.5zn?1????1??1?n?1Res?X(z)z,z???????z????4?????2????

1??1??4???4????4??4?z?z???????4??2????z??14??n?1n?zn?1?0.5zn??1111???????Res?X(z)zn?1,z???????z?????4?????2????

1122???????z?????2??2?z???????4??2????z??12

jIm[z]

CjIm[z]C?0.5Re[z]11??24Re[z]题2解图(1) 题2解图(2)

所以

nn1?1????1??1?x(n)?Res?X(z)zn?1,z????Res?X(z)zn?1,z????4?????3????

4?2????2??4?综上，

n??1?n?1??x(n)??4?????3?????u(n)

?4?????2??解法二：部分分式展开法

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11?z?143432 X(z)??????1?1??1?1?1?1z?11?1z?1?1??1?1??11????z1????z?1?z??1?z?24242???????4?由于收敛域为z?1，所以 2n??1?n?1??x(n)??4?????3?????u(n)

?4?????2??(3) 由题可知

1?2z?17X(z)??8?

1?11?11?z1?z44收敛域为z?1，所以 4x(n)?8?(n)?7?14?u(?n?1)

(4) 由题可知

nX(z)z?a?a1?a2 ???zz?1?az?z1?az则

1?1?X(z)??a??a??? ?1a1?1az??收敛域为z?1，所以 a1??1??x(n)?(?a)??(n)??a??????u(n)a??a??11??1??????(n)??a??????u(n?1)aa??a??

nn

3、假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域，对应不同的收敛域求x(n)。

1?2z4 X(z)?1?25?13?2(1?z)(1?z?z)4481?38

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