数字通信—基础与应用（第二版）第二章答案章答案

第二章

习题

2.1. 用八进制系统传输单词“HOW”

（a）用7比特ACSII码将单词“HOW”编码为一比特序列，每个字符的第8位为检错位，它使8比特中1的总数为偶数。试问该消息中共有几个比特？

（b）将比特流每3个比特分为1组，每组用1个八进制数（码元）表示。试问该消息中共有几个八进制码元？

（c）若采用16进制系统，表示单词“HOW”共需要几个码元？ （d）若采用256进制系统，表示单词“HOW”共需要几个码元？ (a) 00010010?????11110011?????11101011?????共24bit

HOW(b) 000?001?101?100?101?111?111?011?共8个二进制码元

04571753(c)

24bits4bits/symbol24bits3bits/symbol?6symbol

(d)

?8symbol

2.2. 用M=16的多电平PAM波形每秒传输800字符，本题中字符的定义与2.1题中相同，每个字符都由7位数据位加1位检错位组成。 （a）比特传输速率为多少？ （b）码元速率又为多少？

(a) 800char/s?8bits/char?6400bits/s (b)

6400bits/s4bits/symbol?1600symbol/s

2.3. 用M=32的多电平PAM波形在2秒内传输由文字与数字组成的100个字符的消息，本题中字符的定义与2.1题中相同，每个字符都由7位数据位加1位检错位组成。 （a）计算比特传输速率与码元速率。

（b）分别对16电平PAM、8电平PAM、4电平PAM和PCM（二进制）波形重复计算（a）。 (a) 100char/2s?8bits/char?400bits/s 400bits/s5bits/symbol?80symbol/s

(b)16-level PCM：400bits/s,100symbol/s 8-level PCM：400bits/s,133.3symbol/s 4-level PCM：400bits/s,200symbol/s 2-level PCM：400bits/s,400symbol/s

2.4. 对某模拟波形以奈奎斯特频率fs进行自然抽样，试证明用图P2.1所示的恢复技术可

由样值恢复原波形（与原波形成正比），参数mfs为本振频率，m为正整数。

图P2.1

?xs(t)?x(t)xp(t)?x(t){?cnen????j2?nfst}

?x(t){c0?2?cncos(2?nfst)}n?1x1(t)?xs(t)cos(2?mfst)??ccos(2?mft)?0s???? ???x(t)??2?cncos(2?nfst)cos(2?mfst)??1?n?n?m??2?2cmcos(2?mfst)?????通过低通滤波器后，c0cos(2?mfst)、2?cncos(2?nfst)cos(2?mfst)被滤除。

n?1n?mx0(t)?x(t)2cm(12?12cos(4?mfst)?cmx(t)

2.5. 对某模拟信号以奈奎斯特频率1/Ts进行抽样，并用L个电平对样值进行量化，然后将所得数字信号在某信道中传输。

（a） 试证明传输的二进制编码信号的比特周期T必须满足T≤Ts/(log2L)。 （b）等号何时成立？

(a)L个量化电平至少需要log2L个比特，Ts秒内至少需要log2L个比特，因此，每比特的时间间隔T：T?Tslog2L。

(b)当L是2的正整数幂的时候等号成立。

2.6. 给定PCM码中每个样值的比特数分别为（a）5；（b）8；（c）x时，求各自所需要的量化电平数。？ (a) 2?32

5(b) 28?256 (c) 2x

2.7. 试确定能够完全重构信号x(t)=sin(6280t)/(6280t)所需的最低抽样速率。

sin(6280t)6280tsin(?Wt2Wt2)W2x(t)?其中，?2?f?6280rad,f?1000Hz

?1?,|f|?1000Hz，fm?1000Hz，故最小采样率fs?2fm?2000sample/s X(f)??W?0,其他?2.8. 某音频信号的频谱在300Hz到3300Hz之间，对其进行抽样以生成PCM信号，抽样速率为每秒8000个样值，假设输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB。

（a）均匀量化最少需要几个电平？每个样值最少需要几个比特？ （b）计算检测该PCM信号所需的系统带宽（由信号频谱的主瓣确定） （a） (SN)g=3L2?30dB

10log10(3L2)?30dB L=[18,26]=19

所以量化数到最小值为

l=[log2(L)]=[log2(19)]=5bits/sample

Tsl（b）Tb=

=

1lfs=

15(8000)=25us

一个bit的时间周期为Tb的数据需要的带宽W为： W=

1Tb=

125us=40kHz

2.9. 对波形x(t)=10cos (1000t+π/3)+20cos(2000t+π/6)进行均匀抽样以便数字传输。 （a）为能完全重建该信号，求各个抽样点间的最大时间间隔。 （b）要重建1小时的波形，需要存储多少样值？ (a) wm?2?fm=2000

fm?2000/2??318.3Hz fs?2fm?636.6 samples/s

Ts?1fs?0.00157 s

(b)636.6 samples/s*3600s=2.29*106 samples

2.10.（a）对带限为50kHz的波形抽样，抽样间隔为10?s，试绘图说明由这些抽样点可唯一确定原波形（为简单起见，可选用正弦函数，不要在原波形的零点处抽样）。

（b）抽样间隔改为30?s，试绘图说明由这些抽样点恢复的波形与原波形不同。(a)

f0=50kHz; Ts?12f0=10us

51015202530t ,us2Ts51015202530采样波形t ,us5101520253035404550556065t ,us6Ts5101520253035404550556065t ,us

16Tsreconducted waveform(重建、重载)波形的周期是6Ts，所以，f?

=16.67 kHz?50 kHz

2.11. 对波形x(t)=cos2πf0 t进行欠抽样，抽样速率为fs=1.5f0，利用卷积性质绘图说明

欠抽样的影响。

1X(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]21212?f00Xs(f)f0f3fs?f02?2fs?fs02fsfX(f)*Xs(f)?3fs?f0

?fs?f0?2fs?f0?f0?fs?f00fs?f0f02fs?f0fs?f03fs?f0

2.12. 已经知道当抽样速率大于信号带宽的2倍时不会有混叠现象，但实际上严格带限的

信号是不存在的，因此混叠总是不可避免的。

（a）设某个滤波后的信号，其频谱由截止频率为fu=1000Hz的6阶巴特沃滋滤波器描述，试求将功率谱中的混叠控制在-50dB内所需的抽样速率。 （b）巴特沃滋滤波器为12阶时，重复（a）。 (a) 由式子（1.65）可知：

|H(f)|?211?(f/fu)2n

对于一个6阶巴待沃思滤波器，由给出条件可知： 10?5?11?(f/1000)12

求的f=2610 Hz，因此采样率的最小值为：5220 samples/s

（b）由式子（1.65）可以求出，对于一个12阶的巴待沃思滤波滤波器及给定的采样要求，求出f=1616 Hz。因此采样率至少为3232 samples/s

2.13.（a）用草图画出?=10时的压缩特性曲线，说明它可以处理-5到+5V间的输入电压。

（b）画出相应的扩展特性曲线。

（c）画出对应于?=10时压缩特性曲线的16电平非均匀量化器特性。 （a）μ=10时的压缩特性曲线。

（b）μ=10时的扩展特性曲线。

（c）对应于μ=10时压缩特性曲线的16电平非均匀量化器特性。

2.14. 某模拟波形最高频率为fm=4000Hz，用16电平PAM系统传输，量化失真不超过模拟波形电压峰-峰值的±1％。

（a）该PAM传输系统中，每个样值或PCM码字最少需要几个比特？ （b）求最低抽样速率及相应的比特速率。 （c）求16进制PAM系统的码元传输速率。 （a）L?12P?10.022?50 电平

l??log50?6 比特 / 样值

?（b）最低采样速率

f?2sfkm?2?4000?8000 赫兹

比特速率：R?8000?6?48000 比特 / 秒 （c）由多电平脉冲M?2?16得，

1个码元有 k=4 比特组成。 码元传输速率：RS?Rlog2M?480004?12000 码元 / 秒

2.15. 对频率为300Hz到3300Hz，峰-峰电压不超过10V的信号进行抽样，抽样速率为每秒8000个抽样点，然后用64个均匀的电平对样值进行量化。在用二进制脉冲和四进制脉冲传输抽样量化值的情况下，分别计算系统带宽和峰值信号功率与量化噪声均方根的比值，并进行比较。设系统带宽由信号频谱的主瓣确定。 用二进制脉冲的情况：

R?8000?6?48000 比特 / 秒

W?1T?R?48000 赫兹

b?S? ???N??3L?3q2?64?2?12288?41dB

用四进制脉冲的情况： RS? W?1T480002??24000 样值 / 秒 ?24000 赫兹

RS ??S???N??41dB，同采用二进制脉冲的情况得到的结果相同。

q2.16. CD数字音频系统中，将模拟信号数字化，以使峰值信号功率与峰值量化噪声功率的比值至少为96dB，抽样速率为每秒44.1k个抽样点。 （a）要使S/Nq=96dB，需要多少量化电平？

（b）在（a）中求得的量化电平下，每个样值需要几个比特？ （c）数据速率为多少？

（a）假设量化电平L是等间距且关于零对称。最大可能的量化噪声电压等于两个相邻区间的电压q的1/2，同样，峰值量化噪声功率，Nq，可以表示成（q/2）2。

峰值信号功率，S，可以表示成（Vpp/2），其中Vpp=Vp-（-Vp）是峰—峰信号电压，Vp是峰值电压。

因为在量化电平L和（L-1）的区间（每个区间相应的为q伏特），我们可以得到：

2

?S?? ??N??q?我们可以写成：

?Vpp2??q?L?1?2?q???22peak?q2?2?q2?2L4q4222?L2

所以，我们要计算有多少量化电平，L，才能得到（S/Nq）peak=96 d B。因此，

96dB?S???10log??N??q?109620?10peaklogL102?20log10L

L?10?63069 电平

（b）在（a）中求得的量化电平下，每个样值需要的比特数为 ： l??logL???log2263096??16 比特 / 样值

（c）R?16?44.1k?705600 比特 / 秒

2.17. 假设在相同的数据速率与误比特率条件下，试通过计算说明NRZ波形和RZ波形所需的信号功率有何不同；在同样的假设条件下，试说明这两种波形的高、低电平之间的落差是相等的。其中需要信号功率较小的那个波形有没有什么缺点？如果有，是什么？ 设峰峰值的幅度大小为A V。 双极性波形（NRZ）

+A/2二进制1t-A/2二进制02

1A1AA平均功率=()2?()2?

22224单极性波形（RZ）

A012二进制1t(A)?2

平均功率=

12(0)?2A22

双极性信号在相同的二进制0和1分离时，只需一半的平均功率。双极性信号的缺点是需要

双电源供电。

2.18. 1962年，AT&T公司最先提供了称为T1的数字电话传输服务，该服务中的每个T1帧划分为24个信道或时隙，一个时隙包括8比特（1个语音样值），每帧都有1个附加比特位，用于定时。每帧的抽样速率为8000样值/秒，传输带宽为386kHz，试求该信号的带宽利用率（单位为bits/s/Hz）。

T1服务中的数据速率为：

(24sample/frame?8bits/sample?1alignment_bit/frame)?8000frames/s?193bits/frame?8000frames/s?1.544?10bits/s6

带宽利用率为： RW?1.544?10386?1036?4bits/s/Hz

2.19.（a）数字传输系统中语音信号的量化失真不能超过模拟信号峰-峰电压值的±1%，语

音信号带宽与允许传输带宽均为4000Hz，以奈奎斯特速率进行抽样，求所需的带宽利用率（单位为bits/s/Hz）。 （b）语音信号带宽为20kHz（高保真）而可用传输带宽仍为4000Hz时重复（a）。 （a）根据公式（2.26）到（2.28）

2?L?l12p级

又p?0.02，所以l?log2??log225? ??0.04??因此，至少需要25个电平，每个样值至少需要5个比特。 数据速率为8000samples/s?5bits/sample?40000bits/s

这个数据速率需要在带宽为4000Hz的频带上传输，因此，需要的带宽利用率为

RW?40000bits/s4000Hz?10bits/s/Hz

?1?（b）当语音信号带宽为20kHz时，奈奎斯特采样速率为40k样值/秒，比特率为

40000samples/s?5bits/sample?200000bits/s

因此，需要的带宽利用率为

RW?200000bits/s4000Hz?50bits/s/Hz

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