第十章排列组合和二项式定理（第11课）组合(5)

高中数学教案 第十章排列组合和二项式定理（第11课时） 王新敞

课 题： 10 3

组合 (五)

教学目的：

1 对排列组合的知识有一个系统的了解，从而进一步掌握； 2．能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题； 3．提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力 教学重点：排列、组合综合问题 教学难点：排列、组合综合问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.

排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法 教学过程：

一、复习引入：

1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法

中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N?m1?m2???mn种不

同的方法 新疆奎屯市第一高级中学 第 1页（共5页）

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2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N?m1?m2???mn 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个．．．．．元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排

m列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示 m5．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N?,m?n）

6 阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1．

m7．排列数的另一个计算公式：An=

n! (n?m)!8 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一

组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 9．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的

m个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．

Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)10．组合数公式：C?m?

Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!11 组合数的性质1：Cn?Cnmn?m0．规定：Cn?1；

mm?1 12．组合数的性质2：Cn ?1＝Cn+Cnm二、讲解范例：

例1．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中

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A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前问：此考生共有多少种不同的填表方法？ 解：先填第一档次的三个志愿栏：因A校定为第一档次的第一志愿，故第一档

22次的二、三志愿有A6种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B、C两校有C31种填法，剩余的一个志愿栏有A3种填法由分步计数原理知，此考生不同的填表

方法共有ACA?270（种） 262313A 例2．如图是由12个小正方形组成的3?4矩形网格，一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路

B 径有 条 解： 总揽全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，

3因此，本题的结论是：C7?35．

例3．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？

解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合显然，并不是每两条弦都在圆内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的 4因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即C12?495个 变式：本题构造了四边形以求得满足条件的交点，类似的，前面讲过一个问题： 以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对 4解：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有C8?12＝58个，每个四面体的

四条棱可以组成3对异面直线，因此以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有3×58＝174对 3122另解：3?2C4C4?C4C4?10??174对 ????例4．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

解：本题实质是，前五次测试中有1只正品4只次品，且第五次测试的是次品 思路一：设想有五个位置，先从6只正品中任选1只，放在前四个位置的任

114一个上，有C6再把4只次品在剩下的四个位置上任意排列，有A4种C4种方法；

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114排法故不同的情形共有C6C4A4?576种 思路二：设想有五个位置，先从4只次品中任选1只，放在第五个位置上，

1有C4种方法；再从6只正品中任选1只，和剩下的3只次品一起在前四个位置14114上任意排列，有C6A4种方法故不同的情形共有C4C6A4?576种 例5．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？

解：需要考虑两种情况：第一种，因故退出比赛的两人之间没有进行比赛，则

2Cn?2?6?83，此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了2n?15，所以，比赛开始时参赛者有15人 比赛，则Cn?2?6?1?83，解得

三、课堂练习：

1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可B以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 （ ）

34765612A6812A．26 B．24 C．20 D．19

2．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是 （ ）

A．64 B．20 C．18 D．10

3．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）

A．90 B．180 C．270 D．540 4．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有 种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有 种 5．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：

（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；

（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ． 6．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有 种不同的坐法 7．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有 种选法 新疆奎屯市第一高级中学 第 4页（共5页）

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8．A,B,C,D,E5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A、

B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军”；对B说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能

有 种不同的情况 9．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备 种不同的素菜种 10．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种 11．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为 个 44答案：1. D 2. D 3. D 4. 6?1296, C6A4?360

34444345.⑴A4A4?144 ⑷A7A4?576 ⑵A4A5?1440 ⑶A3?840 33332231336. A5?60 7. C3C7?5C6C3?C5C5C3?C5C4?675 3228. 3?3?A3?54 9. C5Cx?200?xmin?7 44411110. C6C4C4?1440 11. C6C10?60

四、小结 ：1．解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数； 2．解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记：

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