赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦

赵玉苗编高中数学函数与导数优秀试题集锦

1．已知函数f(x)是定义在 2,2 上的奇函数，当x [ 2,0)时，f(x) tx （1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t [2,6]时，求f(x)在 2,0 上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在 0,2 上

的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t 9时，证明：函数y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y 14

13

x（t 2

解x 0,2 时， x 2,0 ， 则 f( x) t( x)

11( x)3 tx x3 22

∵函数f(x)是定义在 2,2 上的奇函数，即f x f x

131

x，即 f(x) tx x3，又可知 f 0 0 22

13

∴函数f(x)的解析式为 f(x) tx x ，x 2,2

2

∴ f x tx （2）f x x t

112

x ，∵t [2,6]，x 2,0 ，∴t x2 0

22

∵ f x

2

1212 2

2x t x t x 1 x2 t x2

3 2

3

8t 27

3

∴x t

2

122t6t6t26x，即 x2 ,x ( 2,0 )时，fmin tt 23339

猜想f(x)在 0,2 上的单调递增区间为 0,

6t

3

（3）t 9时，任取 2 x1 x2 2， ∵f x1 f x2 x1 x2 t

122 x1 x1x2 x2 0 2

∴f x 在 2,2 上单调递增，即f x f 2 ,f 2 ，即f x 4 2t,2t 4 ∵t 9，∴4 2t 14,2t 4 14，∴14 4 2t,2t 4

∴当t 9时，函数y f(x)的图象上至少有一个点落在直线y 14上．

2. 对于任意实数x，符号 x 表示x的整数部分，即 x 是不超过x在实数轴（箭头向右）

上 x 是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时 x 就是x这个函数 x 叫做“取整函数”也叫高

斯（Gauss

从 x 的定义可得下列性质：x 1＜ x ≤x＜ x 1

与 x 有关的另一个函数是 x ，它的定义是 x =x- x ， x 称为x

（1）根据上文，求 x 的取值范围和 5.2 的值； （2）求

解：（1） x 的取值范围是

（2）

；

所以，原式=3.已知函数f(x)=

ax

，在x 1处取得极值 2

x b

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）m满足什么条件时，区间(m,2m 1)为函数f(x)的单调增区间？ （3）若P(x0,y0)为f(x)=

axax

lf(x)图象上的任意一点，直线与=的图象切于P点，求22

x bx b

直线l

axa(x2 b) ax(2x)/

解：（1）已知函数f(x)=2， f(x) （ 2分）

x b(x2 b)2

a(1 b) 2a 0

f/(1) 0 a 4

又函数f(x)在x 1处取得极值2， ，即 a

2 f(1) 2 b 1 1 b

f(x)

4x

（ 5分） x2 1

4(x2 1) 4x(2x)

由f(x) 0 x 1

22

(x 1)

/

所以f(x)

的单调增区间为[ 1,1]， （ 8分） 2

x 1

m 1

若(m,2m 1)为函数f(x)的单调增区间，则有 2m 1 1

2m 1 m

解得 1 m 0

即m ( 1,0]时，(m,2m 1)为函数f(x) （ 10分）

4x4(x2 1) 4x(2x)/

（3） f(x) 2 f(x) 22

x 1(x 1)

直线l的斜率为k f(x0)

/

4(x0 1) 8x0

(x0 1)

2

2

22

4[

2(x0 1)

2

2

1x0

2

]（ 12分）

1

令

1x0 1

2

t,t (0,1]，则直线l的斜率k 4(2t2 t),t (0,1]，

1

k [ ,4 （ 14分）

2

4.对于定义域为D的函数y f(x)，若同时满足下列条件： ①f(x)在D内单调递增或单调递减；

②存在区间[a,b] D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]； 那么把y f(x)（x D

（1）求闭函数y x符合条件②的区间[a,b]； （2）判断函数f(x) （3）若y k

3

31

x (x 0)是否为闭函数？并说明理由； 4x

x 2是闭函数，求实数k

b a3 a 133

解：（1）由题意，y x在[a,b]上递减，则 a b解得

b 1 b a

所以，所求的区间为[-1，1] （ 4分）

776 f(x2)，即f(x)不是(0, ) 410

1133,x2 ,f(x1) 10 100 f(x2)， 取x1 1010040400

（2）取x1 1,x2 10,则f(x1)

即f(x)不是(0, )上的增函数

（ 8分）

（3）若y k x 2是闭函数，则存在区间[a,b]，在区间[a,b]上，函数f(x)的值域为[a,b]，即

a k a 2 b k b 2， a,b为方程x k x 2的两个实数根，

即方程x2 (2k 1)x k2 2 0(x 2,x k)（ 10分）

0 9

当k 2时，有 f( 2) 0，解得 k

4 2k 1

2 2

0

当k 2时，有 f(k) 0

2k 1 k 2

9

, 2（ 14分） 4

321111

5. 已知函数f(x) ax x的最大值不大于，又当x [,]时,f(x) .

26428

综上所述，k (

（1）求a的值；

11,an 1 f(an),n N .证明an . 2n 1

321

（1）解：由于f(x) ax x的最大值不大于,所以

26

（2）设0 a1

aa21

,即a2 1. ① 3分 f()

366

1 a31 1f() , , 111 2 2888

即 解得a 1. ② 又x [,]时f(x) ,所以 11a31428 f() , . 8 4 4328

由①②得a 1. 6分

11

，不等式0 an 成立； 2n 1

211

因f(x) 0,x (0,),所以0 a2 f(a1) ,故n 2时不等式也成立.

363

132

（ii）假设n k(k 2)时，不等式0 ak 成立，因为f(x) x x的

k 12

1111

得 对称轴为x ,知f(x)在[0,]为增函数，所以由0 a1

33k 13

1

0 f(ak) f() 8分

k 1

（2）证法一：（i）当n=1时，0 a1 于是有

0 ak 1

131111k 41

, k 12(k 1)2k 2k 2k 22(k 1)2(k 2)k 2

12分 所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何n N，不等式an

1

成立. 14分 n 1

6. 已知函数y f(x) x x a(x [ 1,1],a R).

（1）求函数f(x)的值域；

（2）设函数y f(x)的定义域为D，若对任意的x1,x2 D，都有|f(x1) f(x2)| 1 成立，则称函数y f(x)为“标准函数”，否则称为“非标准函数” 试判断函数

3

，如果是，请给出证明；如果不是，请说y f(x) x3 x a(x [ 1,1],a R).是否为“标准函数”

解：（1）f(x) 3x 1，令3x 1 0,x

'22

3

[ 1,1]..............2分

3

可见，当x [ 1,1]时，

32323) a ,f(x)min f() a ,3939

22 函数f(x)值域为[a ,a ]..............................................7分

99f(x)max f(

（2）如果对于任意x1,x2 D,|f(x1) f(x2)| |f(x)max f(x)min| 1成立,即可证明f(x)是“标准函数”；否则，f(x) 10分

|f(x1) f(x2)| |f(x)max f(x)min|

7. 已知函数f(x)

4 1,所以f(x) 9

12

(x 0) ax

⑴判断f（x）在（0，＋∞）上的增减性，并证明你的结论； ⑵解关于x的不等式f（x）＞0；

⑶若f（x）＋2x≥0在（0，＋∞）上恒成立，求a （1）定义证明（略）（4分）

21

0即 x a若a<0,则x>0.若a>0,0<x<2a （2） xa

x 0 x 0

21

1

(3)常量分离得a 0或a

4

7. 已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体：对于定义域D中的任何两个自变量x1，x2 (x1≠x2)有| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2(1)当D=R时，f(x)=x2 1是否属于MD？为什么？ (2)当D=(0,+∞)时，f(x)=个D (0,+∞)使 f(x)=

1

是否属于MD？若属于请给予证明，若不属于说明理由，并说明是否存在一x

1

属于MD？为什么？ x

解法一：（1）当D=R时，f(x)=x2 1属于M 2分 事实上，对于任意x1，x2 ∈R(x1≠x2)，

| f(x1)- f(x2

2

2

<

(|x1| |x2|)|x1 x2|

=|x1-x2|x1| |x2|

所以，当D=R时，f(x)=x2 1属于M 6分

(2)当D=(0,+∞)时，f(x)=

1

不属于Mx

事实上，取x1=

11111，x2= (n ∈N*)，则|x1-x2|=|-|=<1， nn 1nn 1n(n 1)

但是 | f(x1)- f(x2)| =|n+1-n| =1>|x1-x21

不属于M 9分 x

1

如果存在一个集合D （0，+∞），使得f(x)=属于MD，

x

所以，当D=(0,+∞)时，f(x)=

设x1，x2 ∈（0，+∞）(x1≠x2)，则| f(x1)- f(x2)| =|

11|x1 x2|-|=，

x1x2x1x2

欲使| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2|，即

|x1 x2|

<|x1-x2|，只需x1x2>1， x1x2

故存在集合D=（1，+∞）时，对于任意x1，x2 ∈D=（1，+∞），都有

| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2 12分

解法二：若f(x)属于MD，则对于任意x1≠x2 ∈D，都有| f(x1)- f(x2)|<|x1-x2|，

即|

f(x1) f(x2)

|<1，亦即，当x∈D时，应有|f ′(x)|<1，

x1 x2

对于f(x)=x2 1来说，f ′(x)

，显然当x∈D=R时，均有|f ′(x)|<1，

所以，f(x)=x2 1属于M 而对于f(x)=

11

来说，f ′(x)= 2，可见，当x>1时，有|f ′(x)|<1， xx

当0<x<1时，|f ′(x)|>1，

1

不属于MD， x

1

但存在集合D=（1，+∞），使得f(x)=属于Mx

32

8. 函数y 2x 3(1 2a)x 12ax 1在x 处取极小值，x 处取极大值，

所以，当D=(0,+∞)时，f(x)=

且 . （Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数的极大值与极小值的和.

解：（I）y 6x 6(1 2a)x 12a 6(x 1)(x 2a) 2分

由y =0，得x 1,或x 2a 3分

2

2

①若 1, 2a,则1 2a,a

2

1 2

此时，y 6(x 1)2 0，不存在极值； 5分 ②若 2a, 1,则( 2a) 1,得a 当a

2

11

,或a （舍） 22

1

时,x ( , 1),y 0;x ( 1,1),y 0;x (1, ), 2

1

y 0满足题设条件 综合①②，a 7分

2

（Ⅱ）由（I）知 1, 1, y极小 5

所以y极小 y极大 2 12分 9. 已知函数f(x)

y极大 3 10分

1 x

lnx， ax

（1）若函数f(x)在[1, )上是增函数，求正实数a的取值范围； （2）a=1时，求f(x)在 ,2 上的最大值和最小值；

2 （3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，ln解：（1）由已知：f'(x)

依题意：

1

n1

。 n 1n

ax 1

， 2 ax2

ax 1

0对x [1, )成立， 2

ax

1

，对x [1, )恒成立， x

∴ ax 1 0，对x [1, )恒成立，即a ∴ a

1

，即a 1。 4

x max

x 1 1

,x ,2 , 2 x 2

（2）当a 1时，f'(x)

若x ,1 ，则f'(x) 0， 若x (1,2]，则f'(x) 0，

1

2

故x 1是函数f(x)在区间 ,2 上唯一的极小值点，也就是最小值点，

2故f(x)min f(1) 0。 6

1

113lne3 ln16 1

又f() 1 ln2,f(2) ln2,f f(2) 2ln2 ，

2222 2

∵ e 2.7 19.683 16，

∴ f f(2) 0，∴ f f(2)， 8

3

3

1 2 1 2

∴ f(x)在 ,2 上最大值是f =1 ln2，

2 2

∴ f(x)在 ,2 最大1 ln2，最小0。 10 2（3）当a=1时，由（1）知，f(x) 当n 1时，令x

1 1

1

1 x

lnx在[1, )是增函数。 x

n

，则x 1，∴f(x) f(1) 0， n 1n1

n n 1 lnn 1 lnn 0， 即f

n 1nn 1 n 1

n 1

n1

。 14 即ln

n 1n

1 x2

10. 已知函数f x x R .

1 x x2

（1）求函数f x 的单调区间和极值；

t

（2）若et 2x2 ex求实数t的取值范围（这里e是 et 2≥0对满足x≤1的任意实数x恒成立，

自然对数的底数）

（3）求证：对任意正数a、b、 、 ，恒有：

a b 2 f

解（1）f x

a2 b2

f

a b a2 b2

. ≥

2

2x 1 x x2 2x 1 1 x2

1 x x2

2

x 2 x 2

2

1 x x2

∴f x

的增区间为 2 2，f x

减区间为 , 2

和 2 . 3分

极大值为f 2

f 2 . 5分

（2）原不等式可化为et≥

2 1 x2 1 x x2

由（1）知，x≤1时，f(x)的最大值为

2. 3

∴

t

e≥

t≥，由恒成立的意义知道8分 2

1 x

x

2

1 x

x x 0 (3)设g x f x x

1 x x2

则g x f x 1

2 1 x2

x2 4x 1

1 x x

22

1

x4 2x3 4x2 6x 2

1 x x

2

22

.

∴当x 0时，g x 0，故g x 在 0, 上是减函数，

a b a b a2 b2

又当a、b、 、 是正实数时， ≤0 2

a b a2 b2

∴ . ≤

a b 2 a b 2 a2 b2 a2 b2

由g x 的单调性有：f ， ≥f

2

a b 2 a2 b2 a b a2 b2

即f . 12′ ≥ f

2

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v2u1.html