2018届高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题5.3圆

5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切. (1)求圆心M的轨迹方程;

(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.

2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆Γ:+y=1(a>1)与圆E:x+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D. (1)求椭圆Γ的离心率;

(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.

3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.

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(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)+(y-y0)=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|+|OB|是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.

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4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C. (1)求曲线C的方程;

(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.

5.(2017福建龙岩一模,文20)已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为. (1)求椭圆M的方程;

(2)若圆N:x+y=r的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值,若不能垂直,请说明理由.

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?导学号24190967?

6.(2017宁夏中卫一模,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知

|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.

(1)求椭圆的方程;

(2)直线y=2上是否存在点M,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.

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5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解 ∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,

∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2. ∴动点M的轨迹方程为x2=4y.

(2)证明 由题意可知直线l的斜率存在,

设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2). 联立化为x2

-4kx+8=0,Δ=16k2

-32>0, 解得k>或k<-.

∴x1+x2=4k,x1x2=8,直线AC的方程为y-y2=-(x+x2). ∵y1=kx1-2,y2=kx2-2,

∴4ky-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,

化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2).

∵x1=4k-x2, ∴4y=(x1-x2)x+8.

令x=0,则y=2,

∴直线AC恒过一定点(0,2).

导学号24190968?- 4 -

?

2.(1)解 由题意得A,B两点关于y轴对称,∴xB=,圆心E到AB的距离为1,∴yB=,∴B,

代入椭圆方程得=1, 解得a=4,∴e=.

(2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,

当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-, 联立方程

消去y得(1+4k)x-4kx-3=0. Δ=16k+4×3(1+4k)=12+64k>0,

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∴x1+x2=,x1x2=,

直线MN'的方程

y-y1=(x-x1),

依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上, 令x=0,

y=y1- = ==-2.

当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2). 故直线MN'过定点(0,-2).

3.解 (1)抛物线y=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,△MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值.

即有b·2c=4,

解得b=2,a=b+c=4+8=12, 则椭圆方程为=1.

(2)设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),

设圆(x-x0)+(y-y0)=3过原点的切线方程为y=kx, 则有,

整理得(-3)k-2x0y0k+-3=0,

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k1+k2=,k1k2=.

又因为=1,

所以可求得k1k2==-,

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