江苏省扬州中学2018-2019学年高三第四次模拟考试(10月)数学试题

2018-2019学年高三第四次模拟考试试卷答案

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。 到功自成，金榜定题名。

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1. 已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝ ▲ ．

【答案】(0,1)

a＋i2. 复数z＝为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ．

1－i

【答案】1

3. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有

40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ． 【答案】8

4. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．

7

【答案】8

x2y24

5. 已知双曲线a2－b2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝3x，那

么该双曲线的离心率为 ▲ ． 5

【答案】3

6. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的

概率为 ▲ ． 3

【答案】4

1

7. 函数f (x)＝x＋a（x≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x)为奇函数”的 ▲ 条件（用

3－1

“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）． 【答案】充要

8. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．

【答案】15π

9. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．

x＋2y?2?【答案】4 解：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，

??即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0．又x＋2y＞0，∴x＋2y≥4．

10. 函数y＝sinα·(sinα－cosα) (a∈)的最大值为 ▲ ． 12【答案】2+2

????????1????????11. 已知△ABC是等边三角形，有一点D满足AB＋AC＝AD，且|CD|＝3，那么

2????????DA?DC＝ ▲ ．

【答案】3

?－x2＋ax (x≤1)

12. 已知函数f (x)＝?，若?x1,x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数

?2ax－5 (x＞1)

a的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞,4)

11

13. 已知函数f (x)满足f (x)＝f (x)，当x∈时，f (x)＝lnx，若在区间[3,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax

与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ▲ ． ln31

【答案】?3,e?

??

14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样

的数列至多有 ▲ 项． 【答案】7

解：a1＋a2＋a3＋···＋an＝a1＋

2

2

(n－1)(a2＋an)22

＝a1＋(n－1)(a1＋n)＝a1＋(n－1)a1＋n(n－1)2

2

n－1?2(n－1)?n－1?2(n－1)(3n＋1)?＝a1＋2＋n(n－1)－4＝a1＋2＋≤33 4????n－1?2(n－1)(3n＋1)?为了使得n尽量大，故a1＋2＝0，∴≤33 4??

∴(n－1)(3n＋1)≤132，当n＝6时，5×19＜132；当n＝7时，6×22＝132， 故nmax＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．

二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）

π1

已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M?3，2?，且与x轴两个相

??

邻的交点的距离为π． （1）求f (x)的解析式；

35

（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝5，f (B)＝13，求△ABC的面积．

解：（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ) ???2分

ππ1ππ4ππ5ππ

∵f (3)＝sin(3＋φ)＝2，且0＜φ＜π ∴3＜3＋φ＜3 ∴3＋φ＝6 即φ＝2 ??5分 π

∴f (x)＝sin?x＋2?＝cosx． ???6分

??

注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x)的解析式不化简不扣分．

35π

（2）∵f (A)＝cosA＝5，f (B)＝cosB＝13， ∴A,B∈(0,2)

412

∴sinA＝5，sinB＝13 ???8分 56

∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝65 ???10分 ab

∵在△ABC中sinA＝sinB ∴b＝15. ???12分 1156

∴S△ABC＝2absinC＝2×13×15×65＝84． ???14分 注意：其他解法参照给分 16. （本小题满分14分）

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点． （1）求证：A1C∥平面AB1D；

（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D， 求证：平面AB1D⊥平面ABM．

证明：(1) 记A1B∩AB1＝O，连接OD.

∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点， 又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD. ???2分 又∵A1C?∕平面AB1D，OD?平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ???6分

OA1B1C1MADA1CC1BB1M注意：条件“A1C?∕平面AB1D，OD?平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！

(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC. ???8分 ∵平面ABC⊥平面BB1C1C，

平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC， ∴AD⊥平面BB1C1C.

【或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.】 ???10分 ∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM. ???12分 又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D?平面AB1D， ∴BM⊥平面AB1D.

又∵BM?平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM． ???14分 17. （本小题满分15分）

如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0?2???），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切． （1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）； （2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．

PQADBCBOA

解：(1)设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，

记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ． ∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－rP，

rP∴sinθ＋rP＝80， ???4分 80·sinθπ∴rP＝ (0＜θ＜2) ???6分

1＋sinθrPrQ

(2)∵|PQ|＝rP＋rQ∴|OP|－|OQ|＝sinθ－sinθ＝rP＋rQ

80·sinθ(1－sinθ)π∴rQ＝ (0＜θ＜2) ???10分

1＋sinθ(t－1)(2－t)3??－1－2法一：令t＝1＋sinθ∈(1,2)，∴rQ＝80·＝8022＋ ttt

OBPQNMA??

113

令m＝t∈（2,1)，rQ＝80(－2m2＋3m－1) ∴m＝4时，有最大值10． ???14分 注意：换元不写范围扣1分 法二：∵2sinθ(1－sinθ)≤

2sinθ＋(1－sinθ)1＋sinθ

＝2 2

(1＋sinθ)21

∴sinθ(1－sinθ)≤ ∴r≤10．此时sinθ＝Q

83 ???14分 注意：不指出取等号的条件扣1分

80(t－t2)80(1－3t)

法三：令t＝sinθ∈(0,1)，rQ＝，∴r?＝ Q

(1＋t)2(1＋t)311

令rQ?＝0得：t＝3，【列表略】故t＝3时，⊙Q的半径的最大值为10．???14分 注意：不列表扣1分

答：⊙Q的半径的最大值为10． ???15分 注意：应用题不写答扣1分 18. （本小题满分15分）

x2y25

已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为5，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P(x0, y0)是椭圆C上第一象限的点．

→→① 若M为线段BF1上一点，且满足PO＝6·OM， 求直线OP的斜率；

② 设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2， y0y0 求证：d＋d为定值，并求出该定值．

1

2

yPF1OF2xMB

c5

解：（1）由题意知，2b＝4，∴b＝2，又∵e＝a＝5，且a2＝b2＋c2，

x2y2

解得：a＝5，c＝1，∴椭圆C的标准方程为5＋4＝1； ???4分 （2）①由（1）知：B(0,－2)，F1(－1,0)，∴BF1：y＝－2x－2 ???5分

??x0＝－6t→→设M(t,－2t－2)，由PO＝6·OM得：? ???7分

?y0＝26(t＋1)?

6t2

代入椭圆方程得：5＋6(t＋1)2＝1，

551

∴36t2＋60t＋25＝0，∴(6t＋5)2＝0， ∴t＝－6 ，∴M(－6，－3) ???9分

22

∴OM的斜率为5，即直线OP的斜率为5； ???10分

?y?kx20?【或】设直线OP的方程为y?kx，由?x2y2，得xP? ???6分 24?5k?1??4?5?y?kx?2由?得xM?， ???8分

k?2?y??2x?22→→由PO＝6·OM得xP??6xM解得：k? ???10分

5y0②由题意，PF1：y＝(x＋1)，即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0 ???11分

x0＋1y0y0∴d1＝2，同理可得：d＝ 2222

y0＋(x0＋1)y0＋(x0－1)y0y022∴d＋d＝y0＋(x0＋1)2＋y0＋(x0－1)2＝PF1＋PF2＝2a＝25 ???15分

12

11y0

【或】∵S△OPF1＝2PF1·d1＝2OF1·y0，∴PF1·d1＝y0，∴d＝PF1．

1

y0

同理在△OPF2中，有d＝PF2．

2

y0y0∴d＋d＝PF1＋PF2＝2a＝25． ???15分

12

19. （本小题满分16分）

已知a为实数，函数f (x)＝a·lnx＋x2－4x．

（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；

1＋a

（3）设g(x)＝2alnx＋x2－5x－x，若存在x0∈，使得f (x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．

2x2－4x＋aa

解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f ?(x)＝x＋2x－4＝ x

假设存在实数a，使f (x)在x＝1处取极值，则f ?(1)＝0，∴a＝2， ???2分 2(x－1)2

此时，f ?(x)＝x，

∴当0＜x＜1时，f ?(x)＞0，f (x)递增；当x＞1时，f ?(x)＞0，f (x)递增． ∴x＝1不是f (x)的极值点．

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