量子力学试卷解答(A)

北 京 交 通 大 学

2006-2007 学年第二学期《量子力学》期末考试试卷（A）

学院__理学院___ 专业___光信息科学与技术__ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________

题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 总分

一．完成下列填空题（共50分）：

1．（3分）?= h/2?? 1.05x10-34 Js 。

??2．（8分）质量为m，动量为p??k的自由粒子的平面波函数??k(r,t)?1(2??)3e??i(k?r??k2t/2m)（3分） ，相应的概率密度ρ=

1（2分），概率3(2??)????k??*??)????v。流密度j=Im(（3分） mm3. （5分）描写弹性散射问题的完整波函数的渐进形式(r→∞)为

??r???Ae??ikzeikr?f(?,?)（2分），微分散射截面与散射振幅的关系是

r2?(?,?)?f(?,?)（3分） 。

?x, axp?x（2分） 是厄密算符，axp?x (a为实数) ，其中 ax?p?x4. (5分）算符ax?p（3分）不是厄密算符。

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5. （9分）在(S2,Sz)表象中，写出两个电子所有的自旋态：

?00??10?1212[?(1)?(2)??(2)?(1)]（3分） ，?11??(1)?(2)，（2分）， ?1?1??(1)?(2)。（2分） [?(1)?(2)??(2)?(1)] （2分）?2d21?m?2x2，能量、动量和宇称三个量中，6（20）（各2分）一维谐振子H??22mdx2守恒的是： 能量和宇称，理由是 [H,H]?0，[P,H]?0 ；不守恒的是 动量 ，理由

是 [p,H]?1m?2[p,x2]??im?x?2?0 ；设谐振子处于基态，则动量的平均值是否2随时间变化？不（定态下力学量的平均值不随时间改变，

d?p1p??[p,H]?0?m?2x?0） dt?ti?，动量的平均值为：

p??0|p|0??0 ；让谐振子带上正电荷q，t =0处于基态|0>，t >0时沿x方向加

上弱恒定电场??（看作微扰），则系统可以跃迁到那些激发态？?第一激发态（H??q?x，

选择定则由x??n|x|0????n1决定，即n=1）????，相应概率是2m??i?t2q2?22?tq?edt?sin()??。 3?02m?2m??t21?W10?2?1i(E1?E0)t/??Hedt??010?2t2参考公式：x|n???nn?1(|n?1??|n?1? m?22dm?nn?1|n??(|n?1??|n?1? dx?22

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二．（15分）考虑一维阶梯势V(x)???0?U0x?0x?0，若能量为E?2U0的粒子沿x

正方向入射，试求该阶梯势的反射系数和透射系数。

?ikx2mE2mU0?ikxx?0k???e?Ae???解： ???（7分）

2mU0k?Beik1xx?0k??1??2?d?在x=0处，???和?连续，有

dx1+A = B （2分）， (1?A)k?Bk1（2分）

A?k?k12?12k22??(2?1)2?3?22，B???22(2?1)

k?k1k?k12?12?1k12B?42(2?1)2?0.97（2分） kR?A?(3?22)2?0.03（2分），T?2??的作用,三．（10分）设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02,现在受到微扰H?b微扰矩阵为H????aa?，其中a和b为实数。求能量一级及二级修正值. b??解: 为非简并微扰。能量一级修正：

(1)（2分） E01??1|H?|1??b，(1)E02??2|H?|2??b（2分）

能量二级修正：

E(2)01?????H212E01?E02?H212a2?（3分） E01?E02a2??（3分）

E01?E02E

(2)02E02?E01四．?（??分）证明：在J2，Jz共同本征态|jm>下，Jx?0?

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解：法1：利用对易关系：[Jz,Jy]??i?Jx（3分）有：

?i?Jx??jm|[Jz,Jy]|jm???jm|JzJy|jm???jm|JyJz|jm??m??jm|Jy|jm??m??jm|Jy|Jm??0法2：根据 Jx?（7分）

1(J??J?)（3分） 2而 J?|jm??C?|jm?1?，利用|jm>的正交归一性，得： （4分）所以， J???jm|J?|jm??C??jm|jm?1??0，Jx?1(J??J?)?0（3分） 2??100??210??五．（15分）设氢原子处于状态????2??,这里?nlm 为不计自旋的氢原子的归一311??化能量本征函数，已知能量本征值为E1, E2,…. （1）试问氢原子不处于定态吗？（2）求初始时刻（t=0）和t时刻归一化的态函数；（3）列表给出E,L,Lz 的可能值及相应的概率;（4）计算自旋S和Sz的平均值。 解：（1）不处于定态；（2分）

2

??100??210??，????A2(1?1?(2)2)?4A2?1 （2）令??A??2??311???100??210?1???， 取 A=1/2（2分），得初始时刻（t=0）归一化的态函数????2?2?311??100e?iE1t/???210e?iE2t/??1??（3分） t时刻归一化的态函数?(t)???iE3t/???2?2?311e?（3）（4分） 可能值 概率 E E1 E2 E3 1/4 1/4 1/2 L 0 Lz 2? 0 ? 1/2 1/2 Sz ?/2 ??/2 1/2 1/2 1/4 3/4 (4) S2?3231?1??,S2??2（2分）?(?)?0（2分） ，Sz?4422224 / 4

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