高中数学模拟汇编 - 三角函数与解三角形解答题专项训练（有答案）

高中数学模拟汇编---三角函数与解三角形解答题专项训练

一．解答题（共30小题）

1．（2015?河南二模）已知函数f（x）=sin（

﹣ωx）（ω＞0）任意两个零点之间的最小距离为

．

（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的取值集合； （Ⅱ）求函数y=f（x）﹣cos（ωx+

2．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜数f（x）的图象向左平移

个单位后图象关于y轴对称．

）图象的相邻两对称轴间的距离为

，若将函

）的单调递增区间．

（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围； （Ⅱ）设g（x）=﹣求cos2x的值．

3．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜数f（x）的图象向左平移

个单位后图象关于y轴对称．

）图象的相邻两对称轴间的距离为

，若将函

cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且

，

（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围； （Ⅱ）设=，且

，求cosx的值．

，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）

4．（2015?泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为

5．（2015?重庆一模）已知向量=（cosax，sinax），=（

，求

的值．

acosC=csinA．

cosax，﹣cosax），其中a＞0，若函数f（x）=的

图象与直线y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列． （1）求a和m的值；

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若c的值．

6．（2015?资阳模拟）已知函数f（x）=（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；

msinxcosx+mcosx+n（m，n∈R）在区间[0，

2

，且a=4，求△ABC面积的最大值及此时b、

]上的值域为[1，2]．

（Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．

7．（2015?重庆一模）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（1）求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）＜m在

8．（2014?北京）函数f（x）=3sin（2x+

）的部分图象如图所示． 上恒成立，求实数m的取值范围．

）﹣

cosx+

2

．

（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣

，﹣

]上的最大值和最小值．

9．（2014?重庆）已知函数f（x）=邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（

10．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（t单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣﹣sin

t，t∈[0，24）．

cos

t

）=

（

＜α＜

），求cos（α+

）的值．

sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣

≤φ＜

）的图象关于直线x=

对称，且图象上相

（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差． 11．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f（t）=10﹣

，t∈[0，24）

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

12．（2014?广东）已知函数f（x）=Asin（x+（1）求A的值；

（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，

），x∈R，且f（）=．

），求f（﹣θ）．

13．（2014?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=（Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积．

14．（2014?东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（Ⅰ）求

的值；

．

，B=A+

．

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．

15．（2014?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=﹣sinBcosB． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

16．（2014?安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin（A+

17．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣

18．（2014?广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．

19．（2014?辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知

?

=2，cosB=，b=3，求：

）的值．

b，sinB=

sinC，

）的值．

，cosA﹣cosB=

2

2

sinAcosA

（Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 20．（2014?重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值； （Ⅱ）若sinAcos

2

+sinBcos

2

=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

21．（2014?陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．

22．（2014?北京）如图，在△ABC中，∠B=（1）求sin∠BAD；

，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．

（2）求BD，AC的长．

23．（2014?湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=

，∠BEC=

．

（Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长．

24．（2014?河东区二模）在△ABC中，，

．

（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）设△ABC的面积，求BC的长．

25．（2014?湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．

（Ⅰ）求cos∠CAD的值； （Ⅱ）若cos∠BAD=﹣

，sin∠CBA=

，求BC的长．

26．（2014?南海区模拟）已知函数小正周期为π． （1）求ω的值；

（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．

27．（2014?河东区一模）已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（﹣x）+cos2

x

（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）当x∈[﹣

，

]时，求函数f（x）的单调区间．

ω为正常数，x∈R）的最

（其中

28．（2014?南昌模拟）已知=（cosωx+sinωx，=?，且函数f（x）的周期为π．

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f（B）=1时，判断△ABC的形状．

29．（2014?红桥区二模）已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

30．（2014?上海模拟）已知向量=（，sinx+（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f（A﹣

）=

，BC=

，sinB=

，求AC的长度．

cosx）和向量=（1，f（x）），且∥．

．

cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0．设函数f（x）

2015年三角函数与解三角形解答题专项训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2015?河南二模）已知函数f（x）=sin（

﹣ωx）（ω＞0）任意两个零点之间的最小距离为

．

（Ⅰ）若f（α）=，α∈[﹣π，π]，求α的取值集合； （Ⅱ）求函数y=f（x）﹣cos（ωx+ 考点： 正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期，进一步确定α的集合． （Ⅱ）通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式，进一步利用整体思想求单调区间． 解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（﹣ωx）=cosωx，任意两个零点之间的最小距离为， ）的单调递增区间．

所以：f（x）的最小正周期为π，故T=又ω＞0， 故ω=2 由f（α）=，得cos2α=， 所以即 ，（k∈Z）， =π， 又α∈[﹣π，π]， 所以（Ⅱ）函数 y=cos2x﹣cos（2x+令解得：所以函数的单调递增区间为：[ ]（k∈Z）． ）=（k∈Z）， ． = 点评： 本题考查的知识要点：正弦函数的最小正周期的求法，正弦型函数的单调区间． 2．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜数f（x）的图象向左平移

个单位后图象关于y轴对称．

）图象的相邻两对称轴间的距离为

，若将函

（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；

（Ⅱ）设g（x）=﹣

cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且

，

求cos2x的值． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）由周期求得ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质求得使f（x）≥成立的x的取值范围． （Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式求得cos（2x）=cos[（2x+解答： 解：（Ⅰ）∵函数∴函数的周期T=π，将f（x）的图象向左平移∵又由∴使（Ⅱ）∵令∴∵∵∴，∴，∴． ，∴， ． 得． ，∴得：的x的取值范围是，∴，解得， ，∴f（x）=sin（2x+φ）． 个单位后得到的函数为， ． ， ，即． ． ， ．再根据）﹣]的值． 图象的相邻两对称轴间的距离， ，求得，图象关于y轴对称，∴，即点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 3．（2015?泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜数f（x）的图象向左平移

个单位后图象关于y轴对称．

）图象的相邻两对称轴间的距离为

，若将函

（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；

（Ⅱ）设=，且

，求cosx的值．

，其中g'（x）是g（x）的导函数，若g（x）

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；导数的运算． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）由周期性求得ω，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的解析式，从而求得使f（x）≥成立的x的取值范围． （Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，再由g（x）=，求得sin（x+由cosx=cos[（x+解答： 解：（Ⅰ）∵函数∴函数的周期T=π，将f（x）的图象向左平移∵∴由∴使（Ⅱ）∵∴令解得∵∴，∴得，所以，∵，∴． ， ， ． ，∴， ，即得：的x的取值范围是，∴f（x）=sin（2x+φ）， 个单位后得到的函数为， ，又， ）﹣]，利用两角差的余弦公式求得结果． 图象的相邻两对称轴间的距离， ）的值，可得cos（x+）的值，再图象关于y轴对称，∴． ，即． ，， 点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，两角差的余弦公式，属于基础题． 4．（2015?泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为

，求

的值．

考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算．

专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0求出tanC的值，即可确定出角C的大小； （Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值． 解答： 解：（Ⅰ）∵acosC=csinA， 由正弦定理得：sinAcosC=sinCsinA， ∵0＜A＜π，∴sinA＞0， ∴cosC=sinC，即tanC=， 又0＜C＜π，∴C=； ， ， （Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为∴S=absinC=×3bsin∴b=2， =由余弦定理得：c=4+9﹣6=7，即c=则?=bccos（π﹣A）=2×（﹣2，cosA=）=﹣1． =， 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 5．（2015?重庆一模）已知向量=（cosax，sinax），=（

cosax，﹣cosax），其中a＞0，若函数f（x）=

的

图象与直线y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列． （1）求a和m的值；

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若c的值． 考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算． 专题： 解三角形． 分析： （1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，根据题意确定出函数的周期及最大值，即可求出a与m的值； ，且a=4，求△ABC面积的最大值及此时b、

（2）由确定出的解析式及f（）=，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入，表示出三角形ABC面积，利用余弦定理列出关系式，把cosA与a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时b与c的值． 解答： 解：（1）∵=（cosax，sinax），=（∴f（x）=?=cosax﹣sinaxcosax=2cosax，﹣cosax）， ﹣sin（2ax﹣）， ﹣1＜0， 由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，∴a=1，m=+1； ，∴sin（A﹣）=0，

（2）∵f（）=

又A为△ABC的内角，∴A=∴S△ABC=bcsinA=∵cosA=，a=4， ∴由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA，即b+c=16+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号， 整理得：bc≤16， ∴S△ABC=bc≤4， 22222， bc， 则当且仅当b=c=4时，△ABC的面积取得最大值4． 点评： 此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 6．（2015?资阳模拟）已知函数f（x）=

msinxcosx+mcosx+n（m，n∈R）在区间[0，

2

]上的值域为[1，2]．

（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值． 考点： 余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质；解三角形． 分析： （Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），对m讨论，m＞0，m＜0，根据值域求得m，n，再求单调增区间； （Ⅱ）当m＞0时，求得A，再由正弦定理得到b=4c，由面筋公式，即可得到b，c 再由余弦定理求得a． 解答： 解：（Ⅰ） = =当时，=，则， ． 由题意知m≠0， ①若m＞0，则， 解得m=2，n=﹣1，则由得函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）， ， ，k∈Z． ②若m＜0，则， 解得m=﹣2，n=4．则，

由故函数f（x）的单调递增区间是（Ⅱ）当m＞0时，由，所以（k∈Z）， ，k∈Z； ． 因为sinB=4sin（π﹣C），所以sinB=4sinC，则b=4c， 又△ABC面积为，所以，即bc=4， ， 所以b=4，c=1，则所以． 点评： 本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的图象和性质，求单调区间和求值域，考查正弦、余弦定理和面积公式及运用，考查运算能力，属于中档题． 7．（2015?重庆一模）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（1）求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）＜m在

上恒成立，求实数m的取值范围．

）﹣

cosx+

2

．

考点： 三角函数的最值；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期． （2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值，可得实数m的取值范围． 解答： 2解：（1）∵函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cosx+=cosx（sinx+cosx ）﹣?+ =sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）， ． ∴函数的最小正周期为 （2）∵∵f（x）＜m在，∴，∴上恒成立，∴． ． 点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题． 8．（2014?北京）函数f（x）=3sin（2x+

）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣

，﹣

]上的最大值和最小值．

考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值． 解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+∴f（x）的最小正周期T=）， =π， ； 可知y0为函数的最大值3，x0=（Ⅱ）∵x∈[﹣∴2x+∴当2x+当2x+∈[﹣，﹣]， ，0]， 时，f（x）取最大值0， 时，f（x）取最小值﹣3 =0，即x==，即x=﹣点评： 本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． 9．（2014?重庆）已知函数f（x）=邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相

）=（＜α＜），求cos（α+）的值．

对称，结合﹣≤φ＜可得 φ 的值． ）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣=sinα=sin[（α﹣解答： ）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果． =π，∴ω=2． 解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴

再根据图象关于直线x=结合﹣≤φ＜）=）=＜对称，可得 2×． ）， ）=． +φ=kπ+，k∈z． 可得 φ=﹣（＜α＜（Ⅱ）∵f（∴sin（α﹣再根据 0＜α﹣∴cos（α﹣∴cos（α+=+，∴sin（α﹣， ）=）=sinα=sin[（α﹣=． ）+=， ）cos+cos（α﹣）sin ]=sin（α﹣点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题． 10．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（t单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣﹣sin

t，t∈[0，24）．

cos

t

（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）直接根据f（t）的解析式求得f（8）的值． （Ⅱ）根据f（t）=10﹣2sin（的最大温差． 解答： 解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣∴f（8）=10﹣coscos﹣sin+t），t∈[0，24），求得函数f（t）取得最大值和最小值，从而得到这一天t﹣sin=10﹣t，t∈[0，24）． ×（﹣）﹣=10， 故实验室这一天上午8时的温度为10℃． （Ⅱ）∵f（t）=10﹣∴＜当++t=t＜cos，故当t﹣sin+t=10﹣2sin（t=+t），t∈[0，24）． ，即t=14时，函数f（t）取得最大值为10+2=12， ，即t=2时，函数f（t）取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题． 11．（2014?湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f（t）=10﹣

，t∈[0，24）

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（＜解答： ，解得t的范围，可得结论． =10﹣2sin（t+=t+），t∈[0，24）， t+）＜﹣，即 ≤t+解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣∴≤当t+t+=＜，故当时，函数取得最大值为10+2=12， 时，函数取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ≤t+＜t+， ）， 解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题． 12．（2014?广东）已知函数f（x）=Asin（x+（1）求A的值；

（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，

），求f（

﹣θ）．

），x∈R，且f（

）=．

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值． （2）由（1）可得 f（x）=求得sinθ 的值，从而求得f（解答： sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，），﹣θ） 的值． ），x∈R，且f（=， ）=． 解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+∴Asin（∴A=． +）=Asin=A?（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），

∴f（θ）+f（﹣θ）=∴cosθ=∴f（sin（θ+）+sin（﹣θ+． sinθ=． ）=2sincosθ=cosθ=， ，再由 θ∈（0，﹣θ）=sin（），可得sinθ=﹣θ+）=sin（π﹣θ）=点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 13．（2014?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=

，B=A+

．

（Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值． （Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案． 解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=， ∴sinA=∵B=A+． =， ∴sinB=sin（A+由正弦定理知∴b=?sinB=）=cosA==×=3， ， ． （Ⅱ）∵sinB=∴cosB=﹣，B=A+=﹣， ＞ sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴S=a?b?sinC=×3×3×=． ×（﹣）+×=， 点评： 本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用． 14．（2014?东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（Ⅰ）求

的值；

．

（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值． 考点： 正弦定理；两角和与差的正切函数． 分析： 本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，

（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中再利用弦化切的方法即可求的值． ，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为解答： ，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值． ， 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得 即sinAcosB=4cosAsinB， 则（Ⅱ）由tanA=4tanB＞0 ； 得 当且仅当故当时， 时，等号成立， tan（A﹣B）的最大值为． 点评： 在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式． 15．（2014?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=﹣sinBcosB． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．

考点： 正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值． ，cosA﹣cosB=

22

sinAcosA

?cos（A+B）sin（A﹣B）． （Ⅱ）由 sinA= 求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为 的值． ，cosA﹣cosB=sin2B， ?cos（A+B）sin（A﹣B）． 22解答： 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=∴﹣=sinAcosA﹣sinBcosB， sin2A﹣即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，

∴tan（A+B）=﹣（Ⅱ）∵sinA=＜由正弦定理可得，，∴A+B=，C==，∴C=． （舍去），∴cosA==． ，∴A＜，或A＞，即 =，∴a=． ∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=∴△ABC的面积为 =×=． ﹣（﹣）×=， 点评： 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题． 16．（2014?安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin（A+

）的值．

考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 综合题；三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值； （Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+解答： 解：（Ⅰ）∵A=2B，∴a=6cosB， ∴a=6， ，b=3， ）的值． ∴a=2； （Ⅱ）∵a=6cosB， ∴cosB=∴sinB=， ， ，cosA=cos2B=2cosB﹣1=﹣， （sinA+cosA）=． 2∴sinA=sin2B=∴sin（A+）=点评： 本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 17．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣

）的值．

b，sinB=

sinC，

考点： 正弦定理；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值．

分析： （Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值； （Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c， 代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c， ∴cosA===； （Ⅱ）∵cosA=∴sinA=2，A为三角形内角， =， ， +×=． ∴cos2A=2cosA﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（2014?广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．

考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 解三角形． 分析： 由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出． 解答： 解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA=， ∴2tanC=3×=1，解得tanC=． ∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B= 点评： 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 19．（2014?辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知（Ⅰ）a和c的值；

?=2，cosB=，b=3，求：

（Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简?=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a+c=13，联立即可求出ac的值； （Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：（Ⅰ）∵?=2，cosB=， 22∴c?acosB=2，即ac=6①， ∵b=3， ∴由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB，即9=a+c﹣4， 22∴a+c=13②， 联立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB=由正弦定理====， ， 22222得：sinC=sinB=×∵a=b＞c，∴C为锐角， ∴cosC===， 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=． 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 20．（2014?重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值； （Ⅱ）若sinAcos

2

+sinBcos

2

=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可； （Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值． 解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）=，

∴由余弦定理得：cosC===﹣； （Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA?+sinB?=2sinC， 整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC， ∴sinA+sinB=3sinC， 利用正弦定理化简得：a+b=3c， ∵a+b+c=8， ∴a+b=6①， ∵S=absinC=sinC， ∴ab=9②， 联立①②解得：a=b=3． 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 21．（2014?陕西）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值． 考点： 余弦定理；等差数列的通项公式；等差关系的确定． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证； （Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值． 解答： 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴a+c=2b， 由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB， ∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， 则sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， 2∴b=ac， 22将c=2a代入得：b=2a，即b=a， ∴由余弦定理得：cosB===． 点评： 此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 22．（2014?北京）如图，在△ABC中，∠B=（1）求sin∠BAD；

（2）求BD，AC的长．

，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．

考点： 余弦定理的应用． 专题： 解三角形． 分析： 根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． 解答： 解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=， ∴sin∠ADC===， ×﹣=． 则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC?cosB﹣cos∠ADC?sinB=（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==， 在△ABC中，由余弦定理得AC=AB+CB﹣2AB?BCcosB=8+5﹣2×8×22222=49， 即AC=7． 点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大． 23．（2014?湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=（Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长．

，EA=2，∠ADC=

，∠BEC=

．

考点： 余弦定理的应用；正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． （Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论． 解答： 解：（Ⅰ）设α=∠CED， 222在△CDE中，由余弦定理得EC=CD+ED﹣2CD?DEcos∠CDE， 22即7=CD+1+CD，则CD+CD﹣6=0， 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去）， 在△CDE中，由正弦定理得， 则sinα=，

即sin∠CED=． ，由（Ⅰ）知cosα=， （Ⅱ）由题设知0＜α＜而∠AEB=∴cos∠AEB=cos（， ）=cos， ． cosα+sinsinα=， 在Rt△EAB中，cos∠AEB=故BE=点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大． 24．（2014?河东区二模）在△ABC中，（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）设△ABC的面积

，求BC的长．

，

．

考点： 三角形中的几何计算． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）由cosB，cosC分别求得sinB和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得sinA． （Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB?AC的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC． 解答： 解：（Ⅰ）由，得， 由所以（Ⅱ）由由（Ⅰ）知，得． ． 得， ， 故AB×AC=65， 又故所以，， ． ． 点评： 本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题． 25．（2014?湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=． （Ⅰ）求cos∠CAD的值； （Ⅱ）若cos∠BAD=﹣

，sin∠CBA=，求BC的长．

考点： 解三角形的实际应用． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值． （Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC． 解答： 解：（Ⅰ）cos∠CAD===． （Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣∴sin∠BAD=∵cos∠CAD=∴sin∠CAD=， ==， ， ×+×=， ∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=∴由正弦定理知∴BC==?sin∠BAC=×， =3 点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用． 26．（2014?南海区模拟）已知函数小正周期为π． （1）求ω的值；

（2）在△ABC中，若A＜B，且

，求

．

（其中ω为正常数，x∈R）的最

考点： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 专题： 计算题． 分析： （1）先借助诱导公式把角化成相同的角，即sin（ωx+）=cos[﹣（ωx+）]=cos[（ωx+）﹣]=cos（ωx﹣），然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出ω的值．

（2）由三角函数值为可求出相应的两个角A，B．由内角和求出C角，利用正弦定理即可求出答案． 解答： 解：（1）∵==．（4分） 而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数， ∴，解之，得ω=1．（6分） ． （2）由（1）得若x是三角形的内角，则0＜x＜π， ∴令∴解之，得，得或或． ， ． ， 由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且∴，，∴ ．（10分） ， 又由正弦定理，得．（12分） 点评： 本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识．属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查． 27．（2014?河东区一模）已知函数f（x）=sin（π﹣x）sin（（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）当x∈[﹣

，

]时，求函数f（x）的单调区间．

﹣x）+cosx

2

考点： 三角函数的周期性及其求法；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）先由诱导公式、二倍角公式及变形公式、辅助角公式等进行三角变换，将f（x）化为Asin（ωx+φ）+b形式， T=2π/ω，求出周期． （Ⅱ）可先求出f（x）的所有单调区间，在调整k使单调区间落在解答： 解：（Ⅰ）

范围内即可．

== 时，即即 时，函数f（x）单调递增 时，函数f（x）单调递减 ∴函数f（x）的最小正周期（Ⅱ）当∴当当点评： 本题考查诱导公式、二倍角公式及变形公式、辅助角公式等进行三角变换，以及函数性质的求解，属基本题型的考查． 28．（2014?南昌模拟）已知=（cosωx+sinωx，=?，且函数f（x）的周期为π．

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，当f（B）=1时，判断△ABC的形状． 考三角函数的周期性及其求法；三角形的形状判断． 点： 专综合题． 题： 分（I）根据向量积得出f（x）=cos2ωx+sin2ωx进而化简成f（x）=2sin（2ωx+），然后根据周期公式得出答析： 案． cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0．设函数f（x）

（II） 首先根据条件求出，进而由角的范围求出B的度数，再由等差数列的性质得出2b=a+c，从而利用余弦定理求出角B的度数进而判断三角形的形状． 解解： 答（I）： ∵ ∵函数f（x）的周期为π∴T=（Ⅱ）在△ABC中又∵0＜B＜π∴

=π∴ω=1 ∴π

∵2B+∵a，b，c成等差∴2b=a+c ∴cosB=cos化简得：a=c又∵B=∴△ABC为正三角形 点本题考查了三角函数周期性的求法以及利用余弦定理判断三角形的形状，解题过程要特别注意角的范围，属于中评档题． ： 29．（2014?红桥区二模）已知函数

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间． 考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）利用二倍角公式和两角差的正弦函数化简求f（x）为．

，然后求出它的最小正周期； （Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，直接求出求函数f（x）的单调增区间． 解答： 解：（Ⅰ）所以函数f（x）的最小正周期为2π．（（8分）） （Ⅱ）令得故函数f（x）的单调增区间为：， ． ．（13分） ==， 点评： 本题是基础题，考查三角函数的基本性质，三角函数式的化简与求值，三角函数的单调增区间的求法，考查计算能力． 30．（2014?上海模拟）已知向量=（，sinx+（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有f（A﹣ 考点： 三角函数的周期性及其求法；平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 分析： （1）利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质即可得出； （2）利用正弦定理即可得出． 解答： 解：（1）∵，∴﹣=0，化为f（x）=cosx）和向量=（1，f（x）），且∥．

）=，BC=，sinB=，求AC的长度．

=2． ∴函数f（x）的周期为2π，最大值为2． （2）∵

得2sinA=

，即sinA=

，

由正弦定理得，又BC=，sinB=，则=2． 点评： 本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、正弦定理，属于中档题．

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