初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀

初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀

及几何规律汇编

人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

初中几何常见辅助线作法歌诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。

- 1 -

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

线、角、相交线、平行线

规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一

1n(n－1)条. 21规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.

2条直线，一共可以画出

规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为

1n(n－1)条. 2规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段

长的一半.

例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.

求证：MN =

1AC 211AB ,BN = CN = BC 22- 2 -

AMBNC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点

∴AM = BM =

∴MN = MB+BN = ∴MN =

111AB + BC = (AB + BC) 2221AC 21(AB + BC) 2练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.

求证：AM =

ACMB

2.如图，点B在线段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点.

求证：MN =

3.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点. 求证：MN =

规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有

1BC 2AMNBC

1AB 2ANBMC

1n(n－1)个. 2规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）

个.

规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.

规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角

形一共可作出

1n(n－1)(n－2）个. 61n(n－1)个. 2规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为

规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.

规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，

同旁内角的角平分线互相垂直.

例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. AEBFAEB HAEBHFH FCDCDGG CD G

- 3 -

规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：

AB

C?1??ABC+?BCD+?CDE=360?

DE AB

C?2??BCD=?ABC+?CDE

DE C

AB ?3??BCD=?CDE-?ABC

DE

AB

?BCD=?ABC-?CDE?4? DEC AB ?CDE=?BCD+?ABC?5?ED C

CAB ?ABC=?BCD+?CDE?6?规律14.成“8”字形的两个三角形的ED

一对内角平分线相交所成的角等

于另两个内角和的一半.

例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数.

解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ①

A∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ②

B①＋②得 ME∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE

N∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC， DC∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A＋∠C

∴∠E =

1(∠A＋∠C) 2∵∠A =45o,∠C =55o,

o

∴∠E =50

- 4 -

三角形部分

规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两

点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.

例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N

A 在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ①

在△BDM中，MB＋MD＞BD ② FGMD在△CEN中，CN＋NE＞CE ③ NEB①＋②＋③得 C AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE

证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或

与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.

练习：已知：如图P为△ABC内任一点， 求证：

1(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 2规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内

角的一半.

例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD

的延长线交于D. 求证：∠A = 2∠D

证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 AD∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2

12BCE又∵∠D =∠1－∠2

- 5 -

∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC

∴△ABD≌△CAE

∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE

规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E

求证：BE = CF 证明：（略）

A

F 2BC1D

E 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B

求证：AD = BC

证明：分别延长DA、CB交于点E

∵AD⊥AC BC⊥BD

o

∴∠CAE = ∠DBE = 90在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE

EBD = AC ∠E =∠E

AB∴△DBE≌△CAE

O∴ED = EC，EB = EA

CD∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC

规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD

证明：连结AC（或BD）

A∵AB∥CD，AD∥BC D13∴∠1 = ∠2

24在△ABC和△CDA中， BC

- 11 -

∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA

E∴AB = CD

C练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， D求证：BE = DF BA

F 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.

o

例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延

长线于E

求证：BD = 2CE

证明：分别延长BA、CE交于F

∵BE⊥CF

o

∴∠BEF =∠BEC = 90

F在△BEF和△BEC中 A∠1 = ∠2 ED BE = BE 12BC∠BEF =∠BEC

∴△BEF≌△BEC

∴CE = FE =

1CF 2o

∵∠BAC = 90 , BE⊥CF

o

∴∠BAC = ∠CAF = 90

o

∠1＋∠BDA = 90

o

∠1＋∠BFC = 90 ∠BDA = ∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC

∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE

练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，

- 12 -

求证：AB－AC = 2CD

A12D BC

规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角

形.

AD例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，

O求证：∠A = ∠D 证明：（连结BC，过程略）

BC 规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为

证题提供条件.

例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB

证明：分别取AD、BC中点N、M， AD连结NB、NM、NC（过程略） CB

规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到

角两边距离相等证题.

例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，

o

求证：∠BAP＋∠BCP = 180

EAN证明：过P作PE⊥BA于E P∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 12BDC∴PE = PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP PE = PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD

∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

o

∠PEB =∠PDC = 90在△PEA和△PDC中 PE = PD

- 13 -

∠PEB =∠PDC AE =CD

∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP

o

∵∠BAP＋∠EAP = 180

o

∴∠BAP＋∠BCP = 180

练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，

PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线 M DAP

BC FN

oo

2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100，∠ACB = 20，CE是∠ACB的平分

o

线，D是AC上一点，若∠CBD = 20，求∠CED的度数。

B

E

AC D

规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

o

∴∠2＋∠ACB = 90∵BD⊥AC

o

∴∠DBC＋∠ACB = 90 ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

- 14 -

1∠BAC 2A12DBEC

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：DE = DF 证明：连结AD.

A∵D为BC中点， ∴BD = CD

EF又∵AB =AC

BCD∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE

= AF，求证：EF⊥BC

证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

oN∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180

Eo

∴2∠BCA＋2∠ACN = 180

Ao

∴∠BCA＋∠ACN = 90

o F即∠BCN = 90

BC∴NC⊥BC

∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，

连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB AA∴BD = DN

DD12 - 15 - BNFCEB1F2CEM

ANAEAEAM?? NBEFEFMCANAM?∴ NBMC∴

∴MN∥BC

规律79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形.

⑴有特殊角时，如有30o、45o、60o、120o、135o角时. ⑵涉及有关锐角三角函数值时.

构造直角三角形经常通过作垂线来实现.

例：一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在北偏东60o的方向上，船前进8海里

后到达B，再测C岛在北偏东30的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？

oo

解：由题可作图，且∠CAB = 60 ，∠ABC = 120 ，AB = BC = 8（海里）

o

在Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60 ，

∴BD = BC·cos60 = 8×

o

1= 4（海里） 2北C东3CD = BC·sin60 = 8×= 43（海里）

2o

ABD答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是43海里. 规律80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值表

三角函数 0o 30o 45o

sinA 0 1 2

22

cosA 1 3 2

22

tanA 0 1 3

3

60o 3 290o 1 0 － 1 23

cotA － 1 0 3 3 3

另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆： 0o可记为北京电话区号不存在，即：010不存在，90o正好相反 30o、45o、60o可记为：

- 36 -

1、2、3、3、2、1， 3、9、27，

弦比2，切比3， 分子根号别忘添.

其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得. 规律81. 同角三角函数之间的关系：

22（1）.平方关系：sin??cos??1 （2）.倒数关系：tan??cot??1

（3）.商数关系：tan??sin?cos? cot?? cos?sin?规律82. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角

的正弦值.

规律83. 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角

的正切值.

规律84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半.

o

例：已知△ABC中,∠A = 60,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面积。

解：作BD⊥AC于D

在Rt△ABD中，BD = AB·sinA

∴S△ABC = =

1 AC·BD 21AC·AB·sinA 21o= ×4×6×sin60 2= 12×A3 2DBC

= 63 规律85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的2倍.

规律86.在含有30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是30o角所对的直角边的3倍.（即30o角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍3.）

规律87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边的

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5倍.

圆 部 分

规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一

辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.

例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：

AC = BD

证明:过O作OE⊥AB于E

O∵O为圆心，OE⊥AB

ACEDB∴AE = BE CE = DE

∴AC = BD

练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径.

O

ABP

规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.

例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：

?? AC?BD证明：（一）连结OC、OD

∵M、N分别是AO、BO的中点

∴OM =

11AO、ON = BO 22∵OA = OB

∴OM = ON

∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB

CADMONB? ∴?AC?BD（二）连结AC、OC、OD、BD

∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD

- 38 -

∵OC = OD ∴AC = BD

? ∴?AC?BD规律90.有弦中点时常连弦心距

例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM

证明：连结OM、ON

∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD CA∴OM = ON

N∴∠OMN = ∠ONM MoO∵∠AMN = 90－∠OMN

DBo

∠CNM = 90－∠ONM

∴∠AMN =∠CNM

规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.

例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2

于A、C、D、B.求证：AC = BD

证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N

∴

O1MO1P ?O2NO2PAMO1CP∵O1P = O2P DNB∴O1M = O2N

∴AC = BD

规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：

⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角

例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中OED点，求证：CD = CE

AB证明：连结OC C

∵C为弧AB的中点

O2? ∴?AB?BC∴∠AOC =∠BOC

∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO

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∴OD = OE =

11AO = BO 22又∵OC = OC

∴△ODC≌△OEC ∴CD = CE

规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.

规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长

线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD

∵AB为⊙O的直径 Do

∴∠ADP = 90 BO∵AC = PC

1∴AC = CD =AP

2o

ACP

练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90 ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：

BCCF? BEEF规律96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：

⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角

练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)

2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图） F AM 12CO BABCEDOEG FD2题图1题图

规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线.

例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =

1AD 2 - 40 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v29.html