2022届河北省名师俱乐部高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

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2016年河北省名师俱乐部高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．已知集合A={x |2x 2﹣3x ﹣9≤0}，B={x |x ≥m }．若（?R A ）∩B=B ，则实数m 的值可以是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知复数z 满足

，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．3

3．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0）图象的两条相邻的对称轴的距离为

．若角φ的终边经过点P （1，﹣2），则f （

）等于（ ） A ． B ． C ．﹣ D ．﹣

4．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y=b 对称，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

B ．3

C ．2

D ．

5．如图是一个程序框图，则输出的S 的值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

6．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB=BC=2，PA=3，PA ⊥底面ABCD ，E 是棱PD 上异于P ，D 的动点．设

=m ，则“0＜m ＜2”是三棱

锥C ﹣ABE 的体积不小于1的（ ）

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A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．已知θ∈（0，），且sin θ﹣cos θ=﹣，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．

9．已知向量，满足，||=2，||=5， ?=6，λ∈R ，则|﹣λ|的取值范围是（ ） A ．[，+∞） B ．[，+∞） C ．[，+∞） D ．[1，4]

10．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）

A ．3∈A

B ．5∈A

C ．2∈A

D ．4∈A

11．如图所示，已知点S （0，3），SA ，SB 与圆C ：x 2+y 2﹣my=0（m ＞0）和抛物线x 2=﹣2py （p ＞0）都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA ∥ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）

A ．4

B ．2

C ．3

D ．3

12．已知函数f （x ）=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）（其中x 1＜x 2＜x 3），g （x ）=3x +sin （2x +1），且函数f （x ）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ=，μ=，则（ ） A ．g （a ）＜g （λ）＜g （β）＜g （μ） B ．g （λ）＜g （a ）＜g （β）＜g （μ） C ．g （λ）

＜g （a ）＜g （μ）＜g （β）

D ．g （a ）＜g （λ）＜g （μ）＜g （β）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上. 13．设（1﹣2x ）n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n （x ∈N *），若a 1+a 2=30，则n= ．

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14．如果实数x ，y 满足条件，则z=（x ﹣1）2+（y +1）2的最小值为 ． 15．已知a ＞0且a ≠1，若函数f （x ）=log a [ax 2﹣（2﹣a ）x +3]在[，2]上是增函数，则a 的取值范围是 ．

16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c=6，sinA ﹣sinC=sin （A ﹣B ）．若1≤a ≤6，则sinC 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=a ．当n ≥2时，S n 2=3n 2a n +S n ﹣12，a n ≠0，n ∈N *．

（1）求a 的值；

（2）设数列{c n }的前n 项和为T n ，且c n =3n ﹣1+a 5，求使不等式4T n ＞S n 成立的最小正整数n 的值．

18．雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况

（

2

）若从年龄在[

15

，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中

的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

19．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF ，EC ∥FD ，FD ⊥底面ABCD ，M 是AB 的中点．

（1）求证：平面CFM ⊥平面BDF ；

（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF 与平面BEF 所成角的正弦值．

20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为A ，短轴长为2，O 为原点，直线AF 与椭圆C 的另一个交点为B ，且△AOF 的面积是△BOF 的面积的3倍． （1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围．

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21．已知函数f （x ）=（3﹣a ）x ﹣2+a ﹣2lnx （a ∈R ）

（1）若函数y=f （x ）在区间（1，3）上单调，求a 的取值范围；

（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣x 在（0，）上无零点，求a 的最小值．

选修4-1：几何证明选讲

22．选修4﹣1：几何证明选讲

如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA=2，∠APB=30°．

（Ⅰ）求∠AEC 的大小；

（Ⅱ）求AE 的长．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x0y 中，动点A 的坐标为（2﹣3sin α，3cos α﹣2），其中α∈R ．在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线C 的方程为ρcos （θ﹣

）=a ．

（Ⅰ）判断动点A 的轨迹的形状；

（Ⅱ）若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．

选修4-5：不等式选讲

24．设函数f （x ）=|x +2|+|x ﹣2|，x ∈R ，不等式f （x ）≤6的解集为M ．

（1）求M ；

（2）当a ，b ∈M 时，证明：3|a +b |≤|ab +9|．

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2016年河北省名师俱乐部高考数学模拟试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．已知集合A={x |2x 2﹣3x ﹣9≤0}，B={x |x ≥m }．若（?R A ）∩B=B ，则实数m 的值可以是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，进而求出A 的补集，由A 补集与B 的交集为B ，得到B 为A 补集的子集，确定出实数m 的范围，即可作出判断．

【解答】解：由A 中不等式变形得：（2x +3）（x ﹣3）≤0，

解得：﹣≤x ≤3，即A=[﹣，3]，

∴?R A=（﹣∞，﹣）∪（3，+∞），

∵B=[m ，+∞），且（?R A ）∩B=B ，

∴B ??R A ，即m ＞3，

则实数m 的值可以是4，

故选：D ．

2．已知复数z 满足

，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．3

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由，得z=，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，又z 的实部与虚部之和为0，列出等式求解m 即可得答案．

【解答】解：由

， 得

=， 又z 的实部与虚部之和为0，

则

， 解得m=﹣1．

故选：B ．

3．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0）图象的两条相邻的对称轴的距离为

．若角φ的终边经过点P （1，﹣2），则f （）等于（ ）

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A ．

B ．

C ．﹣

D ．﹣

【考点】正弦函数的图象．

【分析】有条件得出f （x ）的周期和φ的正弦，代入数值计算即可．

【解答】解：∵f （x ）的图象的两条相邻的对称轴的距离为

．

∴f （x ）的周期T=2×=，解得ω=3． ∵角φ的终边经过点P （1，﹣2），

∴φ为第四象限角，且sin φ=

=﹣． ∴f （）=sin （7π+φ）=sin （π+φ）=﹣sin φ=

． 故选：A ．

4．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y=b 对称，则双曲线的离心率为（ ）

A ．

B ．3

C ．2

D ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由题意可得F （c ，0），求出双曲线的一条渐近线方程，解得A （a ，b ），求得直线AF 的斜率，由对称思想可得直线AF 的斜率和渐近线的斜率互为相反数．再由离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：由题意可得F （c ，0），

双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x ，

令x=a ，可得A （a ，b ），

可得直线AF 的方程为y=（x ﹣c ），

由于直线y=b 经过A ，且斜率为0，

由对称性可得直线AF 的斜率和渐近线的斜率互为相反数．

即有=﹣，

即为a=c ﹣a ，可得c=2a ，

离心率e==2．

故选：C ．

5．如图是一个程序框图，则输出的S 的值是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当S=27时，S能被3整除，故S=26，i=2，不满足退出循环的条件；

当S=26时，S不能被3整除，故S=15，i=3，不满足退出循环的条件；

当S=15时，S能被3整除，故S=10，i=4，不满足退出循环的条件；

当S=10时，S不能被3整除，故S=9，i=5，不满足退出循环的条件；

当S=9时，S能被3整除，故S=0，i=6，满足退出循环的条件，

故输出的S值为0，

故选：A

6．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设=m，则“0＜m＜2”是三棱锥C﹣ABE的体积不小于1的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】经过点E作EH⊥AD，垂足为H，可得EH⊥平面ABCD，利用三棱锥条件计算公

式可得：V C

﹣ABE

=≥1，即EH，又PA=3，可得=m≤1，即可判断出结论．【解答】解：经过点E作EH⊥AD，垂足为H，

∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

则EH⊥平面ABCD，

∵V C

﹣ABE =V E

﹣ABC

，

∴V C

﹣ABE ==×EH=≥1，

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则EH

， 又PA=3，，∴，∴=m ≤2﹣1=1，

∴“0＜m ＜2”是三棱锥C ﹣ABE 的体积不小于1的必要不充分条件．

故选：B ．

7．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．

【分析】记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，由此能求出所求概率．

【解答】解：∵从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球， 摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，

从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，

∴记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种：2红1白，1红2白，

则所求概率：

p=

=． 故选：C ．

8．已知θ∈（0，），且sin θ﹣cos θ=﹣，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】法1：由已知的等式记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据θ为锐角，联立①②求出sin θ和cos θ的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．

法2：利用两角和与差的三角函数化简已知条件以及所求表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可．

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【解答】解：法1：由sin θ﹣cos θ=﹣

，①， 又sin 2θ+cos 2θ=1②，且θ∈（0，），联立①②解得：

sin θ=，cos θ=， ∴

=（sin θ+cos θ）==． 故选：D ．

法2：θ∈（0，

），且sin θ﹣cos θ=﹣，可得cos （）=，即：cos （）=，

∈（），

则===2sin （）=2=．

故选：D ．

9．已知向量，满足，||=2，||=5， ?=6，λ∈R ，则|﹣λ|的取值范围是（ ） A ．[，+∞） B ．[，+∞） C ．[，+∞） D ．[1，4]

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由已知条件进行数量积的运算可以得到

，而配方

即可得出

，从而便可得出的取值范围． 【解答】解：根据条件，

=4﹣12λ+25λ2=

； ∴

； ∴的取值范围是． 故选：C ．

10．某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）

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A ．3∈A

B ．5∈A

C ．2∈A

D ．4

∈A

【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾股定理求出几何体的棱长，即可得到答案．

【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，

四边形ABCD 是一个边长为4的正方形，

且AF ⊥面ABCD ，DE ∥AF ，DE=4，AF=2，

∴AF ⊥AB 、DE ⊥DC 、DE ⊥BD ，

∴EC=

=4，EF=FB==2，

BE===4， ∵A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，

∴A={2，4，4，4，4}，

故选：D ．

11．如图所示，已知点S （0，3），SA ，SB 与圆C ：x 2+y 2﹣my=0（m ＞0）和抛物线x 2=﹣2py （p ＞0）都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，SA ∥ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）

A ．4

B ．2

C ．3

D ．3

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据切线的性质可得△SMN 是等边三角形，故切线SA 的斜率为，利用斜率公式及切线的几何意义列方程即可解出A 点坐标和p ，从而得出答案．

【解答】解：∵SM ，SN 是圆C 的切线，SA ∥ON ，∴SM=SN ，SN ∥OM ．

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∴四边形SMON 是菱形，又∠SMN=∠MON ，

∴△SMN 是等边三角形．

设A （x 0，y 0），由x 2=﹣2py 得y=，∴y ′A =﹣=．

又=，x 02=﹣2py 0，

∴y 0=﹣3，p=2．

∴点A 到抛物线的准线的距离d=﹣y 0+=4．

故选A ．

12．已知函数f （x ）=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）（其中x 1＜x 2＜x 3），g （x ）=3x +sin （2x +1），且函数f （x ）的两个极值点为α，β（α＜β）．设λ=，μ=，则（ ） A ．g （a ）＜g （λ）＜g （β）＜g （μ） B ．g （λ）＜g （a ）＜g （β）＜g （μ） C ．g （λ）

＜g （a ）＜g （μ）＜g （β）

D ．g （a ）＜g （λ）＜g （μ）＜g （β） 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】化简f （x ），求函数g （x ）的导数，判断函数g （x ）的单调性，结合一元二次函数的性质判断α＜λ＜μ＜β，结合函数单调性的性质进行判断即可．

【解答】解：由f （x ）=（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）可得f （x ）=x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）

x ﹣x 1x 2x 3，

∴f ′（x ）=3x 2﹣2（x 1+x 2+x 3）x +（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）=0，

∵△=4（x 1+x 2+x 3）2﹣12（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）=2[（x 1﹣x 2）2+（x 2﹣x 3）2+（x 3﹣x 1）2]， ∵x 1＜x 2＜x 3．∴△＞0，∴方程f ′（x ）=0有两个不相等的实数根；

g ′（x ）=3+2cos （2x +1）＞0，

则g （x ）为增函数，

下面证明α＜＜β，

由f ′（x ）=3x 2﹣2（x 1+x 2+x 3）x +（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）=0可得

f ′（

）=﹣（x 1+x 2+x 3）（x 1+x 2）+x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3﹣x 1x 2=﹣＜0

即f ′（）=3（﹣α）（

﹣β）＜0， 由α＜β可得α＜＜β，

同理可知α＜＜β，

∵＜

，

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∴α＜＜＜β，

即α＜λ＜μ＜β，

∵g （x ）为增函数，∴g （a ）＜g （λ）＜g （μ）＜g （β），

故选：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上. 13．设（1﹣2x ）n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n （x ∈N *），若a 1+a 2=30，则n= 5 ．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】（1﹣2x ）n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n =

++…，可得a 1+a 2=﹣2+4×=30，化简解出即可得出．

【解答】解：（1﹣2x ）n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n =

++…， ∴a 1+a 2=﹣2n +4×

=30，化为n 2﹣2n ﹣15=0，n ∈N *．

解得n=5．

故答案为：5．

14．如果实数x ，y 满足条件，则z=（x ﹣1）2+（y +1）2的最小值为

．

【考点】简单线性规划．

【分析】先根据条件画出可行域，z=x 2+（y +2）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B （0，﹣2）距离的最值，从而得到z 最值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

z=（x ﹣1）2+（y +1）2表示可行域内点到B （1，﹣1）距离的平方，

当z 是点B 到直线x +2y ﹣2=0的距离的平方时，z 最小，

最小值为d 2=

=．

故答案为：．

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15．已知a ＞0且a ≠1，若函数f （x ）=log a [ax 2﹣（2﹣a ）x +3]在[，2]上是增函数，则a 的取值范围是

{a|＜

a

≤或

a

≥

}

．

【考点】

对数函数的图象与性质．

【分析】

利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，分类讨论，求得a

的范围．

【解答】解：∵a ＞0且a ≠1，若函数f （x ）=log a [ax 2﹣（2﹣a ）x +3]在[，2]上是增函数，

设g （x ）=ax 2﹣（2﹣a ）x +3，

当a ∈（0，1）时，则=﹣＞，

∴，求得＜a ≤．

当a ＞1时，则，求得a ≥．

综上可得，a 的范围为{a |＜a ≤或a ≥}，

故答案为：{a |＜a ≤或a ≥}．

16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c=6，sinA ﹣sinC=sin （A ﹣B ）．若1≤a ≤6，则sinC 的取值范围是 [

，1] ． 【考点】正弦定理．

【分析】由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得cosB=，利用余弦定理求得b ，进而根据正弦定理求得sinC 的表达式，根据a 范围即可确定sinC 的范围．

【解答】解：∵sinA ﹣sinC=sin （A ﹣B ）．

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∴sinA=sin （A ﹣B ）+sinC=sin （A ﹣B ）+sin （A +B ）=2sinAcosB ，

∴由sinA ≠0，可得：cosB=，

∵c=6，

∴由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2﹣6a +36，

∴b=，

于是由正弦定理可得sinC===，

∵1≤a ≤6，∈[3，6]，

从而得到sinC 的取值范围是：[

，1]． 故答案为：[，1]．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=a ．当n ≥2时，S n 2=3n 2a n +S n ﹣12，a n ≠0，n ∈N *．

（1）求a 的值；

（2）设数列{c n }的前n 项和为T n ，且c n =3n ﹣1+a 5，求使不等式4T n ＞S n 成立的最小正整数n 的值．

【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．

【分析】（1）通过在S n 2=3n 2a n +S n ﹣12中令n=2、3，结合a 1=a 计算可知a 2=12﹣2a 、a 3=3+2a ，利用a 1+a 3=2a 2计算可知a=3，验证其是否成立即可；

（2）通过（1）可知c n =3n ﹣1+15，进而利用分组求和法计算可知T n =+15n ，问题转化为解不等式4（+15n ）＞，计算即得结论．

【解答】解：（1）∵a 1=a ，当n ≥2时S n 2=3n 2a n +S n ﹣12，

∴（a +a 2）2=12a 2+a 2，

=27a 3﹣（a +a 2）2，

∵a n ≠0，

∴a 2=12﹣2a ，a 3=3+2a ，

∵a 1+a 3=2a 2，

∴2（12﹣2a ）=a +3+2a ，解得a=3，

经检验，当a=3时a n =3n ，S n =

、S n ﹣1=满足S n 2=3n 2a n +S n ﹣12； （2）由（1）可知c n =3n ﹣1+15，

第15页（共22页）

∴T n =

+15n ， ∵4T n ＞S n ，

∴4（+15n ）＞，

整理得：2?3n +60n ﹣2＞165，即2?3n +60n ＞167，

∵f （n ）=2?3n +60n 为增函数，且f （2）＜167、f （3）＞167，

∴满足条件的n 的最小值为3．

18．雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况

（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中

的4

人中不赞同

“

适当甚至不燃放烟花爆竹

”的人数为

X

，

求随机变量

X

的分布列和数学期望．

【考点】

离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）先求出赞同人数的概率，由此能求出至少有1人持赞同态度的概率．

（2）依题意得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和X 的数学期望EX ．

【解答】解：（1）随机采访的50人中，赞成人数有：4+6+12+7+3+3=35人，

∵以赞同人数的频率为概率，∴赞同人数的概率p 1=

=， ∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣（1﹣）3=0.973．

（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查， 记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X ，

依题意得X=0，1，2，3，

P （X=0）==，

P （X=1）=+=，

P （X=2）=?=，

第16页（共22页）

P （X=3）=?=，

∴X 的数学期望EX=+3×=．

19．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF ，EC ∥FD ，FD ⊥底面ABCD ，M 是AB 的中点．

（1）求证：平面CFM ⊥平面BDF ；

（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF 与平面BEF 所成角的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）推导出四边形BCDM 是正方形，从而BD ⊥CM ，又DF ⊥CM ，由此能证明CM ⊥平面BDF ．

（2）建立以C 为坐标原点，CB ，CD ，CE 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

【解答】证明：（1）∵FD ⊥底面ABCD ，∴FD ⊥AD ，FD ⊥BD ，

∵AF=BF ，∴△ADF ≌△BDF ，∴AD=BD ，

连接DM ，则DM ⊥AB ，

∵AB ∥CD ，∠BCD=90°，

∴四边形BCDM 是正方形，∴BD ⊥CM ，

∵DF ⊥CM ，∴CM ⊥平面BDF ．

∵CM ?平面CFM ．

∴平面CFM ⊥平面BDF ；

（2）建立以C 为坐标原点，CB ，CD ，CE 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： ∵EC=2，FD=3，BC=CD=2，

∴B （2，0，0），D （0，2，0），E （0，0，2），F （0，2，3），

则=（﹣2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，2，1），

设平面BEF 的一个法向量为=

（

x ，y ，z

），

则

得

，

令

x=1

，则y=

﹣

，

z=1

，则=（1，﹣，1），

由（1）知AD=BD ，∠ABD=45°，则，∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，

∵DF ⊥BD ，∴BD ⊥平面ADF ，

则=（﹣2，2，0）是平面ADF 的一个法向量，

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则cos ＜，＞==，

则sin ＜，＞=，

即平面ADF 与平面BEF 所成角的正弦值是

．

20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为A ，短轴长为2，O 为原点，直线AF 与椭圆C 的另一个交点为B ，且△AOF 的面积是△BOF 的面积的3倍． （1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由题意可得b=1，A （0，1），设F （c ，0），B （x 0，y 0），运用三角形的面积公式可得y 0=﹣，再由直线AF 的方程经过B ，可得B 的坐标，代入椭圆方程，解得a ，b ，进而得到椭圆方程；

（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由OPRQ 为平行四边形，可得x 1+x 2=x R ，y 1+y 2=y R ，R 在椭圆C 上，代入椭圆方程，再由直线l 与椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，化简整理，解不等式即可得到所求m 的范围．

【解答】解：（1）短轴长为2，可得b=1，

即有A （0，1），设F （c ，0），B （x 0，y 0），

△AOF 的面积是△BOF 的面积的3倍，

即为c ?1=3?c ?|y 0|，

第18页（共22页）

可得y 0=﹣，由直线AF ：y=﹣+1经过B ，

可得x 0=c ，即B （c ，﹣），代入椭圆方程可得，

+=1，即为a 2=2c 2，即有a 2=2b 2=2，

则椭圆方程为

+y 2=1； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），

由OPRQ 为平行四边形，可得x 1+x 2=x R ，y 1+y 2=y R ，

R 在椭圆C 上，可得+（y 1+y 2）2=1，

即为+（k （x 1+x 2）+2m ）2=1，

化为（1+2k 2）（（x 1+x 2）2+8km （x 1+x 2）+8m 2=2，①

由可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2=0，

由△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）＞0，即为1+2k 2＞m 2，②

x 1+x 2=﹣，代入①可得﹣+8m 2=2，

化为1+2k 2=4m 2，代入②可得m ≠0，

又4m 2=1+2k 2≥1，解得m ≥或m ≤﹣．

则m 的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．

21．已知函数f （x ）=（3﹣a ）x ﹣2+a ﹣2lnx （a ∈R ）

（1）若函数y=f （x ）在区间（1，3）上单调，求a 的取值范围；

（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣x 在（0，）上无零点，求a 的最小值．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为对x ∈（0，），a ＞2﹣

恒成立，令l （x ）=2﹣，x ∈（0，），

根据函数的单调性求出a 的范围即可．

【解答】解：（1）f ′（x ）=3﹣a ﹣=， 当a ≥3时，有f ′（x ）＜0，即函数f （x ）在区间（1，3）上单调递减；

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当a ＜3时，令f ′（x ）=0，得x=

，若函数y=f （x ）在区间（1，3）单调， 则≤1或≥3，解得：a ≤1或≤a ＜3，

综上，a 的范围是（﹣∞，1]∪[，+∞）；

（2）x →0时，g （x ）→+∞，

∴g （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ＜0在区间（0，）上恒成立不可能，

故要使函数g （x ）在（0，）无零点，只需对任意的x ∈（0，），g （x ）＞0恒成立， 即对x ∈（0，），a ＞2﹣

恒成立， 令l （x ）=2﹣，x ∈（0，），

则l ′（x ）=，

令m （x ）=2lnx +﹣2，x ∈（0，），

则m ′（x ）=＜0，

故m （x ）在（0，）上递减，于是m （x ）＞m （）=2﹣2ln2＞0，

从而，l ′（x ）＞0，于是l （x ）在（0，）递增，

∴l （x ）＜l （）=2﹣4ln2，

故要使a ＞2﹣恒成立，只需a ∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数g （x ）=f （x ）﹣x 在（0，）上无零点，则a 的最小值是2﹣4ln2．

选修4-1：几何证明选讲

22．选修4﹣1：几何证明选讲

如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若PA=2，∠APB=30°．

（Ⅰ）求∠AEC 的大小；

（Ⅱ）求AE 的长．

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【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（Ⅰ）先连接AB ，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB 以及∠ABC=∠AEC 即可得到结论；

（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD ，再结合相交弦定理求出DE ，二者相加即可．

【解答】解：（Ⅰ）连接AB ，因为：∠APO=30°，且PA 是⊙O 的切线，

所以：∠AOB=60°；

∵OA=OB

∴∠AB0=60°；

∵∠ABC=∠AEC

∴∠AEC=60°．

（Ⅱ）由条件知AO=2，过A 作AH ⊥BC 于H ，则AH=，

在RT △AHD 中，HD=2，∴AD=

=． ∵BD ?DC=AD ?DE ，

∴DE=．

∴AE=DE +AD=

．

选修4-4：坐标系与参数方程

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x0y 中，动点A 的坐标为（2﹣3sin α，3cos α﹣2），其中α∈R ．在极坐标系（以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线C 的方程为ρcos （θ﹣）=a ．

（Ⅰ）判断动点A 的轨迹的形状；

（Ⅱ）若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．

【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

第21页（共22页）

【分析】（Ⅰ）设动点A 的直角坐标为（x ，y ），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点A 的轨迹．

（Ⅱ）把直线C 方程为直角坐标方程，由题意可得直线C 与圆相切，故有圆心到直线的距离等于半径，由此解得 a 的值．

【解答】解：（Ⅰ）设动点A 的直角坐标为（x ，y ），则

，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，

（x ﹣2）2+（y +2）2=9，点A 的轨迹为半径等于3的圆．

（Ⅱ）把直线C 方程为ρcos （θ﹣

）=a 化为直角坐标方程为+=2a ， 由题意可得直线C 与圆相切，故有=3，解得 a=3 或a=﹣3．

选修4-5：不等式选讲

24．设函数f （x ）=|x +2|+|x ﹣2|，x ∈R ，不等式f （x ）≤6的解集为M ．

（1）求M ；

（2）当a ，b ∈M 时，证明：3|a +b |≤|ab +9|．

【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．

【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f （x ）≤6的解集M ．

（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a 2﹣9）（9﹣b 2）≤0，而由条件a ，b ∈M 可得（a 2﹣9）（9﹣b 2）≤0成立，从而证得要证的不等式．

【解答】解：（1）不等式即|x +2|+|x ﹣2|≤6，

而|x +2|+|x ﹣2|表示数轴上的x 对应点到﹣2、2对应点的距离之和，

﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，

故不等式的解集为M=[﹣3，3]．

（2）要证3|a +b |≤|ab +9|，只要证9（a +b ）2≤（ab +9）2，

即证：9（a +b ）2﹣（ab +9）2=9（a 2+b 2+2ab ）﹣（a 2?b 2+18ab +81）=9a 2+9b 2﹣a 2?b 2﹣81=（a 2﹣9）（9﹣b 2）≤0，

而由a ，b ∈M ，可得﹣3≤a ≤3，﹣3≤b ≤3，

∴（a 2﹣9）≤0，（9﹣b 2）≥0，∴（a 2﹣9）（9﹣b 2）≤0成立，

故要证的不等式3|a +b |≤|ab +9|成立．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v26l.html