机械优化试卷（A卷）答案

2012-2013学年度第1学期试卷

科目：《机械优化设计》试题(A卷)

姓名： 学 号： 学院： 机电工程学院 专业班级：

成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 大题号 得分

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师： 2012 年 月 日

考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器 。

得分 阅卷教师 计算题(1、2、3、4题每题各10分，5、6、7题每题各20分)。

1．用牛顿法求函数f(x1x2)?(x1?2)4?(x1?2x2)2的极小点（迭代二次）。（10分）

当取初始点x?0??时，x???，f(x)?0.63。

3021.110.5622. 用共轭梯度法求函数f(x1x2)?x2???，f(x)??1。

1123212x1?x2?x1x2?2x1的极小点。（10分） 223. 将优化问题

2 minf(x)?x12?x2?4x2?4 2 g1(x)??x1?x2?1?0

g2(x)?x1?3?0 g3(x)??x2?0

的目标函数等值线和约束曲线勾画出来，并回答：

11）x?[1 1]T是否是可行点？

1

512）x2?[ ]T 是否是内点？

223）可行域是否凸集？用阴影线描绘出可行域的范围。（10分） 解：（1）x1不是可行点； （2）x2是内点； （3）可行域是凸集。

4. 用二次插值法求f(?)??2?7??10的最优解。已知初始区间[2,8]，取终止迭代点精度?=0.01。（10分） 解：（1）确定初始值点 a1=a=2 y1=f（X1）=0 a3=b=8 y3=f(x3)=18

a2=1/2(a+b)=5,y2=f(a2)=0 (2)计算插值函数极小点

c1=(y3-y1)/(a3-a1)=3

c2=[(y2-y1/(a2-a1)-c1]/(a2-a3)=1 ap=0.5(a1+a3-c1/c2)=3.5 yp=f(ap)=-2.25 (3)缩短搜索区间

因 a1

a1=a2=2 y1=f(a1)=0 a3=a2=5 y3=y2=f(a2)=0

a2=ap=3.5 y2=yp=f(ap)=-2.25 (4)计算新插值函数极值点

c1=0 c2=1 ap=(a1+a3)*0.5=3.5 (5)判断迭代终止条件 |ap-a2|=0

a*=3.5 y*=-2.25

5．已知约束优化问题：

minf(x)?(x1?2)2?(x2?1)2s?tTg1(x)?x12?x2?0g2(x)?x1?x2?2?0

试从第k次的迭代点x(k)???12?出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点x线、可行域和本次迭代的搜索路线。（20分）

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：

2

(k?1)。并作图画出目标函数的等值

SR?0.562???0.5622?0.2542???22?0.562?0.254?0.254T?T ??0.911?0.4122) 用公式：x(k?1)?x(k)??SR 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。

到第二个约束边界上的步长可取为2，则：

xk?1?x1k??SR1??1?2?0.911?0.822?x2k??SR2?2?2?(?0.412)?1.176k?1x2k?1

即：X?0.822???? 1.176?? 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

6. 已知约束优化问题：

2minf(x)?4x1?x2?12s?t2g1(x)?x12?x2?25?0g2(x)??x1?0g3(x)??x2?0

试以x10??201?,x2??4T01?,x3??3T3?为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代

T计算。（20分）

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

x10??21??f10??50x2??41??f20?3 0x3??33??f30??900 经判断，各顶点均为可行点，其中，x3 为最好点，x2为最坏点。0 2）计算去掉最坏点 x2 后的复合形的中心点：

xc01?Li?1i?2?x30i1??2??3???2.5??3????????????? ???2??1??3????2??3? 3

1

3）计算反射点xR （取反射系数??1.3）

??2.5??4???0.55??2.5?10xR?xc0??(xc0?x2)????1.3?????????????2???2??1???3.3?

11经判断xR为可行点，其目标函数值fR??20.69001 4）去掉最坏点x2构成新的复合形，在新的复合形中 ，由x10，x3和xR1 xR为最好点，x10为最坏点，进行新的一轮迭代。

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

?1??3??0.55???1.7751? xc????????????2??3??3.3???3.15? 6）计算新一轮迭代的反射点得：

x2R?1xc1??(xc?x10)??1.775?1.775???2???1.4825??????1.3?????3.15??1???5.945??3.15?????????

21经判断xR为可行点，其目标函数值fR??41.413，完成第二次迭代。7．用内点法求下列问题的最优解：

2minf(x)?x12?x2?2x1?1s?tg1?3?x2?02

（提示：可构造惩罚函数?(x,r)?f(x)?r?ln?gu(x)?，然后用解析法求解。）（20分）

u?1[解] 构造内点惩罚函数：

2?(x,r)?f(x)?r?ln?gu(x)??x12?x2?2x1?1?rln(3?x2)

u?12令惩罚函数对x的极值等于零：

?d??2x1?2???0 dx?2x2?(?r)/(3?x2)??x1?1得：

6?36?8r

x2?4舍去负根后，得x2?当 r6?36?8r

4?0时，x2?3，该问题的最优解为x??13?T。

4

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