《概率论与数理统计(本科)》复习题(本二非管理)-附部分答案

《概率论与数理统计（本科）》

复习题(本二非管理)

计算机学院

《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题

一、选择题 1、以

A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A为( ).

(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销 2、假设事件

A,B满足P(B|A)?1，则( ).

(A)

A是必然事件 (B) P(B|A)?0 (C) A?B (D) A?B

3、设P(AB)?0, 则有( ).

(A) A和B不相容 (B) A和B独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)

“互不相容”,指的是事件A和事件B不能同时发生,即AB=空集；

“对立事件”,指的是事件A不发生,称为事件A的对立事件,记作?（A上面有一横,不知道怎么打出来,暂时用这个代替）；

若事件A与事件B中至少有一个发生,且A与B互不相容,即A∪B=全集 ,AB=空集,则称呼A与B为对立事件.————这里“A∪B=全集”是区分“互不相容”与“对立事件”的关键. 若A与B为对立事件,则A与B必定互不相容,但反过来不一定成立.

所以你说得有误,应该是“互不相容包含对立事件,对立事件是互不相容的一种.”

4、设

A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）

A与B不相容 （B）A与B相容 （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(A?B)?P(A)

（A）5、设

A,B为两个随机事件，且0?P(A)?1，则下列命题正确的是（ ）。

(A) 若P(AB)?(B) 若P(BP(A) ，则A,B互不相容；

A)?P(BA)?1 ，则A,B独立；

A,B为对立事件；

(C) 若P(AB)?P(AB)?1，则(D) 若P(B)?P(BA)?P(BA)?1，则B为不可能事件；

6、设A,B为两随机事件，且B?（A）P(A?B)?（C）P(B|A)A，则下列式子正确的是（ ）

P(A); （B）P(AB)?P(A); ?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A)

B,P(B)?0，则下式成立的为（ ）

7、设A，B为任意两个事件，A? （A）P(A)8、设

?P(A|B)（B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B)（D）P(A)?P(A|B)

A和B相互独立，P(A)?0.6，P(B)?0.4，则P(AB)?（ ）

（A）0.4 （B）0.6 （C）0.24 （D）0.5 9、设P(A)?a,P(B)?b,P(A?B)?c，则P(AB)为( ). (A) a?b (B) c?b (C) a(1?b) (D) b?a

10、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人在第一次就取到黄球的概率是 （ ）

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5

11、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是( ). (A)

1111 (B) (C) (D)

856106401540194021 4012、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是( ). (A)

(B)

(C)

(D)

13、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是( ). (A)

7667 (B) (C) (D)

910109

14、在编号为1,2,,n的n张赠券中采用不放回方式抽签，则在第k次(1?k?n)抽到1号赠券的概1n?k (B)

率是( ). (A)

11 (B)

nn?k?1 (D)

1

n?k?115、随机扔二颗骰子，已知点数之和为８，则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（ ）。

111 （C） （D）

321216、某人花钱买了A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别

（A）

（B）

为P(A)3 5?0.03,P(B)?0.01,P(C)?0.02, 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚

钱的概率约为 ( ) (A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08 题目好象不对看书

P29。

17、设N件产品中有n件是不合格品，从这N件产品中任取2件，已知其中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是（ ）

（A）

n(n?1)n?1n(n?1) （B） （C）

N22N?n?1N(N?1) （D）

n?1

2(N?n)r?n)

18、设每次试验成功的概率为次成功的概率为( ). （A）Cn?1pr?1rp(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1?rrr?1r?1(1?p)n?r （B）Cnp(1?p)n?r（C）Cn(1?p)n?r?1（D）pr(1?p)n?r ?1p19、设离散随机变量X的分布函数为F(x)，且xk?1（A）P(xk?1（C）P(xk?1?xk?xk?1，则P(X?xk)?( ).

?X?xk) （B）F(xk?1)?F(xk?1) ?X?xk?1) （D）F(xk)?F(xk?1)

b(i?1,2,) 为离散型随机变量的概率分布律.

i(i?1)12 (D) 3

20、常数b?( )时，pi?(A) 2 (B) 1 (C)

21、离散型随机变量X的概率分布为P(X（A）?（C）

?k)?A?k(k?1,2,?)的充要条件是( ).

?(1?A)?1且A?0 （B）A?1??且0???1

A???1?1且??1 （D）A?0且0???1

22、设P{X??1}?P{Y??1}?P{X?1}?P{Y?1}?1，两个随机变量X，Y是相互独立2且同分布,则下列各式中成立的是（ ） (A)P{X?Y}?111 (B) P{X?Y}?1 (C) P{X?Y?0}? (D) P{XY?1}? 24423、设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为( ). (A)

2027 (B) 2730 (C)

25 (D)

23

24、设两个随机设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)pk1/61/91/181/3??,

且

X,Y相互独立，则（ ）

（A）?（C）??2/9,??1/9 （B）??1/9,??2/9

?1/6,??1/6 （D）??8/15,??1/18

25、若函数

?cosx,x?D 是随机变量X的分布函数，则区间D为 （ ） f(x)??0,其它? （A）[0,?2] （B）[?3?7?,?] （C）[0,?] （D）[,] 22426、下列函数为随机变量的密度函数的为( )

(A)

?1?cosx,x?[0,?]?, (B) f(x)??2f(x)??其他?0,??0,2x?2其他

(C)

(x??)?1?2??e?x,x?0e2?,x?0 (D) f(x)?? f(x)???2?x?0?0,?x?0?0,27、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是（ ） （A）F(x)?11?x2 （B）F(x)?31?arctanx 42??2arctanx?1

x?0?0,? （C）F(x)??x,x?0??1?x28、设随机变量X的概率密度为

(D) F(x)?。 f?x?，则f?x?一定满足（ ）

（A）0???f?x??1

（B）P?X?x???x??f?t?dt

（C）

???xf?x?dx?1

（D）P?X?x?????f?t?dt

x29、B设随机变量X的密度函数为数a，（ ）成立

(A) F(?a)?1?(C) F(?a)?f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实

?a0f(x)dx， (B) F(?a)?F(a)，

a1??f(x)dx， (D) F(?a)?2F(a)?1 2030、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数为则（ ） （A）F(x)?f(x)，而且X与?X有相同的分布函数，

F(?x)（B）F(x)??F(?x)（C）f(x)?f(?x)（D）f(x)??f(?x)

31、设随机变量X的概率密度为

?x,?f(x)??2?x,?0,?1.510?x?11?x?2, 则P(X?1.5)?（ ） 其他1.5?? （A）0.875 （B）

?1.50(2?x)dx （C）?(2?x)dx (D) ?(2?x)dx

32、设随机变量X的概率密度为

?4x3,0

使P{X?a}?P{X?a},则a?( ). (A) 42 (B) 12 (D) 1?142

33、设随机变量X(A) ??1N(0,1)，?(x)是X的分布函数，且P{X?x}???(0,1),则x?( ).

(?) (B) ??1(1??) (C) ??1(1??) (D) ??1()

22?34、设随机变量X,Y相互独立，（A）P(X（C）P(X35、设XX~N(0,1),Y~N(1,1)，则( ).

?Y?0)?1/2 （B）P(X?Y?1)?1/2 ?Y?0)?1/2 （D）P(X?Y?1)?1/2

~N?2????,且P(0?X?4)?0.6，则P?X?0??（ ）

（A）0.3 （B）0.4 （C）0.2 （D）0. 5 36、设随机变量X （A）37、设XN(1,4)，则下列变量必服从N(0,1)分布的是 （ ）

X?1X?1X?1 （B） （C） (D) 2X?1 432~N?0?1?, Y~N?1?2?,X,Y相互独立，令Z?Y?2X,则Z~（

）

（A）N(?2,5) (B) N(1,5) (C) N(1,6) (D) N(2,9) 38、设随机变量

X与Y相互独立，且XN(?1,?12),Y2N(?2,?2)，则Z?X?Y仍具有正态

分布，且有( ). (A) Z (C) Z2N(?1,?12??2) (B) ZN(?1??2,?1?2)

2N(?1??2,?12?2) (D) Z2N(?1??2,?12??2)

39、设随机变量X服从正态分布N(?,?2),则随着?的增大,概率P{|X??|??}( ).

(A) 单调增大 (B) 单调减小 (C) 保持不变 (D) 增减不定 40、设随机变量X~N?1,22?，??1??0.8413,则事件“1?X?3”的概率为（ ）。

（A） 0.1385 41、设随机变量

（B） 0.2413 （C） 0.2934

（D） 0.3413

X~N(0,1)，对给定的?(0???1)，数z?满足P(X?z?)??. 若

P(X?c)??，则c?( ). （A）z?42、设X的分布函数为F2 （B）1?? （C）

2zz1??（D）z1??

2?x?，则Y?1X?1的分布函数G?y?为（ ） 2（A）F??1?y?1? （B）F?2y?1? （C）F(2y?2) （D）2F?y??1 ?2??1，则Y?2X2?(1?x)的概率密度为( ).

43、设随机变量X的概率密度为?(x)(A)

1112arctany (B) (C) (D) 222??(1?4y)?(1?y)?(4?y)?a(x?y),0?x?1,0?y?2f(x,y)??，

0,其他?

44、设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

则常数a? （ ） (A)

11 (B) 3 (C) 2 (D) 3245、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为

?12e?(3x?4y),x?0,y?0 f(x,y)??，0,其他?则P{0?x?1,0?Y?2}?( ). (A) (1?e?6)(1?e?8) (B) e?3(1?e?8)

?3(C) (1?e)(1?e?8) (D) e?8(1?e?3)

46、设(X,Y)的概率密度函数为（A）P{X?6x2y,0?x?1,0?y?1, 则错误的是( ). f(x,y)??其他?0X,Y不独立

?0}?1 （B）P{X?0}?1 （C）

（D） 随机点(X,Y)落在D?{(x,y):0?x?1,0?y?1}的概率为1

47、设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线的联合概率密度函数为( ).

y?x2与y?x所围，则(X,Y)(A)

?6,(x,y)?G?1/6,(x,y)?G (B) f(x,y)?? f(x,y)??其他其他?0,?0,?2,(x,y)?G?1/2,(x,y)?G (D) f(x,y)?? f(x,y)??其他其他?0,?0,(C)

48、设随机变量X与Y相互独立，且

X,Y的分布函数各为FX(x),FY(y).令Z?min(X,Y)，则Z的分布函数FZ(z)?( ). (A) FX(z)FY(z) (B) 1?FX(z)FY(z) (C) (1?FX(z))(1?FY(z)) (D) 1?(1?FX(z))(1?FY(z))

x?0?0,?349、随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1, 则E(X)?( ).

?1,x?1?(A)

??0x4dx (B) ?3x3dx (C) ?x4dx (D) ?3x3dx

0011?050、设X与Y为两个随机变量，则下列给出的四个式子那个是正确的( ). (A) E(X?Y)?E(X)?E(Y) (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y)

E(X)E(Y) (D) D(XY)?D(X)D(Y)

(C) E(XY)?51、如果X,Y满足D(X?Y)?D?X?Y?，则必有 （ ）

?0 （D）DX?0

（A）X与Y独立 （B）X与Y不相关 （C）DY52、若随机变量X，Y相互独立，则 ( )

(A)D(XY)?（C）D(3XD(X)?D(Y) (B) D(2X?Y)?2D(X)?D(Y)

?2Y)?9D(X)?4D(Y) （D）D(X?Y)?D(X)?D(Y)

53、若随机变量X和Y相互独立，则下列结论正确的是（ ）.

(A)

??Y?E（Y）???0 (B) E??X?E（X）??Y?E（Y）???0 E??X?E（X）?1 (D) 相关系数?XY?0

E(X)?E(Y)，则 ( )

(C) 相关系数?XY54、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?(A)D(XY)?D(X)?D(Y) (B)D(X?Y)?D(X)?D(Y)

（C）X和Y独立 （D）X和Y不独立 55、已知随机变量X和Y的方差D(X)?9,D(Y)?16，相关系数?XY则D(X?Y)?（ ） ?0.5，

（A）19 （B）13 （C）37 （D）25 56、设随机变量X的期望E(X)?0，E(（A）21211X?1)?2，D(X?1)?，则E(X)?（ ） 2222 （B）1 （C）2 （D）0

57、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间

??1,3?和?2,4?上服从均匀分布，则E?XY??（ ）。 （A） 3 （B）6 （C）10 （D） 12 58、设随机变量X，Y相互独立，且

Xb(10,0.3)，Yb(10,0.4)，则E(2X?Y)2?( )

（A）12.6 （B）14.8 （C）15.2 （D）18.9 59、 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和向下的次数，则于（ ） (A)?1． (B) 0． (C) 1/2． (D) 1．

k?22e60、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,即P(X?k)?X和Y的相关系数?等

(k?0,1,2,),

k!则随机变量Y=3X-2的数学期望为( ). (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 61、设X1,X2,X3都服从[0,2]上的均匀分布，则E(3X1?X2?2X3)?( ).

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 2

62、设桃树的直径X的概率密度为

4?,0?x?1?则E(X)?( ). f(x)???(1?x2)，?0,其他?ln4(A)

ln2? (B) ln4 (C)

? (D)

ln8 2?63、已知随机变量X服从二项分布，且有E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数n,( ). (A) n?4, (C) n?8,p的值为

p?0.6 (B) n?6,p?0.4

p?0.3 (D) n?24,p?0.1

64、设连续型随机变量

X的概率密度函数为

?32,x?0?随机变量Y?X?4，则f(x)??(x?4)3，?0,其他?E(Y)?( ). (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 10

65、某商店经销商品的利润率X的概率密度为

?2(1?x),0?x?1 则D(X)?( ). f(x)??，0,其他? (A)

1111 (B) (C) (D) 1218161466、二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为 （ ）

（A）EX?EY (B) EX2?[EX]2?EY2?[EY]2

(C)EX2?EY2 (D) EX2?[EX]2?EY2?[EY]2

67、设5个灯泡的寿命Xi(i个灯泡的平均寿命Y?1,,5)独立同分布，且E(Xi)?a，D(Xi)?b,(i?1,的方差D(Y),5)，则5

?X1?X2?X3?X4?X55?（ ）

（A）5b （B）b （C）0.2b （D）0.04b 68、设X1,X2,X3相互独立同服从参数?1?3的泊松分布，令Y?(X1?X2?X3)，则E(Y2)?3（ ） （A）1 （B）9 （C）10 （D）6

69、设x1,x2,16,x6是来自N(?,?)的样本，S??(xi?x)2，则D(S2)?( ).

5i?122(A)

14122? (B)?4 (C)?4 (D)?2 35551n???(xi?x)2，其中x1,x2,70、设?ni?12,xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，则有

?2)?( ). (A) ?2 (B) E(?71、设随机变量X( ) (A)

N(0,1)，Yn?12nn?12? (C) ?2 (D) ? nn?1nN(0,2)，并且X与Y相互独立，下列哪个随机变量服从?2分布

11112(X?Y)2 (B)X2?Y2 (C)(X?Y)2 (D)X2?Y2 32233211072、已知总体X服从正态分布N(1,?)，则样本均值X??Xi服从（ ）

10i?1 (A) N(1,?2) (B) N(1,10?) (C) N(10,?) (D) N(1,1022?210)

73、设x1,x2,,x10为N(0,0.3)的一个样本，则P{?xi2?1.44}?( ).

2i?1 (A) 0.9 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.3 这题要查表能考吗？

74、设随机变量X与Y互相独立，

XN(?1,?12),Y2N(?2,?2).从X得到样本

X1,X2,,Xn1，从Y得到样本Y1,Y2,1n11n2,Yn2，X??Xi,Y??Yi，则有( ).

n1i?1n2i?1

(A)

X?YN(?1??2,???) (B) X?Y2?12?22122N(?1??2,2?12?2n1?n2)

(C)

X?YN(?1??2,n1?n2) (D) X?YN(?1??2,2?12?2n1?n2)

275、设(X1,X2,?,Xn)为总体N(?,?2)(?已知)的一个样本，X为样本均值，则在总体方差?的下列估计量中，为无偏估计量的是( ).

1n2（A）???(Xi?X)ni?121?1n(Xi?X)2 （B）???n?1i?122??1n1n22(Xi??)2 （C）???(Xi??) （D）?4??ni?1n?1i?123?76、样本容量为n时，样本方差S是总体方差?的无偏估计量，这是因为（ ）

22

(A) ES2??2 (B) ES2??2n (C) S2??2 (D) S2??2

二、填空题 1、已知P(A)?0.5,P(B)?0.6及P(BA)?0.8,则P(A?B)?__0.7_______ .

2、已知P(A)?0.7,P(A?B)?0.3，则P(AB)?___0.6____.

3、设

A,B互不相容，且P(A)?p,P(B)?q；则P(AB)?_1-p-q______.

A,B及A?B的概率分别为0.4,0.3,0.5，则P(AB)?__0.2____. A,B互不相容，且P?A??0.3,PAB?0.6，则P?B?＝

4、设事件

5、已知事件

??0.5 ．

6、设事件

A,B相互独立，P?A??0.4,P?B??0.2，则P?A?B??___0.88_____．

7、已知

A,B两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?___1-p____.

8、袋中有红、黄、白球各一个,每次任取一个,有放回的抽三次,则颜色全不同的概率为 ___2/9____. 9、一单项选择题同时列出5个答案，一考生可能真正理解而选对答案，也可能乱猜一个。假设他知道正确答案的概率为

11，乱猜对答案的概率为。如果已知他选对了，则他确实知道正确答案的概率为 5/7 ． 35 10、设在一次试验中，5p(1-p)4 .

11、同时抛掷四颗均匀的骰子，则四颗骰子点数全不相同的概率为 5/18 .

12、有两只口袋，甲带中装有3只白球，2只黑球，乙袋中装有2只白球，5只黑球，任选一袋，并从中任取1只球，此球为黑球的概率为__29/70____.

13、三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率__0.496_____.

14、某人射击的命中率为0.4，独立射击10次，则至少击中9次的概率为___0.4^10_+10*0.6*0.4^9_____. 15、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中地概率为__6/11_____.

A发生的概率为p，现进行

5次独立试验，则

A至少发生一次的概率为

16、甲,乙,丙三人独立射击,中靶的概率分别为率为__6/13___.

12,23和

34,他们同时开枪并有两发中靶,则是甲脱靶的概

17、一批电子元件共有100个，次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为 19/396 .

18、设离散型随机变量X的分布律为P{X?i}?a,Ni?1,2,,N.则a?____1___.

则a?_e??19、设离散型随机变量X的分布律为P{X?i}?a?ii!,i?1,2,.，

___.

20、设随机变量Xb(n,p)，且已知P(X?1)?P(X?2)?2P(X?3)，则p? 1/3 ．

45，次品率为

21、设某批电子元件的正品律为

1.现对这批元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试5工作，则测试次数的分布律是__P(x=i)=4/5i_____. 22、设随机变量X服从泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},则P{X?4}?_(2/3_)*e-2____.

23、设一批产品共有N个，其中有M个次品.对这批产品进行不放回抽样，连续抽取n次.设被抽查的nin?icMcN?M个产品中的次品数为X.则P{X?i}?_ncN______，i?0,1,2,,n.

24、设离散型随机变量X的分布律为

X p 0 0.2 1 0.3 2 0.5 则P{X?1.5}?___0.5____.

25、设随机变量XB(2,p),YB(3,p)，若P{X?1}?5}?_8/27______. ，则P{Y?1926、设

X,Y为相互独立的随机变量，且

P{X?0}?P{Y?0}?5,则P{max(X,Y)?0}? 855/64 .

27、随机变量X,Y相互独立且服从同一分布，P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3，k?0,1，则

P(X?Y)?5/9.

28、设随机变量X服从正态分布N??2,3?， 则概率密度函数为___ 略 ___.

?x?,0?x?4，则P(X?2)?__3/4_____. f(x)??8??0, 其他29、设随机变量X的概率密度函数为

?1xe,x?0??330、已知函F(x)??是某随机变量X的分布函数，则A? 1 .

2?A?e?2x,其它?3?31、设随机变量X的概率密度为

f(x)?A,???x???，则A＝ 21?x1/pi ．

32、已知函数

?Axe?x,x?0是某随机变量X的概率密度，则A的值为 1 . f(x)??x?0?0,113?3x?,?x??f(x)??2222?其它?0,33、设随机变量

X的概率密度为

，则Y?2X?1的概率密度为

略.

34、连续型随机变量X的概率密度为

??e?3x,x>0}? 则P{X?0.1f(x)??，x?0?0, _(1-e-0.3)λ/3______.

35、设随机变量XN(1,9),则若P(X?k)?1，k? 1 . 236、设随机变量X的概率密度函数为

1f(x)?e?|x|,???x??，则X的分布函数

2F(x)?ex/2 _x<0___,1- e-x/2__x>=0_.

?x,　x?0?37、设随机变量X具有分布函数F(x)=?1?x ，则P{X>4}=___1/5___________ 。

?0,　　　x?0?x?0?0,?238、设随机变量X的分布函数为 F(x)??Ax,0?x?1, 则A?_1_______.

?1,x?1?39、设随机变量X服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量Y0<=y<=4 . 40、设连续随机变量的密度函数为y>0_______.

?X2的概率密度函数fY(y)?

sqrt(y)/2

f(x)，则随机变量Y?3eX的概率密度函数为_3f(ln(y/3))/y

41、设随机变量

X和Y均服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，则(X,Y)的联合概率密度为

n(0,0,1,1,0)的密度 .

42、X与Y相互独立且都服从泊松分布?(?)，则43、X,Y独立且服从相同分布N2X?Y服从的泊松分布为__P（2λ

2）_______.

??,??，则2X?Y?3~N???3,5?? ．

?2e?(2x?y),x?0,y?0，则f(x,y)??其他?0,44、设二维随机变量

(X,Y)的联合概率密度函数为

P{X?1,Y?1}? (1-e-2)(1-e-1) .

?1?3?x?3?y?3?(x?y),x?0,y?045、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??，则

其他0,?(X,Y)的联合概率密度为 3?(x?y),x?0,y?0 .

46、设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X在

?0，3?上服从均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，

则数学期望E(XY)= 3/4 .

47、设随机变量X服从参数为5的泊松分布,Y?3X?2，则E(Y)?_13___.

48、设随机变量X服从均匀分布U(-3，4），则数学期望E(2X?1)=____8_______.

49、设X50、设X~b(20, 0.3)，则方差D(1?2X)= 16.8

~N(10,0.3),Y~N(1,4)，且X与Y相互独立，则D(2X?Y)? 5.2 .

X,Y相互独立，其中X服从0－1分布（

51、设随机变量则D(Xp?0.6），Y服从泊松分布且E(Y)?0.6,

?Y)? 0.84 .

?1，则D(3X?Y)? 5.5 .

52、若随机变量X，Y是相互独立，且D(X)?0.5，D(Y)53、已知E(X)?1,E(Y)?2,D(X)?1,D(Y)?4,?XY?0.6，设Z?(2X?Y?1)2，则

?

4.2 .

其数学期望E(Z)54、设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从[0,6]上的均匀分布，X2服从正态分布

N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松，令Y?X1?2X2?3X3，则E(X)?__12____.

55、如果随机变量

X的期望E(X)?2，E(X2)?9，那么D(1?3X)?

45 ．

56、X,Y服从相同分布N?,?2，则E????aX?bY??aX?bY??? (a-b)(σ^2+u^2) ．

0.331 . 57、设随机变量X~B(3,0.1)，则Y?2X?1的数学期望为 58、设

X,Y相互独立，

X和

Y的概率密度分别为

?8?,x?2fX(x)??x3??0,其他，

?2y,0?y?1fY(y)??, 则E(XY)?__8/3____.

0,其他?59、某商店经销商品的利润率

X的概率密度为

?2(1?x),0?x?1则f(x)??，0,其他?D(X)?_1/18_____.

60、随机变量(X,Y)~N(0,1;0,4;?)，已知D(2X?Y)?1，则?? ,Y)的联合分布律为

7/8 .

61、设随机变量(X(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 a b

若E(XY)?0.8，则cov(X,Y)?

1/3 .

62、已知连续型随机变量

X的概率密度函数为

f(x)?1??e?x2?2x?1,???x???；则

E(X)?_1___.

63、设随机变量X与Y的相关系数为0.9，若Z?X?0.4,则Y与Z的相关系数为__0.9___.

64、设x1,x2,16? σ^2 . ,x6是来自N(?,?)的样本，S??(xi?x)2，则E（S2）5i?12265、随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式，估计P?X?E?X??2?? 0.5 ．

X1?X2?X3~

3X4n66、设X1,X2,X3,X4相互独立且服从相同分布?2?n?，则

F(3n,n) ．

67、设总体XN(2,3)，X1,X22,Xn为X的一个简单样本，则?i?1(Xi?2)232服从的分布是

?2?n? 。

68、若

X1,X2,,Xn1是正态总体N(?,?2)的容量为n的简单随机样本，则

?(Xi?1ni??)2服从

?2__?2?n?____分布.

269、设总体X～N(?,?), 则

1?2?(Xi?1n2i?X)服从 ?2(n?1) 分布.

3670、设（X1,X2,?,X6）是来自正态分布N(0,1)的样本，Y?(?Xi)?(?Xi)2

2i?1i?4 当c＝ 1/3 时， cY服从?分布. 71、设某种清漆干燥时间

，取n?9的样本，得样本均值和方差分别为X~N(?,?2)（单位：小时）

5.6439 .

2X?6,S2?0.33，则?的置信度为95%的单侧置信区间上限为：

72、 测量铝的比重16次，设这16次测量结果可以看作一个正态分布的样本，得

X?2.7，标准差

S?0.03，则铝的比重均值?的0.95置信区间为

三、解答题

1、设两两相互独立的三事件

2.71599 ．

A,B,C满足条件：

ABC??,P(A)?P(B)?P(C)且已知，

P(A?B?C)?2、设事件

9，求P(A).3/4 1614，试求

A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率都是P(A)及

P(B).1/2,1/2

3、一口袋中有6个红球及4个白球。每次从这袋中任取一球，取后放回，设每次取球时各个球被取到的概率相同。求：（1）前两次均取得红球的概率；（2）第n次才取得红球的概率；9/25,4^(n-1)*6/10^n 4、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5. （1）求恰有两位同学不及格的概率；0.44

（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.0.2045

5、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4，0.5，0.7，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2，若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6，若三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？

6、已知一批产品中96 %是合格品，检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.

7、某厂用卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱。现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。

8、设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率； (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.

9、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求： (1)顾客买下该箱的概率； (2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.

10、设有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求 (1)现取出的零件是一等品的概率；

(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

11、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.若坐火车来迟到的概率是

14；坐船来迟到的概率是

11；坐汽车来迟到的概率是；坐飞机来，则不会迟到.实际上312他迟到了，推测他坐火车来的可能性的大小？

12、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束．假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望．

13、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数X的分布律. 14、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布.

15、袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量X和Y：

X和Y分别表

?1,第一次摸出白球?1,第二次摸出白球； X??，Y???0,第一次摸出黑球?0,第二次摸出黑球求：(1)随机变量(X,Y)的联合概率分布；(2)X与Y的边缘分布. 16、某射手每次打靶能命中的概率为

23，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为X，后两次中靶数为Y,

求（1）(X,Y)的分布律；（2）关于X和Y的边缘分布律

17、设随机变量X的概率密度为

?Axe?x,x?0f(x)??， 试求（1）系数A;（2）方差D(X).

x?0?0, ?0,?x?18、设随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsin,a?1,??求：(1)确定常数

（2）X的概率密度函数. A和B；

x??a?a?x?a x?a19、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?Ae?(x?y),f(x,y)???0,x?0,y?0其他

求（1）

（2）P{X?1,Y?2} A的值；

x?1?4?e, x?0。f(x)??4?0 , x?0?20、 某工厂生产的一种设备的使用寿命X（年）服从指数分布，其密度函数为

工厂规定，设备在售出一年之内损坏可以调换，若售出一台可获利100元，调换一台设备需花费300远，试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。

21、某种型号的器件的寿命

X（以小时计）具有以下的概率密度

?1000?2,x?1000。现有f(x)??x?其它?0,一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取4只，问其中至少有一只寿命大于2000小时的概率是多少？

22、 设随机变量X的概率密度为

?e?x,x?02. 求Y?X的概率密度. f(x)???0,其他223、设随机变量K服从(0,5)上的均匀分布，求方程4x?4Kx?K?2?0有实根的概率.

24、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径

X服从[0,3]上的均匀分布，则求横截面积Y的数学期

X2望和方差，其中Y???4.

25、设随机变量X服从正态分布N?0,1?，求随机变量函数Y?X2的密度函数。

?20000,x?0?f(x)??(x+100)3,

?0,x?0?26、设某种药品的有效期间X以天计，其概率密度为

求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率.

27、设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y??2lnX的概率密度.

28、设随机变量X的概率密度为

fX(x)?1,(x?R)，求Y?1?3X2?(1?x)的概率密度

fY(y)．

29、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为

?1?(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)??8，

?0其它? 求P{X?Y?4}.

30、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?21?x?xy,0?x?1,0?y?2 f(x,y)??，3?0,其他?试求:(1)(X,Y)的分布函数；(2)X的边缘密度函数.

31、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?6xe?3y,0?x?1,y?0 f(x,y)??，其他?0,试求 (1)X和Y的边缘密度函数；(2)P{X?0.5,Y?1}.

32、 设二维连续型随机变量?X,Y?的概率密度为

?ke??3x?4y?,x?0,y?0 f(x,y)??0其它?的独立性．

（1）确定常数k； （2）讨论X,Y33、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数

?2e?2x?y,f(x,y)???0,x?0,y?0其他,

求：(1)(X,Y)的分布函数； (2) 关于X的边缘分布函数.

34、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?62,(x,y)?R 222?(4?x)(9?y)求：(1)(X,Y)的分布函数； (2)关于Y的边缘概率密度.

35、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?A(x?y)2,f(x,y)???0,x?1,y?1其他

求（1）

1（2）P{X?3,Y?}。 A的值；

2

36、设(X,Y)的联合分布律为

试求：（1）边缘分布Y的分布律；（2）E(Y)；（3）D(Y2 Y X 1 2 -1 1 2 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.1 ).

37、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是

25，设X为途中遇到红灯的次数，求(1)X的分布律；(2)X的期望.

38、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量X,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算X和Y的分布律和数学期望.

2、设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个，随机变量X表示取到的白球数,试求： (1)、随机变量X的分布律； (2)、数学期望E(X)。

39、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差.

40、设随机变量X的概率密度

?3x?f(x)??2，0?x?1，

?其它?0，试求：（1）概率P?X??3???； （2）2?数学期望E(X)。

41、设随机变量X的概率密度为

?ax2?bx?c,0?x?1 f(x)??，0,其他?已知E(X)?0.5,D(X)?0.15，求系数a,b,c.

42、设X的概率密度为

?32?x,0?x?2,2试求(1)X的分布函数；(2)数学期望E(X) f(x)??8??0,其他.43、设随机变量X代表某生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望E?X??73，标准差

??7．试用切比雪夫不等式估计概率P(52?X?94)．

44、设

X1,X2,,Xn是总体

X的一个样本，若

E(X)??,D(X)??2，样本方差

1nS?(Xi?X)2，试求E(S2)。 ?n?1i?1245、已知总体X服从b(1,似然估计．

p)(二点分布)，X1,X2,?,Xn为总体X的样本，试求未知参数p的最大

46、设总体X服从正态分布N(0,?量为n的简单随机样本，试求?22)，其中?2是末知参数，X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容

的极大似然估计量。

47、设总体X的概率密度为

??x??1,0?x?1,其中??0是未知参数，X1,X2,f(x)??其它?0,,Xn是

1n?来自总体X的一个容量为n的简单随机样本， （1）?的矩阵估计量?；（2）判断X??Xi是否

ni?1为?的无偏估计量. (3)求?的极大似然估计量。

48、设X服从正态分布N(?,?49、设X1,X2,2)，?和?2均未知参数，试求?和?2的最大似然估计量.

,Xn1是来自参数为?的泊松分布总体的一个样本,求?的最大似然估计量及矩估计量.

?6x?(??x),0?x??f(x)???3, X1,X2,?0,其他?50、设总体X的概率密度为

,Xn1是取自总体X的简

?； (2)求??的方差D(??). 单随机样本；(1)求?的矩估计量?51、设总体X的概率分布律为：

X 0 1 2 3 P p其中

2 2 p(1-p) p2

1-2p

p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3

求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .

52、设总体X的概率密度为

??c?x?(??1),x?cf(x;?)??,

0,x?c?是未知参数，???x??.

其中c?0为已知，??1,?X1,X2,,Xn1是来自总体X的一个容量

?；(2)?的最大似然估计量??. 为n的简单随机样本，求(1)?的矩估计量? 53、设总体值xX~N(?,2.82)，(X1,X2,,X10)为总体X的一个样本，并且已知样本的平均

（z0.05?1.645、z0.025?1.960） ?1500，.求 ?的置信水平为0.95的置信区间．

54、有一大批糖果.现从中随机地抽取16袋，得重量(以g计)的样本平均值x?503，样本标准差

S?6.2022，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值?的置信水平为0.95的置信区间.

四、综合题 1、已知P(A)２、设

111?,P(BA)?,P(AB)?,求P(A?B) 432A,B是两个事件，又设P(A)?p1?0,P(B)?p2?0且p1?p2?1，证明：

P(B|A)?1?1?p2P(B). 3、假设P(A)?0,试证P(B|A)?1?. p1P(A)4、已知事件

A,B,C相互独立，证明：A?B与C相互独立.

5、设

A,B是任意二事件，其中0?P(A)?1，证明：P(A|B)?P(A|B)是A与B独立的充分必

要条件.

6、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。

7、证明：P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB)

8、某船只运输某种物品损坏2%(记为

A1),10%(记为

A2),90%(记为

A3)的概率分别为

P(A1)?0.8,P(A2)?0.15,P(A3)?0.05,现从中随机地独立地取3件,发现这3件都是好的(记为

B).试分别求P(A1B),P(A2B),P(A3B)(设物品件数很多,取出一件以后不影响取后一件的概率)

9、 假设某山城今天下雨的概率是

12，不下雨的概率是33；天气预报准确的概率是

34，不准确的概率是

14；

王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若天气预报没有雨，王先生带伞的概率是

12；(1)求某天天气预报下雨的概率？(2)王先生某天带伞外出的概率？(3)某天邻居看到王先生带

伞外出，求预报天气下雨的概率？

10、设随机变量

X的概率密度为

?2x,0

211、设2000件产品中有40件次品，按放回抽样连取100件，其中次品数X为随机变量． （1）写出随机变量X的概率分布律的表达式；（2）按泊松分布近似计算概率P?0?X?4?；

12、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求Y?eX的概率密度.

1，两个随机变量X，Y是相互独立且同213、设P{X?0}?P{Y?0}?P{X?1}?P{Y?1}?分布，求随机变量Z1?max(X,Y),Z2?X?Y的分布律.

１4、设二维随机变量?X,Y?是区域D内的均匀分布，D:x2?y2?1．试写出联合概率密度函数，并确定X,Y是否独立？是否相关？

15、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?x2?Axy,f(x,y)???0,0?x?1,0?y?2

其他求（1）

（2）两个边缘概率密度函数。 A的值；

16、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Cx2y3,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??，其他?0,试求：(1) 常数C； (2) X和Y的边缘密度函数；（３）证明X与Y相互独立.

17、已知随机变量

X的概率密度为

x?1?1?e3， x?0fX(x)??3， 随机变量Y??0，x?0的概率密度

?6e?6y， y?0，且X,Y相互独立．试求 fY(x)???0，y?0（1）、

X,Y的联合密度函数

f?x,y?；（2）P?X?Y?；

（３）数学期望Ｅ（XY）.

18、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数

?6x,0?x?y?1， f(x,y)??其他?0,?Y?1).

求（1）

X,Y的边缘密度函数； （2）P(X19、一个电子仪器由两个部件构成，以

X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知X和Y的

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0联合分布函数为：F(x,y)??

0,其他.? (1) 求联合概率密度

f(x,y)（2）求X和Y的边缘概率密度(3) 判别X和Y是否相互独立.

20、已知随机变量X,Y的分布律为

X P -1 0 1 140 1214

Y P 1 1212 且P(XY?0)?1,求X,Y的联合分布律。

21、设XN(?,?2)，试证明Y?X与

X???服从标准正态分布N(0,1).

22、设随机变量

Y相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，试证明X?Y仍服从泊

松分布，参数为6.

23、设随机变量独立.

X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p). 试证明随机变量X?Y与Z相互

24、设随机变量X的概率密度函数为

?(k?1)xk,0?x?1, f(x)??0,其他，?371A?{X?}至少发生一次的概率为

642。

已知对X独立重复观测3次，事件（1）求常数k。 （2）为了使事件复观测。（ln0.05?A至少发生一次的概率超过0.95，那么对X至少要作多少次独立重

?2.9958,ln0.75??0.2877）

0x??1??25、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsinx?1?x?1，

?1x?1?试求（1）常数

A,B； （2）X的概率密度； （3）Y?2X?1的概率密度.

26、一辆飞机场的交通车送20名乘客到9个站，假设每名乘客都等可能地在任一站下车，且他们下车与否相互独立，又知交通车只在有人下车时才停车，求该交通车停车次数的数学期望。

27、设随机变量X的概率密度为

?e?x,f(x)???0,x?0， x?0

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