电磁感应中“滑轨”问题归类例析

电磁感应中“滑轨”问题归类例析

导体杆切割磁感线的四类问题：

1、运动性质问题分析：稳定运动的性质（可能为静止、匀速运动、匀加速运动）、

求出稳定的速度或加速度、

求达到稳定的过程中发生的位移或相对位移等

2、感应电动势、电流、电势差问题：

3、能量转化的问题：如产生的电热、机械功率等 4、求通过回路的电量问题：

q?n?? R?r 解题的方法思路：

（1）首先受力分析和运动分析。

（2）然后运用动能定理、或动量定理、动量守恒以及能量守恒建立方程。

情景模型分三类：单杆滑、双杆滑、轨道滑以及绳连的“双杆滑动”问题。 一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路

例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab垂直导轨放置

（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。 （2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。 解析：（1）ab运动切割磁感线产生感应电动势E，所以ab相当于电源，与外电阻R构成回路。

∴Uab=

R2

BLv?BLv3R?R21mv2。 2mv。 BL（2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。

动能全部转化为电热,Q?由动量定理得：Ft?mv即BILt?mv，q?It∴q???BLxmvq???33BLRR22得 x?，

3mvR。

2B2L2

例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求： (1)杆ab的最大速度；

1

(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.

解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。 (1) 杆ab达到平衡时的速度即为最大速度v，

22BLv??mgcos??0R0?r2Rmg(sin???cos?)(0?r)解得2m v??2.5sB2L2R (2)

ab导线产生热量 Qab?(2I0)2r?(2I0)20?2Q02mgsin??克服安培力等于产生的总电能即，W?Q?2Q0?2Q0?1.5J， 由动能定理：mgssin?1?W??mgscos??mv2?0

212mv?W2得s? mg(sin???cos?)BLs，代入数据得q＝2 C R通过ab的电荷量 q?I?t?关键：在于能量观，通过做功求位移。

2、杆与电容器连接组成回路

例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距L , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab从高h处由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间？ 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？ 解析：I=0,安培力为0，自由下落

a?g,h?， 122hgt,t?,v?2gh2g请问解答是否正确？

正确解析：棒加速下落过程，电容器有充电电流，安培力不为0.

电容器充电电流

I? ?QC?UCBL?v???CBla?t?t?t由牛顿运动定律 mg?BIL?ma 加速度

a?mg为定值，杆匀加速下落， m?cB2L2 2

1h?at2,解得t?22h?a2h(m?CB2L2) mg落地速度为

例4、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒

a 的最终速度。

C v0 解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，临界为当

b ab棒电动势等于电容器的电压时以稳定速度v匀速运动时，有：

BLv=q/C

而对导体棒ab利用动量定理可得：-BILt=-BLq=mv-mv0 由上述二式可求得： v?v?2ah?2mghm?CB2l2mv0

m?B2L2C3、杆与电源连接组成回路

例5、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l?0.5m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：

（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？ （2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．

解析（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流I0?时加速度a0?E?1.5A，ab受安培力水平向右，此时瞬R?rF0BI0L??6m/s2 mmab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势E'?Blv，根据右手定

则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方

E?E'向，I?）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速

R?r度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势E与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．

3

'设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：E?Bl?m?0

E1.5?m/s=3.75m/s． Bl0.8?0.5（2）如果ab以恒定速度??7.5m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势

所以?m?E'?Blv?0.8?0.5?7.5V=3V

E'?E3?1.5?由于E＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：I?A=1.5A

R?r0.8?0.2''直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为

F'?BlI'?0.8?0.5?1.5N=0.6N

所以要使ab以恒定速度v?7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F?0.6N作用于ab． 上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab的恒力（F）的功率：P?Fv?0.6?7.5W=4.5W ②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：

P'?I2(R?r)?1.52?(0.8?0.2)W=2.25W

③逆时针方向的电流I，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：P?IE?1.5?1.5W=2.25W

由上看出，P?P?P，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）． 二、“双杆”滑切割磁感线型

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？ 解析：ab棒向cd棒运动时，磁通量变小，产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．临界状态下：两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．

4

''''''b L a

v0 c

B d （1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0?2mv 个过程中产生的总热量Q?根据能量守恒，整

11122mv0?(2m)v2?mv0 224（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：

33Emv0?mv0?mv1。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：E?(v0?v1)BL，I?。此时

442RFcd棒所受的安培力：F?IBL，所以cd棒的加速度为 a?

m由以上各式，可得

B2L2v0a? 。

4mR例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所

在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s，问此时两金属杆的速度各为多少？

解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

2

?S?[(x?v2?t)?v1?t]?t?lx?(v1?v2)l?t

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E?B回路中的电流 i?乙 甲 F ?S ?tE，杆甲的运动方程F?Bli?ma 2R由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反， 所以两杆的动量(t?0时为0）等于外力F的冲量

Ft?mv1?mv2。

1F12R?(F?ma)] 联立以上各式解得v1?[2mB2F1F2Rv2?[1?22(F?ma)]，

2mBI代入数据得v1?8.15m/s

v2?1.85m/s

5

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

如图所示，光滑导轨

、

等高平行放置，

、、

间宽度为是质量均为

间宽度的3倍，导轨右侧水平且处的金属棒，现让

从离水平轨道高

于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)

棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

【解析】

下滑进入磁场后切割磁感线，在

电路中产生感应电流，

、

各受不同的磁场力作用

、

不再受磁

而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒： ①

由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度

们的磁场力为：

②

，故它

在磁场力作用下，应电流为零(

、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当

、

运动趋于稳定，此时有：

时，电路中感

)，安培力为零，

所以 ③

、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

④

⑤

6

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：

////

例8、如图所示，abcd和abcd为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、

a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给

导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？ 解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒

ef的速度减小到v1， 导体棒gh的速度增大到v2，

则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。

对导体棒ef由动量定理得：?2BLI?t?2mv1?2mv0 对导体棒gh由动量定理得：BLI?t?mv2?0。 由以上各式可得：v1?例(04全国2) 图中

??a a

/

e b c bc/ h / g d d/ f 12v0,v2?v0。 33a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁

abablcd场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。导轨的11段与22段是竖直的．距离为小1，11段

与为

c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用

于金属杆11上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的

重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

【解析】设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面

积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动 势的大小

xyE?B(l2?l1)v ①

回路中的电流

I?ER ②

电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆培力为

x1y1的安

f1?Bl1I ③

x2y2的安培力

方向向上，作用于杆

2 2 方向向下。当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有

f?BlI 7

F?m1g?m2g?f1?f2?0 ⑤

解以上各式，得

F?(m1?m2)gB(l2?l1) ⑥ F?(m1?m2)gv?R22B(l?l)21 ⑦ I?作用于两杆的重力的功率的大小

P?(m1?m2)gv ⑧

电阻上的热功率

Q?I2R ⑨

由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得

P?F?(m1?m2)gR(m1?m2)gB2(l2?l1)2

2?F?(m1?m2)g?Q???R?B(l2?l1)?

3、磁场方向与导轨平面不垂直

例9、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae和cf是平行的足够长倾斜导

轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为B，导轨间距为L，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求： （1）水平拉力F的大小；

（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。

b B a 解析（1）1棒匀速：F?BIL2棒匀速：BIL?mgtan?

F 2 c 1 解得：F?mgtan?

d e θ （2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平

均感应电流为I，据动量定理，

对1棒：Ft?BILt?mv1?0；对2棒：mgsin??t?BILcos??t?mv2?0 联立解得：v2?v1cos?

匀速运动后，有：E?BLv1?BLv2cos?，I?三、轨道滑模型

例10、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为

m的金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求：

8

f θ E 解得：v1?2mgRtan? 2RB2L2(1?cos2?) (1)导轨在运动过程中的最大速度υm

(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的内能为多

少?

解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm。导轨在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F1和滑动摩擦力F2，则

B2L2vmE F?F1?F2?0，F1?BIL,I?,E?BLvm，即F1?RR以PQ棒为研究对象，PQ静止，在竖直方向上受重力mg、竖直向上的支持力N和安培力F3，则

B2L2vm)，将F1和F2代入解得 N?F3?mg,F3?F1,F2??N，得F2??(mg?RB2L2vmmgR0?(1??)(g?)，得vm?22

BLmR(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S，在这段过程中，经过的时间为t,PQ棒中的平均电流强度为I1，QPbC回路中的平均感应电动势为E1，则

E1?EqR??,???SLB,I1?1,q?I1t，得S?。设系统增加的内能为?E，由功能关系得：

BLtR1mgqRm3g2R22FS?mvm??E，则?E?? 442BL2BL四、绳连的“双杆滑动”问题

两金属杆ab和cd长均为l ，电阻均为R，质量分别为M和m，M>m，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图4所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为B，若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动速度。

【解析】设磁场垂直纸面向里，ab杆匀速向下运动时，cd杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图5所示，速度越大，电流越大，安培力也越大，最后ab和cd达到力的平衡时作匀速直线运动。 回路中的感应电动势：E?E1?E2?2Blv 回路中的电流为：I?EBlv? 2RRB2l2vab受安培力向上，cd受安培力向下，大小都为：F?BIl?

R设软导线对两杆的拉力为T，由力的平衡条件：

对ab有：T + F = Mg 对cd有：T = mg ＋ F

(M?m)gR2B2l2v?(M?m)g，解得：v?所以有：

2B2l2R

9

小结：从以上的分析可以看出处理“双杆滑动”问题要注意以下几点：

1、在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时，要注意是同向还是反向，可以根据切割磁感线产生的感应电流的方向来确定，若同向，回路的电动势是二者相加，反之二者相减。一般地，两杆向同一方向移动切割磁感线运动时，两杆中产生的感应电动势是方向相反的，向反方向移动切割磁感线时，两杆中产生的感应电动势是方向相同的，线圈中的感应电动势是“同向减，反向加”。

2、计算回路的电流时，用闭合电路欧姆定律时，电动势是回路的电动势，不是一根导体中的电动势，电阻是回路的电阻，而不是一根导体的电阻。

3、要对导体杆进行两种分析，一是正确的受力分析，根据楞次定律可知安培力总是阻碍导体杆的相对运动的。也可先判断出感应电流方向，再用左手定则判断安培力的方向。二是正确的进行运动情况分析。这两步是正确选用物理规律基础。

4、合理选用物理规律，包括力的平衡条件、动能定理、动量定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、欧姆定律、焦耳定律、楞次定律、法拉第电磁感应定律等。处理这类问题可以利用力的观点进行分析，也可以利用能的观点进行分析，还可以利用动量的观点进行分析。

在利用能的观点进行分析时，要注意导体克服安培力作功的过程是把其它形式的能转化为电能的过程。

类型 水平导轨，无水平外力 不等间距导轨，无水平水平导轨，受水平外外力 力 竖直导轨 终态分析 两导体棒以相同的速度做匀速运动 两导体棒以不同的速度做匀速运动 两导体棒以不同的速度做加速度相同的匀加速运动 两导体棒以相同的速度做加速度相同的匀加速运动 速度图象 解动量守恒定律，能量守恒动量定理，能量守恒定动量定理,能量守恒动量定理,能量守题定律及电磁学、运动学知律及电磁学、运动学知定律及电磁学、运动恒定律及电磁学、策识 略

识 学知识 运动学知识 10

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