高一数学抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数f(x2)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。

22解：f(x2)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x2)中的x满足1?x?4

从而函数f（x）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数f(?(x))的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f(?(x))中x的取值范围为A，据此求?(x)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3?x)]的定义域。 例2. 已知函数f(x)的定义域是[?12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中， 解：f(x)的定义域是[?1由此可得?1?log1(3?x)?2?()?3?x?()212212?1?1?x?11 4所以函数f[log1(3?x)]的定义域是[1，211] 4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f(?(x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知?(x)的值域B，且B?A，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

?例3. 已知定义域为R的函数f（x），同时满足下列条件：①f(2)?1，f(6)?1；②f(x?y)?f(x)?f(y)，5求f（3），f（9）的值。

解：取x?2，y?3，得f(6)?f(2)?f(3)

因为f(2)?1，f(6)?148，所以f(3)?? 又取x?y?3，得f(9)?f(3)?f(3)?? 55551评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x?2，y?3，这样便把已知条件f(2)?1，f(6)?与

欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题

1

例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)f(y)总成立，且存在x1?x2，使得f(x1)?f(x2)，求函数f(x)的值域。

解：令x?y?0，得f(0)?[f(0)]2，即有f(0)?0或f(0)?1。

若f(0)?0，则f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0，对任意x?R均成立，这与存在实数x1?x2， 使得f(x1)?f(x2)成立矛盾，故f(0)?0，必有f(0)?1。

由于f(x?y)?f(x)f(y)对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，

有f(x)?f(xxxxx?)?f()f()?[f()]2?0 22222下面来证明，对任意x?R，f(x)?0

设存在x0?R，使得f(x0)?0，则f(0)?f(x0?x0)?f(x0)f(?x0)?0 这与上面已证的f(0)?0矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0，所以f(x)?0

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。

表示原自变量x的代数式，从而求出

f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生

x)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u例1：已知

f(∴

f(x)?2?x 1?x2.凑配法：在已知

f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)拼凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还

能进一步复习代换法。

例2：已知

11f(x?)?x3?3xx，求

f(x)

解：∵

1111111f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1

xxxxxx|x|∴

f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设

f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).

f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c

2

?2(a?c)?41313?22?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?12222?2b?2?4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵

y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)

∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), f(x)为奇函数，

∵

?lg(1?x),x?0 f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)????lg(1?x),x?0f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?1， 求f(x),g(x). x?1例5．一已知解：∵

f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),

f(x)+g(x)=

1 ………①中的x, x?111∴f(?x)?g(?x)?即f(x)－g(x)??……②

?x?1x?11x显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2

x?1x?1不妨用-x代换

五、单调性问题

例6. 设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。

2证明：在f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?[f(0)]

若f(0)?0，令x?0，y?0，则f(x)?0，与f(x)?1矛盾，所以f(0)?0，即有f(0)?1

当x?0时，f(x)?1?0；当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0，

而f(x)?f(?x)?f(0)?1，所以f(x)?1?0 f(?x)又当x?0时，f(0)?1?0，所以对任意x?R，恒有f(x)?0

设???x1?x2???，则x2?x1?0，f(x2?x1)?1

所以f(x2)?f[x1?(x2?x1)]?f(x1)f(x2?x1)?f(x1)，所以y?f(x)在R上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合

3

都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题

例7. 已知函数f(x)(x?R，x?0)对任意不等于零的实数x1、x2都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：取x1??1，x2?1得：f(?1)?f(?1)?f(1)，所以f(1)?0 又取x1?x2??1得：f(1)?f(?1)?f(?1)，所以f(?1)?0 再取x1?x，x2??1则f(?x)?f(?1)?f(x)，即f(?x)?f(x) 因为f(x)为非零函数，所以f(x)为偶函数。 七、对称性问题

例8. 已知函数y?f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求f?1(x)?f?1(2002?x)的值。

解：已知式即在对称关系式f(a?x)?f(a?x)?2b中取a?0，b?2002，所以函数y?f(x)的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y?f所以f?1?1(x)的图象关于点（2002，0）对称。

(x?1001)?f?1(1001?x)?0

?1将上式中的x用x?1001代换，得f(x)?f?1(2002?x)?0

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(a?x)?2b，则函数y?f(x)的图象关于点（a，b）成中心对称图形。

八、五类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数f（x）是

的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。

解：设∵∴

，∵当

，

，即

，∴，

，∴f（x）为增函数。

4

在条件中，令y＝－x，则为奇函数，

∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意

，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式

，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）

的解。

分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设

，∵当

，

即∵

，∴f（x）为单调增函数。

， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。

，∴

，则

∴

2、指数函数型抽象函数

，∴， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。

例3、设函数（fx）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在成立。求：

（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入

，使得，对任何x和y，

的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。

，则

，∴

。若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。

（2）令y＝x≠0，则（x）＞0恒成立。

，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f

例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在（1）x＝1时，∵（2）假设结论正确。

综上所述，x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

。 时有

，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数

；③f（2）＝4。同

，用数学归纳法证明如下：

，结论正确。 ，∴x＝k＋1时，

，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴

，则x＝k＋1时，

5

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