海南省海南中学2015届高三5月月考数学(理)试题 Word版含答案

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海南中学2015届高三五月考

理科数学

（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）

注息事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合A xy log2 x

1 ，B yy

，则AB ( )

A． B． 1, C． 1, D． 0, 2. 已知复数z满足 1 2i z 3 4i，则z=（ ）

1

5

3.已知向量a，b的夹角为60，且a 1，b 2，则2a b （ ）

A

．

．4.已知a1 1，an 1 （ ）

an

，则数列 an 的通项为an 3an 1

1

B．2n 1 2n 11 C． D.3n 2

3n 2

5. 执行右边的程序框图，若p 0.9，则输出的n （ ）

A. 3 B.4

A．

C.5 D.6

6.在圆x y 2x 6y 0内，过点E 0,1 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边

2

2

形ABCD的面积为（ ）

A

． B

． C

． D

．

7.将函数y f x 的图像向右平移

单位得到函数y cos2x的图像，则将函y f x 的2

横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，则g x （ ）

A． sin4x B．cos4x

C．sinx

D． cosx

8.设函数f x 4sin 2x 1 x，则在下列区间中，函数f x 不存在零点的是（ ） A． 4, 2

B． 2,0

C． 0,2

D． 2,4

9.已知直线l过抛物线C：x2 4y的焦点，且与y轴垂直，则直线l与抛物线C所围成的图形的面积为（ ）

48 B．2 C． D

． 333

3

10.已知 ,2 ，满足tan 2tan 0，则tan 的最小值是（ ）

2

A

． B

． C

． D

．

4444

x2y2

11.设F1,F2分别是双曲线2 2 1(a﹥0,b﹥0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在

ab

一点P，使得OP OF2F2P 0，其中O为坐标原点，且PF1 2PF2，则该双曲线的

A．

离心率为

( )

1

，f x1 ,f x2 ,f x3 为某一三角形的三

12.对于函数f x ，若对于任意的x1,x2,x3 R

ex t

边长，则称f x 为“可构成三角形的函数”。已知函数f x x是“可构成三角形的函

e 1

数”，则实数t的取值范围是（ ）

A． ,2 B． 0,1 C． 1,2 D． 0,

2

1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）

x2y2

13. 若双曲线2 2 1(a﹥0,b﹥0)的离

心率为

ab

为 。

，则其渐近线方程

14.已知数列 an 是等差数列,a1 1,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列，则S8

15.已知函数f

x loga

x

13

(a﹥o,a 1)，若x

a 12

1f sin

3 6

（ k

2

,k Z），则f cos 63

。

16. 已知下列四个命题：⑴若ax ax 1﹥0在x R上恒成立，则0﹤a﹤4； ⑵锐角三角形 ABC中，A

2

3

，则

1

﹤sinB﹤1； 2

x2y2

1(m﹥0)恒有公共点，则m 1,5 ； ⑶已知k R,直线y kx 1 0与椭圆

5m

⑷定义在R上的函数f x 满足f x y f x f y ,当x﹤0时，f x ﹥0,则函数

f x 在 a,b 上有最小值f b 。

其中的真命题是 。

三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17（本小题满分12分） 已知函数f

x cosx

x cosx。

(1)求函数f x 的最小正周期和单调递减区间；

⑵记 ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且f B 围。

18（本小题满分12分）

营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0. 075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费35元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费28元。为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

19（本小题满分12分）

数列 an 的前几项和为Sn，满足 2t 3 Sn 1 1 3t 4 Sn,a1 1，其中t﹥0。 ⑴若t为常数，证明：数列 an 为等比数列；

⑵若t为变量，记数列 an 的公比为f t ，数列 bn 满足b1 2,bn 1 f bn ，求b2,b3，试

1

，a c 1，求b的取值范2

判定b

n

20（本小题满分12分）.

1x2y2 3

已知椭圆C:2 2 1(a﹥b﹥0)经过点P 1, ，离心率e 。

2ab 2

⑴求椭圆C的方程；

⑵不过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点，若AB的中点M在抛物线E:y2 4x上，求直线l的斜率k的取值范围。 21（本小题满分12分）

2a2

alnx a R 。 己知函数f x x x

⑴讨论函数f x 的单调区间；

2

⑵设g x x 2bx 4 ln2，当a 1时，若对任意的x1,x2 1,e 都有f x1 g x2 ，

求实数b的取值范围； (3)求证：ln n 1 ﹤1

111n n N 。 23nn 1

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时．．．．用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正 ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，且

12

AC,AE AB,BD与CE交于点F。 33

⑴求证：A,E,F,D四点共圆； AD

⑵若正 ABC的边长为2，求点A,E,F,D所在圆的半径。 23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

' x 2x'

已知曲线C：x y 1，将曲线C上的点按坐标变换 '得到曲线C；以直角坐

y 3y

标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标系方程是

22

2cos sin 10。

⑴写出曲线C和直线l的普通方程；

⑵求曲线C上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标。 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f

x '

'

⑴解不等式f x f 4 ；

⑵设函数g x kx 3k,k R，若不等式f x ﹥g x 恒成立，求实数k的取值范围。

绝密★启用前

海南中学2015届高三第五次月考

理科数学参考答案

（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）

注息事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合A xy log2 x

1 ，B yy

，则AB ( B )

A． B． 1, C． 1, D． 0, 2. 已知复数z满足 1 2i z 3 4i，则z=（ C ）

1

5

3.已知向量a，b的夹角为60，且a 1，b 2，则2a b （ D ）

A

．

．4.已知a1 1，an 1 （ C ）

an

，则数列 an 的通项为an 3an 1

1

B．2n 1 2n 11 C． D.3n 2

3n 2

5. 执行右边的程序框图，若p 0.9，则输出的n

A．

（ C ）

A. 3 B.4

C.5 D.6

6.在圆x y 2x 6y 0内，过点E 0,1 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边

2

2

形ABCD的面积为（ B ）

A

． B

． C

． D

．

7.将函数y f x 的图像向右平移

单位得到函数y cos2x的图像，则将函y f x 的2

横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，则g x （ D ）

A． sin4x B．cos4x

C．sinx

D． cosx

8. .设函数f x 4sin 2x 1 x，则在下列区间中，函数f x 不存在零点的是（ A ）

A． 4, 2

B． 2,0

C． 0,2

D． 2,4

9.已知直线l过抛物线C：x2 4y的焦点，且与y轴垂直，则直线l与抛物线C所围成的图形的面积为（ C ）

48 B．2 C． D

． 333

3

10.已知 ,2 ，满足tan 2tan 0，则tan 的最小值是（ B ）

2

A

． B

． C

． D

．

4444

x2y2

11.设F1,F2分别是双曲线2 2 1（a﹥0，b﹥0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在

ab

一点P，使得OP OF2F2P 0，其中O为坐标原点，且PF1 2PF2，则该双曲线的

A．

离心率为( D )

1

，f x1 ,f x2 ,f x3 为某一三角形的三

12.对于函数f x ，若对于任意的x1,x2,x3 R

ex t

边长，则称f x 为“可构成三角形的函数”。已知函数f x x是“可构成三角形的函

e 1

数”，则实数t的取值范围是（ A ）

A． ,2 B． 0,1 C． 1,2 D． 0,

2

1

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）

x2y2

13. 若双曲线2 2

1y 。

ab

14.已知数列 an 是等差数列,a1 1,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列，则S8 。

15.已知函数f

x loga

x

13 1

a 0,a 1，若fsin x

a 12 3 6

（ k

2

,k Z），则f cos 63 5

=3 。

16. 已知下列四个命题： ⑴若ax ax 1

2

0在x R上恒成立，则0 a 4；

⑵锐角三角形 ABC中，A

3

，则

1

sinB 1； 2

x2y2

1 m 0 恒有公共点，则m 1,5 ; ⑶已知k R，直线y kx 1 0与椭圆

5m

⑷定义在R上的函数f x 满足f x y f x f y ,当x 0时，f x 0,则函数f x 在 a,b 上有最小值f b 。 其中的真命题是 （2）（4） 。

三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17（本小题满分12分） 已知函数f

x cosx

x cosx。

（1）求函数f x 的最小正周期和单调递减区间；

⑵记 ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且f B 范围。

解：（1）f x sin 2x

1

，a c 1，求b的取值2

1

--------------2分 6 2

T -------------4分

函数f x 的递减区间为： k （2）

3

,k

5

k Z 。----------6分 6

f B

1

2

sin 2B 1

6

0 B 2B

6

2B

11

6 6

6

2

即B

3

-------8分

由b a c 2accosB,a c 1,cosB

222

1 2

1 1

得b2 3 a ------10分

2 4

又a c 1,则0 a 1

2

1 1

b2 1即b 1 。------12分 4 2,

18（本小题满分12分）

营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费35元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费28元。为了满足营养专家指出的 日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？

解：设每天食用xkgA食物，ykgB食物，总成本为z。则

0.105x 0.105y 0,075

0.07x 0.14y 0.06

0.14x 0.07y 0.06

x 0 y 0

目标函数为z 35x 28y------------------4分

7x 7y 5

7x 14y 6

不等式组化简为 14x 7y 6

x 0 y 0

如图作出可行域（阴影部分）。---------------------------------------6分

把z 35x 28y变形为y

5z

x ， 428

由图可见，当直线z 35x 28y经过可行域上的点M时z最小。-------8分

解方程组

7x 7y 5

14x 7y 6

14

, --------------10分 7 7

得M的坐标为

所以zmin 35x 27y 21

故每天食用A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本21元。--------------12分 19（本小题满分12分）

数列 an 的前几项和为Sn，满足 2t 3 Sn 1 1 3t 4 Sn,a1 1，其中t 0 ⑴若t为常数，证明：数列 an 为等比数列；

⑵若t为变量，记数列 an 的公比为f t ，数列 bn 满足b1 2,bn 1 f bn ，求b2,b3，试判定b

n 解：（1）当n 1时，a2

3t 4

2t 3

当n 2时， 2t 3 sn 1 3t 4 sn 1 ① 2t 3 sn 1 1 3t 4 sn ② ②-①得： 2t 3 an 1 3t 4 an

an 13t 4

n 2 ---------4分

an2t 3

又

a23t 4

a12t 3

故 an 是等比数列---------------6分 （2）bn 1

3bn 4

2bn 3

b2

1058,b3 741

猜想：b

n分

下面用数学的归纳法证明:

① 当n 1,b1 2，则b

1 ② 假设当n k时，b

k当n k 1时，bk 1

3bk 4

2bk

3

bk 1

3bk 4

2bk 3

k

3 b 4

2bk 3

k

3 b

﹥0

2bk 3

bk 1 即 n k 1，结论也成立

由①②知： b

n分 20（本小题满分12分）.

1x2y2 3

已知椭圆C:2 2 1 a b 0 经过点P 1, ，离心率e 。

2ab 2

⑴ 求椭圆C的方程；

⑵不过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点，若AB的中点M在抛物线E:y 4x上，求直线l的斜率k的取值范围.

2

x2y2

1 --------------------3分 解：(1)C:43

(2)设直线l:y kx m m 0 ,A x1,y1 ,B x2,y2 ，M x0,y0 。-----4分 由

y kx m 3x 4y 12

2

2

222

得3 4kx 8kmx 4m 12 0-----6分

8km 4 3 4k2 4m2 12 ﹥0

2

即4k m 3﹥0 （1）----8分

22

又x1 x2 故M

8km

3 4k2

3m 4km

,22

3 4k3 4k

3m 4km

代入y2 4x得 ,22

3 4k3 4k

将M

m

2

16k 3 4k2

9

, k o 2 -------10分

222

将（2）代入（1）得：16k3 4k

81

解得

8

k

0,。--12分 ,且k

0。即k

8 8 8

21（本小题满分12分）

2a2

alnx a R . 己知函数f x x x

⑴讨论函数f x 的单调区间；

2

⑵设g x x 2bx 4 ln2，当a 1时，若对任意的x1,x2 1,e 都有f x1 g x2 ，

求实数b的取值范围； (3)求证：ln n 1 1

111n n N 。 23nn 1

2a2

alnx,x 0, 解：（1）f x x xf' x

当a

x a x 2a

x2

0时，递减区间为 0,2a ，递增区间为 2a, ；

当a 0时，递增区间为 0, ； 当a

0时，递减区间为 0, a ，递增区间为 a, 。------------4分

（2）当a 1时，f x x

2

lnx,x 0, x

由（1）知x 1,e 时f x min f 2 3 ln2

对任意的x1,x2 1,e 都有f x1 g x2 恒成立 即f x min g x ，x 1,e 恒成立

即3 ln2 x 2bx 4 ln2，x 1,e 恒成立

2

1

，x 1,e 恒成立 x11'

令h x x ，则h x 1 2 0，x 1,e

xx11

即h x x 在x 1,e 上递增，故h x max e

xe

即2b x 所以b

1 1

e 。---------------8分 2 e 111

lnx 时，f x x

22x2

1时，f x

（3）当a

由（1）知，x 1, 单调递增，则x即lnx取x

f 1

2x

1

3 x

k 1

k N ， kk 121

则ln

kkk 1221

故ln

112321ln 223

。。。。。。 。。。。。。

ln

n 1

n21 nn 1

上式叠加得：ln即ln n 1

23n 1 ln ... ln12n

1 21 21 2

... 1223nn 1

1

111

n

.... 。--------------12分 23nn 1

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用．．．．2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正 ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，且AD

12

AC,AE AB,BD与33

CE交于点F。

⑴求证：A,E,F,D四点共圆；

⑵若正 ABC的边长为2，求点A,E,F,D所在圆的半径。

21AB,则AE AB 33

1

在正 ABC中，AD AC, AD BE

3

又AB BC, BAD CBE

解：（1）由AE

BAD CBE ADB BEC 故 ADF AEF 从而 A,E,F,D四点共圆。

（2）取AE中点G,连接GD,则

112AE AB 233120

又AD AC , DAE 60

33

AGD为正三角形

2

GD AG AD

32

即GA GE GD

3AG GE

故G是过A,E,F,D四点的圆心，且半径为

2。 3

23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．

' x 2x'

已知曲线C：x y 1，将曲线C上的点按坐标变换 '得到曲线C；以直角坐

y 3y

标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标系方程是

22

2cos sin 10。

⑴写出曲线C和直线l的普通方程；

⑵求曲线C上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标。

'

'

x'2y'2

1 解：（1）C:49

l:2x y 10 0

'

（2）设曲线C上的点M 2cos ,3sin ，则

'

d

当sin

0 1时，d

取最大值

即距离的最大值为；此时点M的坐标为 , 。 24.（本小题满分10分）选修4－5

：不等式选讲

已知函数f

x 8 59 5

⑴解不等式f x f 4 ；

⑵设函数g x kx 3k,k R，若不等式f x g x 恒成立，求实数k的取值范围。 解：（1）f x x 3 x 4,f 4 9

x 3 x 4 9

原不等式等价于

x 4 4x 3 x3

或或

7 92x 1 9 2x 1 9

解得x 5或x 4

即不等式的解集为 , 5

4, 。

2x 1,x 4

（2）f x 7, 4x 3，

2x 1,x3

g x k x 3

由其函数图像知：k 1,2 。

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