2011年全国高中数学联赛几何专题（平面几何解析几何）

2011年全国高中数学联赛集训暨2012年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用

数学竞赛中的平面几何

一、引言

1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：

第一层次，中学几何问题．

这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．

第二层次，中学几何的拓展．

这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．

第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 ．

这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．组合几何的异军突起是数学竞赛的三大热点之一．

2．在中国的数学竞赛大纲中，对平面几何内容除了教材内容外有如下的补充．

初中竞赛大纲：四种命题及其关系；三角形的不等关系；同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质．

高中竞赛大纲: 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．

二、基本内容

全等三角形的判别与性质，相似三角形的判别与性质，等腰三角形的判别与性质，“三线八角”基本图形，中位线定理，平行线截割定理，圆中角（圆心角、圆周角、弦切角）定理等大家都已经非常熟悉，此外，竞赛中还经常用到以下基本内容．

定义1 点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．

定义2 如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A里，则集合A称为是凸的．

定义3 设M1,M2,?,Mn是多边形，如果M?M1?M2???Mn并且当i?j时，Mi与Mj没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形M1,M2,?,Mn．

定义4 如果凸边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M． 定理1 两点之间直线距离最短．

推论 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

定理2 三角形的内角之等于180．凸n边形（n?3）的n个内角和等于(n?2)?外角和为180180；（每一个顶点处只计算一个外角）．

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证明 如图1，过C作CE//AB，则有 ?ECA??A，（两直线平行，内错角相等） 得 ?A??B??C???A??C???B （结合律）

??ECB??B（等量代换）?180?．（两直线平行，同旁内角互补 图1

推论 三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和． 定理3 三角形中大边对大角、小边对小角．

证明 （1）如图2，在?ABC中，已知AB?AC，可在AB上截取AD?AC，则在等腰?ACD中有 ?1??2．（等腰三角形的性质定理）

又在?BCD中，?2??B，（外角定理） 更有 ?C??1??2??B．（传递性） 说明 由上面的证明知

?AB?AC??B??C,??AB?AC??B??C, ?AB?AC??B??C,?这样的分断式命题，其逆命题必定成立．证明如下： 图2

（2）反之，在?ABC中，若?C??B，这时AB,AC有且只有三种关系AB?AC，AB?AC，

AB?AC．若AB?AC，由上证得?C??B，与已知?C??B矛盾．

若AB?AC，由等腰三角形性质定理得?C??B，与已知?C??B矛盾． 所以AB?AC．

定理4 在?ABC与?A1B1C1中，若AB?A1B1,AC?AC11，则?A??A1?BC?B1C1． 定理5 凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是：

?ABC??CDA?180?（或?BAD??DCB?180?）．

证明 当四边形ABCD内接于圆时，由圆周角定理有

?ABC??CDA?1?11?1?ADC??ABC???ADC??ABC??180?． 222?2???同理可证?BAD??DCB?180．反之，当?ABC??CDA?180时，首先过不共线的三点A,B,C作?O，若点D不在?O上，则有两种可能：

（1）D在?O的外部（如图3（1））．记AD与?O相交于S，连CS，在?CDS中有

? ?ASC??CDA．又由上证，有?ABC??ASC?180，

得180?ABC??CDA??ABC??ASC?180，矛盾．

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图3 （2）D在?O的内部（如图3（2））．记AD的延长线与?O相交于S，连CS，在?CDS中有

? ?ASC??CDA．又由上证，有?ABC??ASC?180，

得 180?ABC??CDA??ABC??ASC?180，矛盾． 定理6 凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是

AB?CD?BC?AD．

证明 当凸四边形ABCD外切于圆时，设各边的切点分别为P,Q,R,S（如图4），根据圆外一点到圆的两切线长相等，有

??AP?AS,PB?BQ,

CR?QC,DR?DS.相加 AP?PB?CR?DR?AS?BQ?QC?DS， 得 AB?CD?BC?AD． 图4

?反之，若AB?CD?BC?AD，我们引?B,?C的平分线，因为?B??C?360，所以，两条角

平分线必定相交于四边形内部一点，记为N，则N到三边AB,BC,CD的距离相等，可以以N为圆心作

?N与AB,BC,CD同时相切，这时AD与?N的关系有且只有三种可能：相离、相切、相交．

（1）若AD与?N相离（如图5（1））．过A作切线与CD相交于D，在?ADD中，有

// DD?AD?AD． ①

//但由上证，有AB?CD?BC?AD， 又由已知，有AB?CD?BC?AD 相减得 CD?CD?AD?AD ，

////DD/?AD?AD/，与①矛盾．

图5

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（2）若AD与?N相交（如图5（2））．过A作切线与CD的延长线相交于D，在?ADD中，有①

// DD?AD?AD．

//但由上证，有AB?CD?BC?AD，

//又由已知，有AB?CD?BC?AD相减得 CD?CD?AD?AD ，

//即 DD?AD?AD，与①矛盾．

综上得AD与?N的相切，即凸四边形ABCD外切于圆．

定理7 （相交弦定理）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

定理8 （切割线定理）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

定义5 从一点A作?O的割线交?O于B,C，则点A到两交点B,C的线段长度之积AB?AC称为点A对?O的羃．对于两个已知圆有等羃的点的轨迹，称为两圆的根轴（或等羃轴）．

定理9 若两圆相交，其根轴在两圆公共弦所在的直线上；若两圆相切，其根轴在过两圆切点的公切线上；若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上．

定理10 （三角形面积公式）在?ABC中，记a,b,c为三边长，p?//1(a?b?c)为半周长，R是2外接圆半径，r为内切圆半径，ha是边BC上的高，ra是与边BC及AB,AC的延长线相切的旁切圆的半径，则?ABC的面积S为：

(1)S?111aha?bhb?chc； 222111(2)S?absinC?acsinB?bcsinA；

222(3)S?p(p?a)(p?b)(p?c)；

(4)S?abc?2R2sinAsinBsinC； 4R(5)S?rp；

1ra(b?c?a)； 21(7)S?R2(sin2A?sin2B?sin2C)．

2定理11 在Rt?ABC中，有 (6)S? （1）a?b?c，（勾股定理的逆定理也成立） （2）r?2221c(a?b?c),R?． 2273

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定理12 （角平分线定理）设AD是?ABC中?A的平分线，则．

ABBD?． ACDC此定理有10多种证法，下面是有辅助线与无辅助线的两种代表性证法． 证明1 （相似法）如图6，延长BA到E，使AE?AC，连CE，则 ?BAD? ?1?A（已知） 21??AEC??ACE?（外角定理） 2 ??AEC，（等腰三角形的两个底角相等） 有 AD//CE，

BDABAB??得 ．（平行线截割定理） 图6 DCAEAC11AB?ADsin?ABCS?ABD2AB2证明2 （面积法）． ???DCS?ACD1AC?ADsin1?AAC22定理13 （正弦定理、余弦定理）在?ABC中，有 （1）a?bcosB?ccosC，

b?acosA?ccosC， c?acosA?bcosB． abC???2R； （2）

sinAsinBsinC222（3）a?b?c?2bccosA，

b2?a2?c2?2accosB， c2?a2?b2?2abcosC．

（4）sinA?sinB?sinC?2sinBsinCcosA．

222abC???2R； sinAsinBsinC证明1 （1）当?ABC为直角三角形时，命题显然成立． （2）当?ABC为锐角三角形时，如图7（1），作?ABC外接圆?O，则圆心O在?ABC的内部，

（2）

连BO交?O于D，连结DC．因为BD是?O的直径，所以?BCD?90，在直角?BCD中有

?aabc?2R，但?A??D，故得?2R．同理可证?2R,?2R． sinDsinAsinBsinCabC???2R． 得

sinAsinBsinC （1） （2） 图7

（3）当?ABC为钝角三角形时，记?A为钝角，则圆心O在?ABC的外部，过A作直径，仿上证

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