初中数学竞赛辅导讲义

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初中数学竞赛辅导讲义（初三）

第一讲 分式的运算

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1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]

111 + + 222x?3x?2x?5x?6x?7x?12111解：原式= + +

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)(x?3)(x?4)111111= - + - + - x?1x?2x?2x?3x?3x?43 =

(x?1)(x?4)x?y?z(x?y)(y?z)(z?x)x?y?z?x?y?z例2． 已知 = = ，且xyz?0，求分式的值。

yxyzzx例1．化简

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.. ?x?y?kz(1)x?zx?yy?z?解：易知： = = =ｋ 则?x?z?ky(2) （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0

yzx?y?z?kx(3)?若ｋ=2则原式= k = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k =-1

33例3．设 xx2x2?mx?1 =1，求 x4?m2x2?1的值。

解：显然X?0，由已知x2?mx?1x =1 ，则 x +1x = ｍ + 1 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=

12m?1

例4．已知多项式3x3

+ax2 +3x +1 能被x2+1整除，求ａ的值。解：

1- ａ=0 ∴ ａ=1

x4?m2x2?1212122x2 = ｘ + x2- ｍ= (x +x)-2 –ｍ ..

∴

..

例5：设ｎ为正整数，求证

11?3 + 11?5 + …… +1(2n?1)(2n?1)＜ 12

证：左边=

11112（1 - 3 + 3 - 5 + …… + 12n?1 - 12n?1） =

12（1- 12n?1 ） ∵n为正整数，∴

12n?1 ＜ 1

∴1-

12n?1 ＜ 1 故左边＜ 12

[小结归纳]

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1、部分分式的通用公式：

1111 = （ - ）

x(x?k)kxx?k2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表

示，从而给解题带来方便。

3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。

[巩固练习]

1、若分式

2m?2的值是正整数， 则整数m= 。

m2?12、若

a2?a3?a4a1?a3?a4a1?a2?a3a1?a2?a4 = = = =ｋ

a1a2a3a4..

..

则k= 。

3、已知a-3b = 2ab .(a＞0，b＞0),则

22a?2ba?b = .

4、已知a、b、c是有理数，且

ab1bc1ca1abc=， = ，= ，则= 。 a?b3b?c4c?a5ab?bc?ca5、若

?x?xy?y11 - = 2006，则= 。

2x?6019xy?2yyx6、实数a、b满足ab=1，设A =

11ab + ，B= + +1，则A、B的关系 1?a1?b1?a1?b为 。

7、当ａ、ｂ、ｃ为何值时，多项式x?3x?3x?ax?b能被除数x?3x?2整除？

4322..

..

2007200715?21 8、计算 2007 = 。

52007?72007ABCx2?x?39、已知2= + + ， 求A、B、C的值。

X?1X?2X?3(x?3x?2)(x?3)mn8x - = 2均成立，则mn = x?3x?3x?910、若对于?3以外的一切实数X，等式

11、已知

abca?b?c = = ，则 = 。 bcaa?b?c第二讲 分式方程及应用

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1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程； 2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；

3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。

[例题选讲]

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??2x?y?5x?y?18例1． 解方程组???9

??x?y?10y?x??66分析：令

1?2m?5n?18x?y =m, 1x?y =n ,则? ?9m?10n?66?1??可得：?m?6?x???2??n?6 易求：?5??y??1

3例2． 解方程

4x?67x?5x?84x?30x?2?x?1?x?6?x?7 解：原方程可化为

11x?2?x?1?1x?7?1x?6 两边分别通分：

?1?(x?2)(x?1)?1(x?7)(x?6) ，易求：ｘ = 4

..

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x?1mx??的解为正数？ 2x?x?2x?1x?2例3． 当ｍ为何值时，关于x的方程

?x?0?1?m?x??1解：解方程可得：x=，需? 可得ｍ＜1 且m≠-3。

x?22?例4． 设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时启动

4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？

解：设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水， 至少同时开动x台机组，则：

?a?30b?2?30y?a?30ya?5b?a?10b?4?10y?7 可得 X≥ ??5y?b?y?a?5b?5xy?例5． 求证对任意自然数n，有1?111＜2 ????22223n..

..

证明：当n=1时，1＜2显然成立。 当ｎ＞1时，ｎ（ｎ-1）＜ｎ

2所以

1111??＜ 2n(n?1)n?1nn故：1?11111111＜????1?(1?)?(?)???(?)

223n?1n2232n22?1＜2 n[点评归纳]

1、 当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化； 2、 假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。 3、 解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。

[巩固练习]

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1、某同学用一架不等臂天平称药品， 第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（ ）

A、等于100g B、大于100g C、小于100g D、都有可能

2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时， 再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完， 已知单独用小抽水机所用时间是大抽

水机单独抽水所需时间的11倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？ 2x3?7x2?x?302x3?11x2?36x?453、解方程 =

x2?x?132x2?7x?204、解方程

11112??????

x?10(x?1)(x?2)(x?2）（x?3)(x?9)(x?10)55、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均价格比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后

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的单价。

m2?n26、自然数m、n是两个不同质数，且m+n+mn的最小值为P，则= 2p7、已知f(x)?2x?7x?m有因式2x?3，则ｍ= 328、求

y?1的最大值。 2x?x?1第三讲 一元二次方程的解法

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1、 一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。 2、 对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。 3、 含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。 4、 设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。

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[例题选讲]

x2?x?1x2?113??例1． 解方程 22x?1x?x?116x2?x?111323?yy?解：令，则 =,解得， y?y?122y16x?132?3?15x2?x?12x2?x?13x?1,x,???即或，解得 123232x2?1x2?1例2． 解方程

3x2?5x?8 - 3x2?5x?1 =1

解：∵（

3x2?5x?8 + 3x2?5x?1 ）（3x2?5x?8 -3x2?5x?1 ）=7

∴

3x2?5x?8 + 3x2?5x?1 =7①

又

3x2?5x?8 -3x2?5x?1 =1②

..

..

①+②：

3x2?5x?8 =4

易知：X82=1 X2=

3 例3：已知m是方程X2 -2007X+1=0的一个不为O的根

求 ｍ2 -2006m+

2007m2?1的值

解：∵ｍ为方程的非零根，∴ｍ2 -2007ｍ+1=0

可得ｍ2 =2007ｍ-1，ｍ+

12m=2007，ｍ+1=2007ｍ 原式=2007ｍ-1-2006ｍ+

20072007m=ｍ+1m-1=2007-1=2006

例4、设ａ、ｂ为实数，那么a2+ab+b2-ａ- 2b的最小值为多少？解：原式：=a2+（b-1）a+（b2-2b）

=(a+

b?1232） +4(b-1）2-1 ..

..

当a=o b=1时，最小值为-1

例5：解方程ｍ（x-x+1）-ｍ（x-1）=（ｍ-1）ｘ

解：原方程整理为：ｍ（ｍ-1）ｘ-（2ｍ-1）ｘ+ｍ（ｍ+1）=0 222222[ｍｘ-（m + 1）[（ｍ-1）ｘ-ｍ]=0 ｍx=ｍ+1 或（ｍ-1）ｘ=ｍ

1） 当ｍ≠0，ｍ≠1时，x1=m?1m，x2=mm?1 2） ｍ=0，ｘ= 0 3） ｍ=1时ｘ=2

例6：方程（2007ｘ）2

-2006×2008X-1=0的较大根为ｍ， 方程2006x2-2007X+1=0的较小根为ｎ,求ｎ-ｍ的值 解:方程①可化为(20072X+1)(X-1)=0

X=-

120072 X2=1 ∵ X2＞X1 ∴m=1 方程②可化为(2006X-1`)(X-1)=0

..

..

X1 =-

11 X2=1 ∵X1 ＜X2∴ｎ= 2006200612005-1=- 20062006n - m =

[点评归纳]

1、 有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。

2、 含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式构造两个无理

式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。

3、 一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。

[巩固练习]

1、 解方程：2x+

223-3X-= xx2X?5X?4?12、解方程：

X?7X?3?2+=

..

..

3、解方程：x-|2X-1|-4=

4、三个二次方程a x+bx+c=0，b x+ｃｘ+ａ=0，c x+ａｘ+ｂ=0 有公共根，求证ａ+ｂ+ｃ=0

22225、 已知a、b、c均为实数，且满足

2a2?2a?1+|ｂ+1|+(ｃ+2)2=0

试求方程a x+ｃｘ-ｂ=0的解

6、 求证方程（ａ-ｂ）x+（ｂ-ｃ）x +ｃ-ａ=0（a≠b）有一个根为1。

22227、设方程x+px+q=的两根为X1、X2，且I1 =x1 + X2 I2=x1+x2……

In = x1+ x2则当n≥3时，求In +PIn-1+qI n-2+的值。

8、证明：不论X为何实数，多项式2x- 4 x- 1的值总大于x-2x-4的值。

4

2

4

2

nn9、已知a-4a+b-

22b652+=0，则a-4b= 2162

10、已知m、n为有理数，方程x+mx+n=0有一个根为5-2，求m+n的值。

..

..

11、已知ｍ=ｍ+5，ｎ=ｎ+5，ｍ≠ｎ，求ｍ+ ｎ的值.

12、二次方程a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1）= 13、解关于x的方程（ｍ-1）x+ 2ｍx+ｍ+3=0

2

2255

第四讲 根的判别式及根与系数的关系

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１、设一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根为X1、 X2，则ax+bx+c = a（X- X1）（X- X2）= ax-ａ（X1+ X2）X+ａX1X2

222∴ X1+ X2= -

bc X1 X2= 这两个式子即为一元二次方程 aa根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑ａ≠0 、 △≥0这两个前提条件。

2、 一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作△=b-4ac，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，它是解决一元二次方程整

数解的工具。 3、 使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与方法。

2[例题选讲]

例1：已知一直角三角形三边分别为a、b、c，∠B=90°，那么关于X的方程a（X-1）-2CX+b（X+1）=0的根的情况如何？

..

22..

解：方程整理为：（a+b）X2-2CX+b-a=0 △ =4（C2+ a2-b2）

∵ ∠B=90° ∴C2+ a2= b2 ∵△=0 ，原方程有两个相等实根

例2：求所有正实数a，使得方程X2-aX+4a=0仅有正整数根。解：设方程的两个正整数根为X，y（X≤y）则 ??x?y?a?xy?4aXｙ-4（ｘ+ｙ）=0 （ｘ-4）（ｙ-4）=16

??x?4?44?4 这时x=y=8 a=ｘ+ｙ=16 ?y???x?4?2 这时 ?x?6?y?4?8? a=ｘ+ｙ=18 ?y?12..

..

?x?4?1?x?5 这时? a=ｘ+ｙ=25 ?y?4?16y?20??例3：已知12＜ｍ＜60，且一元二次方程X-2（ｍ+1）ｘ+ｍ=0，两个整数根，求整数ｍ，并求这两个整数根。

22∵X=ｍ+1±

2m?1为整数 ∴2ｍ+1必为完全平方数

∵＜12 ｍ＜60，∴25＜2ｍ+1＜121 ∵2ｍ+1为奇数 ∴2ｍ+1=49或2ｍ+1=81 则 ｍ1=24时，X1=32，X2=18 ｍ2=40时，X1=50，X2=32

例4：设a、b、c是互不相等的非零实数，求证三个方程，aX+2bx+c=0 bX+2cx+a=0 C X+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根。 证明（一）：假设三个方程都有两个相等的实数根。 （1）+（2）+（3）：2a+2b+2c-2ab-2bc-2ca=0 (ａ-ｂ)+(ｂ-ｃ)+(ｃ-ａ)=0

..

222222222..

有 ａ=ｂ=ｃ,这与已知条件矛盾 所以三个方程不可能都有两个相等的实数根.

证明（二）:△2

2

2

1+△2+△3=2[(ａ+ｂ)+(ｂ-ｃ)+(ｃ-ａ)] ∵a、b、c为全相等 ∴ △1+△2+△3＞0 ∴△1+△2+△3中至少有一个大于0

即至少有一个方程有两个不相等的实数根。 例5：已知?、?是方程X2-7X+8=0的两根，且?＞?

不解方程，利用根与系数的关系求

2? + 3?2

的值。 分析：由?+B=7 2?=8直接求

2?+3B2的值无法下手,这时,我们常用对偶式22

?+3?来构造和差求解: ∵?+?=7 2∴? 2

+?2

=（?+?）2-2??=72-2х8=33 （?-?）2

=（?+?）2

-4??=72-4х

8=17

..

?=8

..

又∵?＞ ? ∴?-?= 17

令M=

2222

+3?,构造M的对偶式N=+3?

??∴M+N=(

2322 2

+ ) +3(?+ B)=100 ①

?4? M-N=(

228522

-) +3(?-?)=- 17 ②

4??(①+ ②)÷2得 M=

403?8517

8[点评归纳]

1运用一元二次方程根的判别式时，常与配方法结合使用，这时应考虑非负数的性质。

4、 运用根与系数的关系求整数解时，因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。 5、 利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧，应灵活运用。

..

..

[巩固练习]

1、 方程X+PX+q=0的两个根都是正整数，且P+q=1996，试问方程较大根与较小根之比为多少？

2、已知一元二次方程a X+bx+c=0（ac≠0）有两个异号实根ｍ和ｎ，且ｍ＜|ｍ|，那么二次方程C X+（ｍ-ｎ）ax-a=0的根的情况是（ ） 222A、没有实根 B、两根同正 C、两根同负 D、两根异号

3、关于X的二次方程2 X2-5X-a=0的两根之比，X1 ：X2=2:3 则X1 -X2=

4、 若方程X2-4（ｍ-1）X+3ｍ2-２ｍ＋4K＝0，对于任意有理数ｍ都有有理根，求实数K的值。 5、求方程ｘ＋ｙ＝X2－ｘｙ＋ｙ2+１的实数解。

6、若对于任何实数a，关于X的方程，X2-2ax-a+2b=0都有实根则实数b的取值范围是（ ） 7、若ｍ是不为0的整数，当二次方程ｍX2-（ｍ-1）X+1=0有有理根时，则ｍ=（ ） ８、方程| X2-5X|=ａ有且只有相异二实根，求a的取值范围

9、关于X的方程ａX2+2（ａ-3）ｘ+（ａ-2）至少有一个整数解且a是整数，求a的值。

..

..

10、已知X22x1、X2是关于X的方程4 X-（3ｍ-5）ｘ-6ｍ＝0的两个实根，且|1x|= 3试求ｍ的值. 2211、设方程4X2-2X-3=0的两个根为ｍ、ｎ，求4ｍ2＋２ｎ的值. 12、若ａ、ｂ、ｃ都是实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，abc=1则

ａ、ｂ、ｃ中必有一个大于

32 . 13、设a2+2a-1=0 b4

-2b2

-1=0 且ab2

≠1则（ab2?b2?12007

a）=

14、已知ａ、ｂ为整数，且ａ＞ｂ，方程3 X2+3（ａ+ｂ）X+4ａｂ=0的两根?、?满足关系式?（?+1）+?（?+1）=（?+1）（所有的整数对（a、b）

15、关于X的方程，X2+（a-6）X+ａ=0 的两根均为整数，求a. 16、已知X21、 X2是方程4aX-4ax+ａ+4=0的两个实根 （1）是否能适当选取a的值，使是（X51-2X2）（X2-2X1）的值为

4？ x22（2）求使2xx+1x=的值为整数的整数a的值．

1217、求证：对于任意一矩形A，总存在矩形B，使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数K（其中K≥1）

..

?+1），试求..

第五讲：一元二次方程的应用

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1、 一元二次方程的应用问题，诸如：数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一元二次方程的有关知识，是各类考试与竞赛

的重要考点，须认真领会。

2、 形如AX+Bxy+cy+DX+Ey+F的各项式叫做关于X、y的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘法、待定前数法、公式法等。公式法是先

将原式整理成关于X（或y）的二次三项式，再运用求根公式。

3、 非一次不定方程主要掌握两种情况：二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；分式不定方程，采用整数离析法求整数解。 4、 可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像X+

的两个根。无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来解。

22111=ａ+这类特殊类型的方程，显然ａ? 1时，X1=ａ与X2=就是它xaa[例题选讲]

例1：m为何值时，二次三项式x+2x-2+m(x-2x+1)是完全平方式？

..

22

..

解：原式=（ｍ＋１）X2＋２（１－ｍ）ｘ＋（ｍ—２）

令 △=0，即4(1-ｍ)2-4(ｍ＋１)（ｍ－２）＝０

解得ｍ=3

例2：分解因式X2＋xy-2y2-ｘ＋７y-6

解：∵X2＋xy-2y2=（ｘ－ｙ）（ｘ＋2y）

∴设原式=（ｘ－ｙ＋ｍ）（ｘ＋2y＋ｎ）

＝X2＋xy-2y2=（ｍ＋ｎ）ｘ＋（２ｍ－ｎ）ｙ＋ｍｎ?m?m??1 比较对应项系数??2m?n?7 ?m?2???mn??6?m??3

∴原式＝（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋２ｙ－３）

..

..

例3：在矩形地ABCD中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？

解：设道路宽X，AB=ａ，AD=ｂ，（ａ＞ｂ），则

（ａ-2X）（ｂ-2X）=

12

ａｂ，8x -4（ａ＋ｂ）ｘ＋ab=0 2解得ｘ＝

122［（ａ＋ｂ）±a?b］ 4若ｘ＝

11b22［（ａ＋ｂ）＋a?b］，则ｘ＞（ｂ＋ｂ＋2ｂ）＞ 442 这不可能，舍去这个根。

则ｘ＝

122［（ａ＋ｂ）－a?b］ 4量法是：用绳量出AB+BC（即ａ＋ｂ之长），从中减法BD（即

a2?b2）；将剩下的绳长对折两次即得到道路宽度X。

例4：ｍ为何值时，关于X的分式方程

x?1x?m++2=0只有一个根？ x?1x?m解：原方程整理为2x-（1-ｍ）ｘ＝０

..

2

..

（１） 当△=(1-ｍ)=0时,ｍ=1,方程有两个等根ｘ＝０经验符合题意 （２） 当ｍ≠1时,X1=0 X2=

2

m?1有一个为增根 2代入公分母(X+1)(X-ｍ)中可得ｍ=0 式ｍ=-1 所以ｍ=-1或ｍ=0或ｍ=1时，原方程只有一个实根。

例5：解方程4x=

127?x4

解：令ｙ=4x 则ｙ=

122 · y-7ｙ+12=0 y1= 3 y2=4 7?y 代入y=4x得： x1= 81 x2=256

例6：xy表示一个十位数字为X，个位数字为y的两位整数，且x1 y满足条件X- y=5X，则此两位整数是多少？

22解：由X- y=5X得y=x（ｘ-5） ∵ ｘ、ｙ均为整数，∴５?222x?9

..

..

经验证，只有当ｘ=５时，ｙ=0，两位数为50

ｘ=9时，ｙ=6，两位数为96

例7：方程X+PX+ｑ=0的两根均为正整数，且ｐ+ｑ=28，求方程的两根。 解：设X+PX+ｑ=0的两根为x1,x2.则ｘ1 +ｘ2 =-P ｘ1 +ｘ2 =q 代入ｐ＋ｑ=28中（ｘ1 -1）（ｘ2 -1）=29

22由??x1?1?1 得

x?1?29?22

?x1?2?x1?1?29?x1?30 由 得所以原方程两根为2、30 ???x?1?2x?2x?30?2?2?2例8：求方程2xy－2x＋3x-5y+11=0的整数解。

2x2?3x?11解：原方程可化为ｙ＝

2x?5∴ｙ＝ｘ＋１－

66 （１）∵ｙ为整数 ∴必为整数

2x?52x?5 又∵2x-5为奇数, ∴2x-5为6的奇数约数,即2x-5=±1、±3代入（1）：ｙ＝４，９，－２，３∴?..

?x?1,2,3,4

?y?4,9,?2,3..

例9：某商店将进货值每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品售价每提1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品售价直降低1元，则日销量就增加10个，为了获得最大的利润，作为商店经理应把此商品售价定为每个多少元？

解：设此商品每个售价为X元，每日利润为y元。

(1)当X ≥18时，ｙ＝［60-5（ｘ-18）］（ｘ-10）=-5(ｘ-20)+`500 即商品售价每个20元时,每日最大利润为500元.

(2)当X≤ 18时，ｙ＝［60+10（18-ｘ）］（ｘ-10）=-10(ｘ-17)+490 即商品售价每个17元时,每日最在利润为490元。 综上所述，该商品应定价为每个20元，使每日利润最大。

22

[点评归纳]

1、 应用一元二次方程解决实际问题时，应注意ａ≠0及判别式△的取值情况。

2、 利用一元二次方程建立数学模型时，配方法常用来求最值，求根公式法虽然运算量较大，但在求整数解、有理根时常用，仍不失为一种行之

有效的好方法。

3、 待定系数法、换元法、因式分解法、整数离析法等方法渗透在一元二次方程的应用问题中，要区分它们的适用范围与条件，灵活运用。

[巩固练习]

1、 分解因式2X-5xy-3y+ｘ＋11y-6

..

22..

2、 在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB和BC的比例中项，求AC的长。当K为何值时，二次三项式X-25-K（X+5）是关于X的完全平方

式。 4、甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时相遇。一天乙地的船因故晚发了40分，结果两船在11时15分相遇，乙知甲地开出的船在静水中的速度为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度V千米/时的平方，求V.

2 5、若正数X的整数部分的平方等于X与它小数部分的积，则X-

1= x6、关X的方程（X+

2x?aa25axx?2）-5X-=-6有两个根相等,求a.若方程++ =0只有一个实数根，求a的值及原方程的根。

x(x?2)xxx?2x（ａ=-

71时，X=；ａ=-4时，ｘ=1 ａ=-8时，ｘ=-1 222

7、 关于X的方程X+KX+4-K=0有2个整数根，求K的值. 8、 求方程X+xy+ y-3x-3y+3=0的整数解。

10、求ｍ为何整数时，二次三项式ｍ＋2ｍ-1的值可以分解为两个连续整数之积。

2

2

2

11.求方程

111＋＝的正整数解． xy2..

..

第六讲 与圆有关的位置关系

[知识点击]

1、 垂径定理是圆的轴对称性的产物，在证明线段相等，弧相等，角相等几方面及圆中的有关计算问题，应用极为广泛，类似于直角三角形中的勾股

定理般重要，应熟练掌握。

2、 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系分别由点与圆心的距离，圆心与直线的距离，圆心距与圆的半径之间的数量关系确定。

3、 三角形的“四心”：重心——三条中线的交点，各条中线被重心分面2:1两部分；外心——三边中垂线的交点，外接圆的圆心，垂心——三条高

的交点；内心——内角平分线的交点，内切圆的圆心。

4、 四点共圆：若四边形ABCD的一组对角互补，则A、B、C、D四点共圆。

5、 相交弦定理，切割线定理与相似的三角形结合使用是解决和圆有关的比例线段的重要途径。

[例题选讲]

例1：△ABC中，∠A=72°，⊙O截△ABC的三条边所得的三条弦都相等，求∠BOC 解：过O作三条相等弦的弦心距OD、DE、OF，则

D

OD?OE??? Rt△BDO≌Rt△BEO ? ∠OBD=∠OBE=X

OB?OB?F

E

同理∠OCE=∠OCF=ｙ 2X+2y+∠A=180° ｘ+ｙ=54°∠BOC＝180°-(ｘ+ｙ)=126°

..

..

例2、四边形AB（1）内接于⊙O，AC⊥BD，垂是为E， BAD：BCD=3:1 DF交AC于点G，且AF·AB=AG ·AE，BE=2，ED=3

（１） 求证△AFG≌△DFB （２） 求四边形ABCD的面积。

解（1） AF·AB=AG·AE

G

?△AFG≌△DFB（ASA） ?（2）?DR?CG?1??BDC??1??2??2??BDC????PGE??DCE?CE?EG?

??设CE?a??DE?DE??ａ（ａ+5）=2X3? ａ=1 ?ｓ=

5(5X1?2)35=

22例3、等腰△ABC中，AB=AC，BC=4，内切圆半径为1，求腰长 解：设AB、AC、BC分别切O0于F、E、D

连OF、AD 令AF=X

..

..

∵AB=AC ∴BF=BD=

1BC=2 2Rt△AOF中，AO=

x2?1

Rt△ABD中，AB= AD+ BD 即(ｘ+2)=

2222

x2?1+1)2+22

解得 ｘ=

4410, AB=AC=+2= 33325 5例4：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，O1A=35 O2A=5 COS∠AO1O2=

求Sin∠BAO2的值。

解：AB⊥O1O2 O1C= O1A COS∠A O1O2=35×

25=6 5AC=

O2A2?O1C2=3 ?AB?6

D

..

..

延长AO2交 ⊙O2于D，AD=10，AB=6?BD?8

Sin∠BAO2=

84= 105AB·PB-AC·PC=AB·PC-AC·PB

例5：PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PC满足且AP⊥PC，∠PAB=2∠BPC求∠ACB 解：AB·PB-AC·PC=AB·PC-AC·PB

?A、B、C三点共⊙P 令?PAB??,则

∠PAB=180°-4? 又 PA=PB ∠APB=2? ∠

B

?APB?2?.．?BPC?90?-2?,

PAB=

180??2? =90°-? 2?180°-4?=90°-???=30°

例6、AB为⊙O直径，PB切⊙O于点B、PA交⊙O于点C，∠APB的平分线分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，线段AE、BD的长是一

2

元二次方程X-KX+23=0（K为常数）的两个根。

（１） 求证PA·BD=PB·AE （２） 求证⊙O的直径为常数K

..

..

（３） 求tan∠FPA

证：（1）易证△PAE∽△PBD 从而PA·BD=PB·AE

（2）易证∠BED=∠BDE 则BD=BE 又AE+BD=K 则AE+BE=AB=K

D

（3）∠A=60° AB⊥PB 则BP=3 k

AEBE=

APBP=

23 则AE=

23BE

AE+BE=K

23BE+BE=K 则BE=

3K2?3

tan∠FPA= tan∠EPB=

BE3K= =2-3 BP2?33K[点评归纳]

1、 弦心距和半径是圆中常用的辅助线，因为应用垂径定理和直角三角形的知识在解决弦的有关问题时常常用到。

2、 三角函数值在圆中的计算常常用到，这时我们通常需要构造直角三角形或用直角三角形中与之相等的角替换，使已知的三角函数值可用或可求。

..

..

3、 有公共端点的几条线段相等时，常构造圆使问题迎刃而解。

[巩固练习]

1、 以线段AB为直径的一个半圆，圆心为O，C是半圆周上一点，且OC=AC·BC， 则∠CAB=

2、⊙O的半径OA=6cm，点C是弦AB上一点，OC⊥OA且 OC=BC 当AB的长.

3、平面上不共线的四点，可以确 个圆。

2

4、已知ABC=

1∠ABC，则 ABC= 25、三角形一边为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，这个三角形面积为

6、⊙O半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上两点， A C的度数为96°，B D的度数为36°，动点P在AB 上运动，则CP+PD的最小值为

..

..

7、A、B、C为⊙O上的三点，若∠ABO=50°，则∠BCA= 第7题 第8题

8、△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=43， 则⊙O的直径为

9、AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，弦CE交AB于D， 求证：AB=2CD·CE

10、 AB为半圆的直径，AD⊥AB，点C为半圆上一点， CD⊥AD，若CD=2，AD=3，求AB的长。

11、 AB切⊙O于D，AO延长线交⊙O于C，BC 切⊙O于C，若AD：AB=1:2 则AO:OC= 12、 半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上， 且其余三连BC、CD、DA部分⊙O相切，若

2

..

..

BC=2，DA=3，则AB=

13、⊙O⊥OB，⊙O与BO相切于E，与AB内切于 F，与以OA为直径的半圆外切于点G，若OA=a， 求⊙D的半径。

14、已知ａ、ｂ为两个不等圆的半径（ａ＞ｂ），C是两圆的ｂ=C（ｂ+ａ）的根的情况为

15、⊙O中，半径ｒ=5cm，AB、CD是两条平行弦，且AB=8cm，

CD=6cm求AC的长。

2

圆心距，若两圆内含，则关于ｘ的方程X-2ａX+

2

16、设A1B1、A2B2、A3B3是⊙O中处于圆心同侧的三条平行弦，且A1B1与A2B2的距离等于A2B2与A3B3的距离，三条弦的长度分别为20、16、8，求这个圆的半径。

17、平面内有任三点不共线的2007个点，那么是否可作出一个圆，使得圆内、圆外分别有1003个点，还有一个点在圆上？

第七讲 圆中的有关计算

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1、 圆中有关线段的计算主要依据是：垂径定理，勾股定理。

2、 圆中有关角度的计算主要借助圆心角、圆周角的关系，常常还利用相似三角形及三角函数来帮忙。

..

..

n?r23、 圆弧长L=

180n?r2 ，扇形S=

360 =

1?r2 24、 不规则图形的面积的求解关键是设法将它分解为 可求图形面积的和差问题。

[例题选讲]

例1． 正△ABC的边长为4，、AD是⊙O的 直径，求阴影部分的面积。

解：连DE、EF、OF，易求EF=AE=AF=3，AD=23，

AO=OD=3，S弓形AE = S弓形EDF

S阴=S△ABC- S△AEF+ S弓形AF= 43-

93+（S扇形AOF- S△AOF） 4=

733+（?-443）=?+3

..

..

例2、AB是⊙O的直径,CD切⊙O于M,BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O 于E，⊙O半径为1cm，∠A=60°，求阴影部分的面积。 分析：连OE、OM、BE，作EF⊥AB于F。

（１） 先求△AOE的面积，S△AOE =

oA?EF2=34 （２） 再求扇形OBME的面积，S扇

形

（３） 后求梯形BCDA的面积：S梯形BCDA=

(BC?AD)CD2=OM·BE=3

（４） 可求：S93?4?阴= S梯 – S扇 - S△=

12cm2

例3、四边形ABCD中，AB=AC=AD=ａ，DC=b，AD∥BC，求BD 解：以A为圆心，a为半径作⊙A 延长DA交⊙A于E，连BE，∠DBE=90° 由BC∥ED有 B E = C D CD=BE=b ..

120OBME

=

360??oE2=?3

..

Rt△EBD中，BD=

ED2?BE2=4a2?b2

例4：正方形ABCD中，以A为圆心，边长为半径的圆孤BD，半径为r的⊙O与AB、AD、BD，切于F、G、E，求CE的长. 解：连接AC、OF，设CE=X BC=ａ 则OA=ａ－ｒ，ＡＣ＝ａ＋ｘ

OAAC＝OFBC 则 a?rra?x＝a Ｘ＝

a(a?2r)r AF2

=AH·AE AH=ａ－2r r2

=a（ａ-2r）

∴Ｘ＝a(a?2r)r2r＝r＝ｒ

例5、四边形 ABCD外接圆O，半径为2，对角线AC与 BD的交点为的面积.

..

E，AE=EC，AB=2AE，BD=23,求四边形ABCD

..

解：连AO交BD于H，AB=2AE=AE·AC

2

2

即：

ABAE= 又∠EAB=∠BAC ACAB?S四边形ABCD =2S△ABD =23 [点评归纳]

1、 圆中的有关计算一般要结合使用相似三角形、勾股定理、全等三角形、垂径定理等，需仔细分析，选取合适的途径。

2、 不规则图形的面积转化为规则图形面积的求解割补方法很多，需根据题设具体确定，有时还需借助平移、旋转、翻折去处理。

[巩固练习]

1、 半⊙O半径为ｒ；CO⊥AB于O，AB为⊙O的直径，

⊙O1的圆心在OC上，且⊙O1切AB于O，OO1 =

r，⊙O2 4与⊙O1外切，与⊙O内切，又切AB于D，求⊙O2的周长。 2、 C为半圆⊙O直径AB上一点，分别以AC、CB为直径 画半圆⊙O1、⊙O2，CD⊥AB于D,求证：图中阴影部分的

..

..

面积等于以CD为直径的圆的面积。

3、菱形周长为20cm，有一角为60°，若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，所成的旋转体的表面积为 cm 4、在⊙O中引弦AB，以OA为直径作⊙O1交AB于C求证： 弓形AMB的面积与弓形Anc的面积之比为4:1

5、 已知Rt△ABC三边长分别为a、b、c,∠C=90° 内切圆0半

i. ii. iii.

径为ｒ，切斜边AB于D

2

1（ａ+ｂ-ｃ） 21求证：Ｓ△ABC=ｒ（ａ+ｂ+ｃ）

2求证：ｒ=

求证：Ｓ△ABC=AD·DB

第6题

6、 在一块边长为40cm的正方形铁皮上裁下一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆维模型，请设计三种不同的方案，并求出铁皮利用率最高时圆

维模型的底面圆半径。

7、 若P为⊙O内一定点，过P作一弦AC，分别过A、C 引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q、R，

试说明：

11+为定值。 PQPR1

8、 等边三角形边长为5，其外接圆为⊙O，对折使A落在A处，求折线在△ABC内部的长度DE

..

..

9、 在一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动，则圆在正六连形内不能达到的部分的面积为 10、 A是半径为1的⊙O外一点，OA=2，AB是⊙O的切 线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分面积。

第八讲 全等三角形

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1、 全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为1），指能够完全重合的三角形。

2、 识别三角形全等的方法主要有SSS、SAS、ASA、AAS，对于直角三角形还有特定的识别法HL 3、 多边形问题往往转化为三角形问题求得，因此三角形全等的识别已成为解决数学问题基本工具。

例题选评

例1：点D是△ABC上一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD， AE是△ABD的中线，试证：AC=2AE 证明：延长AE至使EF=AE，连DF

例2：已知BC＞AB，BD平分∠ABC，AD=DC，求证∠A+∠证明：在BC上截取BE=BA，连接DE

..

C=180°

..

例3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，P为 BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，求证DE=DF且DE⊥DF。 分析：连AD，要证△DBE≌△DAF即可先证△EAD≌△FCD 例4、给定正方形ABCD，在边AB及对角线AC上 分别取点P和Q，使得AP：PB=3:2，AQ：QC=4:1， 求△PQD各内角。

解：把正方形ABCD分割成25全相等的小正方

形，设正方形ABCD连长为a，DE=QF=

45a EQ=PF=

15a ∠DEQ=∠QFP=90° Rt△DEQ≌Rt△QFP 则 DQ=PQ

∠DQP=180°-（∠DQE+∠PQF）=180°-90°=90° ∠P=∠PDQ=45°

..

..

[点评归纳]

1、 通过连接、延长、作垂线、作平行线等常规添辅助线的方法，构造全等三角形。

2、 分析法：要证证个三角形全等，已具备哪些条件，尚缺什么条件，缺少的条件，放置在另一对一角形中，是否有条件证这一对三角形全等,从而使

第一次证全等为第二次证全等准备条件，这是多次证全等解题时的思考习惯。

3、 图形变换的主要方式：平移、旋转、翻折。其具体表现有倍长、中线，截长补短等，其目的主要使分散的条件或研究对象集中起来。

[巩固练习]

1、 边长为1的正方形ABCD的边AB、AD上各有一 点P、Q，且△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。 2、 正方形ABCD的CD边上一点P，使AP=PC+CB。 M为CD的中点，求证∠BAP=2∠MAD。

3、 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD平分∠ABC 交AC于D，AE⊥BD交BD延长线于E，试证BD=AE。

P

第1题

4、A、B两点坐标分别为（X1 0），（X2 0）其中X1、X2 是方程X+2X+ｍ-3=0的两根，且X1＜0＜X2 （1）求ｍ的取值范围。

第2题

（2）设点C在y轴正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求M的值

..

2

..

（3）在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求直线AD的解析式

5、正方形ABCD，点P距D10cm，向A直线前进到达点A后，左拐90°继续直线前进，走同样的长度后到P1，我们称点P完成了一次关于点A的左转弯运动，接着从P1出发关于点B作左转弯运动到达P2，然后依次关于C、D、A、B……连续作左转弯运动，试问：作2007次左转弯运动后，到达点Q，则Q距出发点P有多少厘米。

6、四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD上一点,AE、BE分别为∠BAD，∠ABC的平分线，求证：AD+BC=AB 7、△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求∠B。 8、 AD为△ABC的角平分线，AB＞AC， 求证∠C＞＜B。

9、△ABC中,AB=AC,CD＞BD,求证∠ADB＞∠ADC

第9题

10、△ABC中，M为BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 若AB=14，AC=19，求MN。

11、 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E是

第10题

AB上两点，AD=2，BE=3 ∠DCE=45°，求DE的长。

..

..

第十二讲 数学基本思想方法

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1、 常见的数学思想有：分类思想、整体思想、数形结合思想、转化与化归思想、代换思想、方程思想、函数思想等。 2、 基本的数学方法有：等积法、构造法、换元法、截长补短法、倍长中线法、待定系数法、配方法、特殊化法、参数法等。

[例题选讲]

例1（整体思想）大矩形被分割成四个小矩形，其中三个小矩形面积如图中数据的示，求第四个小矩形的面积。 解：设AE、DE、DH、HC长分别为线X、y、ｍ、ｎ 有xm=10 xn=6 ny=12，三式相乘（xn）my=720

2

my＝

720=20 即第四个小矩形面积为20 36例2(代换思想)计算199?9+99?9×99?9 ?????????n个n个n个解: 99?9 =ａ,则原式=10+ａ＋a=a(a+1)+10 ???n

2

n

n个=a×10+10=10(a+1)= 10

..

nnn2n

..

例3(分类思想)由等腰△ABC的点A引BC边的高AD恰好解:分BC为底边和腰两种情况分别求解

(1) 当BC为底边时,AB=AC BD=DC=AD 易求∠B= ∠C=45° 则∠BAC=90°

(2) 当BC为腰时,又有△ABC为锐角、钝角、直角、三角形三类

等于BC的一半,求∠BAC。

①△ABC为锐角三角形时，BC=BA AD=

1AB 2D

∠B=30° 则∠BAC=

180??30?=75°

211BC=AB 22180?150=15° 2②△ABC为钝角三角形时，BC=BA，AD=

有∠ABD=30°则∠ABC=150°，那么∠BAC=

③△ABC为直角三角形，不合题意。 综上所述，∠BAC为90°、75°、15°

..

..

例4（数形结合）计算

12+14+1111118+16+32+64+128+256 解：直接通分将非常困难，构造面积为1的正方形， 使问题迎刃而解（如图所示）

原式=1-

1255256=256 例5（函数思想）已知方程（X-2）（X-3）=1， 不解方程证明该方程总有两个不相等的实数根， 且一根大于3，另一根小于2。 证明：设ｙ=（X-2）（2-3）-1

ｙ＝X2

-5X+5=（X-

52

52 ）-4 该抛物线开口向上，对称轴X=52，顶点（52，-54）在第四象限，草图如右，显然它与X轴总有两个交点，即方程（X-2）（相等实根

同时X=3时，ｙ=-1＜0 X=2时，ｙ=-1＜0

..

2-3）-1总有两个不

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