O01--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析（辽宁卷）

2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学 编辑： 何国杰

共享你我的资源，大家把自己拥有的完全解析传上来。我所编辑的广东、辽宁卷希望能起到抛砖引玉的作用，广东卷还没有发布标准答案，当中若有不当之处请不吝赐教，联系：heguoje@126.com

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R2 如果事件A、B相互独立，那么

P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k V球?4?R3

3k 次的概率Pn(k)?Cn其中R表示球的半径 Pk(1?P)n?k

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

（１）数z??1?i1?i （Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 【答案】B

?1?ii(1?i)?1??1??1?i 【解答】∵z?1?i1?i∴z所对应的点在第二象限．故选B．

【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．

?1．在复平面内，z所对应的点在 （ ）

（Ｄ）第四象限

（２）极限limf(x)存在是函数f(x)在点x?x0处连续的 （ ）

x?x0（Ａ）充分而不必要的条件 （Ｂ）必要而不充分的条件

（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要的条件 【答案】B

【解答】∵极限limf(x)存在且limf(x)?f(x0)，则函数f(x)在点x?x0处连续的，

x?x0x?x0

∴极限limf(x)存在是函数f(x)在点x?x0处连续的必要而不充分的条件，故选B．

x?x0【点拨】准确理解函数连续性的概念及判断方法很重要．

（３）设袋中有80个红球，20个白球．若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为

64C80?C10（Ａ）

10C10064C80?C10（Ｂ）

10C10064C80?C20（Ｃ）

10C10064C80?C20（Ｄ）

10C100【答案】D

1064?C20【解答】从袋中任取10个球有C100种，其中恰有6个红球有C80种，故选D．

【点拨】分析如何完成取球任务，再利用组合计算．

（４）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题： ①若m??，m??，则?//?；

②若???，???，则?//?；

③若m??，n??，m//n，则?//?；

④若m、n是异面直线，m??，m//?，n??，n//?，则?//?，

－ 1 － (2005辽宁)

其中真命题是

（Ａ）①和②

（Ｂ）①和③

（Ｃ）③和④

（Ｄ）①和④

【答案】D

【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以①正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以②错误；因为当?与?相交时，若m、n平行于两平面的交线，则m//n，所以③错误；因为若m、n是异面直线，m??，m//?，n??，n//?，当且仅当?//?，所以④正确．

【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决． （５）函数y?ln(x?

x2?1)的反函数是

ex?e?xex?e?xex?e?xex?e?x（Ａ）y? （Ｂ）y?? （Ｃ）y? （Ｄ）y??

2222x2?1)，得ey?x?x2?1，即ey?x?x2?1，

e2y?1ey?e?y2yy两边平方，化简得e?2xe?1，故x?，即x?，

ye2ex?e?x2∴y?ln(x?x?1)的反函数是y?．

2【答案】C

【解答】由y?ln(x?

【点拨】求反函数设法解出x ．

1?a2（６）若log2a?0，则a的取值范围是

1?a11 （Ａ）(,??) （Ｂ）(1,??) （Ｃ）(,1)

22【答案】C

【解答】法一：代特殊值验证

（Ｄ）(0,)

121?0?a??0?2a?1???22 法二：①当?，即时，无解； 1?a?21?alog2a?0???11?a???1?a1?a??2a?1?1??22 ②当?，即时，?a?1，故选C． 1?a?21?a2log?02a??0??11?a??1?a?【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．

（７）在Ｒ上定义运算?：x?y?x(1?y)．若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，

则

（Ａ）?1?a?1

（Ｂ）0?a?2

（Ｃ）?13?a? 22（Ｄ）?31?a? 22【答案】C

【解答】∵(x?a)?(x?a)?(x?a)(1?x?a)，∴不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，则(x?a)(1?x?a)?1对任意实数x成立，即使x2?x?a2?a?1?0对任意实数x成立，所以

??1?4(?a2?a?1)?0，解得?13?a?，故选C． 22－ 2 － (2005辽宁)

【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．

（８）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，则m的范围是 （Ａ）(1,2) （Ｂ）(2,??) （Ｃ）[3,??) （Ｄ）(3,??) 【答案】B

【解答】∵钝角三角形三内角的度数成等差数列，

∴其中一个角为60o，如图，直角三角形时，m?2， 所以钝角三角形时，有m?2，故选B．

60?【点拨】利用数形结合解题较快捷．

（９）若直线2x?y?c?0按向量a?(1,?1)平移后与圆x2?y2?5相切，则c的值为

（Ａ）８或－２ （Ｂ）６或－４ （Ｃ）４或－６ （Ｄ）２或－８ 【答案】A

?x??x?1?x?x??1【解答】由?，得?，所以2x?y?c?0平移后，得2x??y??3?c?0，其与

??y?y?1y?y?1??|?3?c|圆x2?y2?5相切，即圆心到直线的距离为5，即解得c?8或c??2，故选A． ?5，

5【点拨】熟悉平移公式，直线与圆的位置关系应转化为圆心到直线的距离处理． （10）已知y?f(x)是定义在Ｒ上的单调函数，实数x1?x2，???1，??x1??x2，

1????

【答案】A

【解答】数形结合法：当??0，如图Ａ所示， y 有|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|，当??0时， x2??x1．若|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|，则

1??（Ａ）??0 （Ｂ）??0 （Ｃ）0???1

（Ｄ）??1

y 如图Ｂ所示，有|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|， 故选A．

【点拨】数形结合解决定比分点问题． O

x x O x1??x2图Ａ ?x1x2?图Ｂ （11）已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，则

该双曲线与抛物线y2?4x的交点到原点的距离是

（Ｂ）21

（Ｃ）18?122

（Ｄ）21

（Ａ）23?6 【答案】B 【解答】由e?c?3，由一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，得准线为x??1，所a?x2y2222?1axy??以，得?1，故a?3，c?3，b?6，所以双曲线方程为??1，由?36c362??y?4x3，得

交点为(3,?12)，所以交点到原点的距离是21，故选Ｂ． 【点拨】由已知条件发拨出a、b、c的取值，得到双曲线的方程．

（12）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)

得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是

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y 1 1 1 1 x x x x O 1 O O O 1 1 1 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 【答案】A

【解答】由an?1?f(an)，an?1?an，得f(an)?an，即f(x)?x，故选A ． 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.

y y y 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

（13）(x?2x【答案】－160

12?126的展开式中常数项是______________．

)【解答】通项公式为C?(x)r6126?rr?(?2x)?C6?(?2)r?x3?r，

?12rzD C 3由3?r?0，得r?3，所以常数项是C6?(?2)3??160，

【点拨】熟悉二项式展开式的通项公式．

（14）如图，正方体的棱长为１，Ｃ、Ｄ分别是两条棱的中点，Ａ、 Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD的距离是_____________． 【答案】

A M B y2 3x12【解答】如图建立空间直角坐标系A?xyz，A?(0,0,0)，B?(1,1,0)，D?(0,,1)，M?(0,1,0)，则AB?(1,1,0)，AD?(0,,1)，MB?(1,0,0)设n?(1,x,y)为平面ABCD法向量，则有

12?1?x?0?x??1?1???AB?n?0，即，解得，即n?(1,?1,)，所以点Ｍ到截面ABCD的距离?x?1?2?y?0y?????AD?n?02?2?d?MB?nMB?n?12? ． 331?2【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法．

（15）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４

相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答） ．【答案】576

3?23?48种，再将７、８插入4个空【解答】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有A32?12种，故有48?12?576种． 位中的两个有A4【点拨】相邻用捆绑法，不相邻用插空法

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（16）设S??{?|f(x)?cos[若对每个实数a ，?(x??)]是奇函数}，S?∩(a,a?1)?是正实数，的元素不超过２个，且有a使S?∩(a,a?1)含有２个元素，则?的取值范围是___________． 【答案】(?,2?]

【解答】∵f(x)是奇函数，且x?R，

?∴f(0)?0，∴??，k?Z， ??2?∵S?∩(a,a?1)的元素不超过２个， ∴

k?k????2?(k?1)????2?x(k?2)????2?2???1，∴??2?，

∵且有a使S?∩(a,a?1)含有２个元素， ∴

??1，∴???，∴????2?， ?【点拨】通过数轴得出S?∩(a,a?1)元素个数与两点间距离的关系再求解．

三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题共12分）。

已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点， △ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．

(Ⅰ)证明PC⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角Ｐ－AB－C的平面角的余弦值；

(Ⅲ)若点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ在一个表面积为12π的球面上， 求△ABC的边长． ( 18 )（本小题共12分）

如图，在直径为１的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相 垂直的十字形，其中y?x?0．

(Ⅰ) 将十字形的面积表示为?的函数；

(Ⅱ) ?为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

( 19 )（本小题共12分）

已知函数f(x)?P

A

E F B C

?xyx?3(x??1)．设数列{an}满足a1?1，an?1?f(an)，数列{bn}满足 x?1bn?|an?3|，Sn?b1?b2?…?bn(n?N*)，

(3?1)n2?3(Ⅰ)用数学归纳法证明bn?；(Ⅱ)证明 Sn?．

n?123

（20）（本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ

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x y O

级时，产品为一等品，其余均为二等品．

（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的 加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生 产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；

表一

概 工 率 序 产品 第一工序 0.8 0.75 表二 一等 5(万元) 2.5(万元) 表三 工人(名) 8 2 第二工序 0.85 0.8

甲 乙 利 等 润 级 产品 （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用?、 ?分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ） 的条件下，求?、?的分布列及E?、E?；

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资 金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资 金60万，设x、y分别表示生产甲、乙产品 的数量，在（Ⅱ）的条件下，x、y为何值时

二等 2.5(万元) 1.5(万元) 甲 乙 用 项 量 目 产品 资金(万元) 5 10 z?xE??yE?最大？最大值是多少？

（解答时须给出图示）

（21）（本小题满分14分）

甲 乙 x2y2已知椭圆??1(a?b?0)的左、右焦点分别是

a2b2F1(?c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a， 点Ｐ是线段F1Q与该椭圆的交点，点Ｔ在线段F2Q上，并且

满足PT?TF2?0,|TF2|?0．

（Ⅰ）设x为点Ｐ的横坐标，证明 |F1P|?a?y P Ｑ F1O F2x cx； a（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；

（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△F1MF2的面积S?b2．若存在，求 ∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由． （22）（本小题满分12分）

函数y?f(x)在区间(0,??)内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0．设

x0?(0,??)，y?kx?m是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，并设函数 g(x)?kx?m．

（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m；

（Ⅱ）证明：当x?(0,??)，g(x)?f(x)；

23 （Ⅲ）若关于x的不等式x2?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，

2求b的取值范围及a与b所满足的关系．

－ 6 － (2005辽宁)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学参考答案与评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

(1) B (2) B (3) D (4) D (5) C (6) C (7) C (8) B (9) A (10) A (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

(13) －160 (14)

2 3 (15) 576

(16) (?,2?]

三、解答题

(17)本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考

查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分. P （Ⅰ）证明：连结CF.

?PE?EF?∴AP?PC

11BC?AC， 22A

F E O C

?CF?AB,PF?AB，

∴AB?平面PCF， ?PC?平面PCF， ∴PC?AB

∴PC?平面PAB

（Ⅱ）解法一：

……4分

D

?AB?PF,AB?CF,

∴?PFC为所求二面角的平面角.

设AB=a，则PF?EF?a3,CF?a， 22

……8分

a3∴cos?PFC?2?．

33a2解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ??PAF≌?PAE，∴?PAB≌?PAC.

得PA?PB?PC. 于是O是△ABC的中心. ∴?PFO为所求二面角的平面角.

a13,OF??a. 232OF3∴cos?PFO? ……8分 ?.

PF3设AB=a，则PF?－ 7 － (2005辽宁)

（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R.，

?PC?平面PAB,PA?PB,

∴3x?2R，

?4?R2?12?，

∴R?3，得x?2， ∴?ABC的边长为22.

……12分

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径. 连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R. ?4?R2?12?， ∴PD?23.

?PO?OFtan?PFO?623x，OA??x，

3263266∴(x)?x(23?x),

366于是x?22，

∴?ABC的边长为22. ……12分

18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和

三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.

（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则S?2xy?x

2422（Ⅱ）解法一：S?2sin?cos??cos? 11?sin2??cos2??

2251?sin(2???)? 22其中??arccos25. 5?2sin?cos??cos2?(?????). ……4分

………8分

当sin(2???)?1,即2????所以，当???2时,S最大. ……10分

125arccos时,S最大. 4255?1S的最大值为 ……12分 .

2解法二： 因为S?2sin?cos??cos2?, 所以S??2cos2??2sin2??2sin?cos?

?2cos2??sin2?. ……8分

令S??0，即2cos2??sin2??0,

?1可解得???arctan(?2) ……10分

225?1?1所以，当???arctan(?2)时，S最大，S的最大值为 ……12分 .

222?－ 8 － (2005辽宁)

?19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能

力，满分12分。 （Ⅰ）证明：当x?0时,f(x)?1?2?1. x?1 因为a1=1，所以an?1(n?N*).

……2分

(3?1)n下面用数学归纳法证明不等式bn?.

2n?1 （1）当n=1时，b1=3?1，不等式成立，

(3?1)k （2）假设当n=k时，不等式成立，即bk?. k?12(3?1)|ak?3|那么 bk?1?|ak?1?3|?

1?ak3?1(3?1)k?1 ?bk?. k22所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。

……6分

……8分

(3?1)n（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， bn?. n?12所以 Sn?b1?b2???bn

(3?1)2(3?1)n?(3?1)????

n?1223?1n1?()2 ?(3?1)?3?11?212?(3?1)??3.

33?11?22故对任意n?N?,Sn? 3.

3 ……10分

……12分

20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建

立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12 分.

P（Ⅰ）解：P ……2分 乙0.75?0.8?0.6. 甲?0.8?0.85?0.68,（Ⅱ）解：随机变量?、?的分别列是

? ? 5 2.5

P P 0.68 0.32

E??5?0.68?2.5?0.32?4.2,

E??2.5?0.6?1.5?0.4?2.1.

2.5 0.6 1.5 0.4 ……6分

－ 9 － (2005辽宁)

?5x?10y?60,?（Ⅲ）解：由题设知?8x?2y?40,

??x?0,??y?0.目标函数为

z?xE??yE??4.2x?2.1y. ……8分 作出可行域（如图）：

y

l1

Ml

o8x?2y?405x?10y?60x

4.2x?2.1y?0

作直线l: 4.2x?2.1y?0,

将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大，此时z?4.2x?2.1y ……10分

……12分

21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应

用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y). y Ｑ 由P(x,y)在椭圆上，得 P ?5x?10y?60,

?8x?2y?40.得x?4,y?4.即x?4,y?4时，z取最大值，z的最大值为25.2 .

取最大值. 解方程组?b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa

c?(a?x)2.a

2222F1O F2x ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x. ……3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,

由x?a,知a?则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.

由r1?r2?2a,r12?r22?4cx，得

cx． a证法三：设点P的坐标为(x,y).

c椭圆的左准线方程为a?x?0.

a|F1P|?r1?a?－ 10 － (2005辽宁)

2由椭圆第二定义得|F1P|?c，即|F1P|?c|x?a|?|a?cx|.

acaaa2|x?|c 由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x. ……3分 aa

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).

当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上. 当|PT|?0且|TF2|?0时， 由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2.

又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点.

1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a. ……7分

在△QF1F2中，|OT|?

解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.

当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. x??c?x?,??2 设点Q的坐标为（x?,y?），则??y?y?.?2??x??2x?c,因此? ①

?y??2y.222由|F1Q|?2a得(x??c)?y??4a. ②

将①代入②，可得x?y?a.

综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a. ……7分

222222 （Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是

22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④

由③得|y0|?a，

b2. 由④得|y0|?c2b所以，当a?时，存在点M，使S=b2； c

2b当a?时，不存在满足条件的点M. c ……11分

当a?b时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)，

c由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b，

2222222MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，

－ 11 － (2005辽宁)

S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得 2tan?F1MF2?2.

解法二：

C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是

③ ?x2?y2?a2,0 ??10??2c|y0|?b.?22

④

b2由④得|y0|?. 上式代入③得

cb4b2b2x?a?2?(a?)(a?)?0.

ccc2于是，当a?b时，存在点M，使S=b2；

c202

当a?b时，不存在满足条件的点M.

c2 ……11分

2y0y0b当a?时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1x0?cx0?cc由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以

tan?F1MF2?|

k1?k2|?2.

1?k1k2 ……14分

22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函

数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).

……2分

（Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0.

因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；当x?x0时,h?(x)?0. 所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的最小值为0，因此h(x)?0,即

g(x)?f(x).

……6分

（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).

12223 另一方面，由于f(x)?x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，

2223333ax?b?x的充要条件是：过点（0，b）与曲线y?x相切的直线的斜率大于a，该切线的

22方程为y?(2b)

?122x?b.

2133于是ax?b?x的充要条件是a?(2b)2.

2 ……10分

－ 12 － (2005辽宁)

3综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是

222(2b)?12?a?2(1?b). ①

?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得

?2(1?b). ②

122?22?2?b?. ③ 44 ……12分

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.

（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).

21222

2 ……8分

33令?(x)?ax?b?x3，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是

22?(x)?0. 由??(x)?a?x?0得x?a?3.

?3当0?x?a时??(x)?0;当x?a?3时，??(x)?0，所以，当x?a?3时，?(x)取最小值.因

?3?13此?(x)?0成立的充要条件是?(a)?0，即a?(2b)

2?12. ………10分

综上，不等式x2?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是

2(2b)(2b)?12?a?2(1?b). ① ?2(1?b) ②

2?22?2?b?. 44

……12分

1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

?12有解、解不等式②得

因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.

－ 13 － (2005辽宁)

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