【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习一模考前专项训练 Word版含答案

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数学思想专项训练(一) 函数与方程思想

一、选择题

1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1]

B ．(－∞，－1)

C ．[－1，＋∞)

D ．(－1，＋∞) 解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．

2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪???

?－12，＋∞，则a 等于( )

A ．2

B ．－2

C ．－12 D.12

解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12

是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×????－12＝－1a

，所以a ＝－2，故选B.

- 2 - 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的

最大值为( )

A ．600

B ．500

C ．400

D ．200

解析：选B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992

d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋????13a 1＋S 1502≤10，即109

a 21＋S 225a 1＋????S 1502－10≤0有解，所以Δ＝????S 2252－4×109???????

?S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.

4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－2]

B ．[2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒

大于0，所以????? g (1)＞0，g (4)＞0，即?????

x －2＋(x －2)2＞0，4(x －2)＋(x －2)2＞0，解得x ＜－2或x ＞2. 5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29

＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且 OA ·

OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( ) A ．18

B ．15

C ．10 D.152

解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭

圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2

.又 OA · OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝169＋25k 25(1＋k 2)＝165 9＋25k 2(1＋k 2)

2，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t ????t ＋16252＝165×25t t 2＋162＋32t ＝801t ＋162

t ＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725

时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.

6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7

＜－1，则( )

- 3 - A ．S n 的最大值是S 8

B ．S n 的最小值是S 8

C ．S n 的最大值是S 7

D ．S n 的最小值是S 7

解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2

，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7

＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.

二、填空题

7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x ]＝3，则f (3)＝________.

解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x ＋t ，

所以2t ＋t ＝3，易得方程2t ＋t ＝3有唯一解t ＝1，

所以f (x )＝2x ＋1，所以f (3)＝9.

答案：9

8．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为????1b ，1a ，则ab ＝________.

解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b

，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a ≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以??? f (a )＝2a －a 2＝1a ，f (b )＝2b －b 2＝1b ，解

得????? a ＝1，b ＝1＋52，

所以ab ＝1＋52. 由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，??? f (a )＝2a ＋a 2＝1a ，f (b )＝2b ＋b 2＝1b ，解得?????

b ＝－1，a ＝－1－52， 所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52. 答案：1＋52

9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

- 4 - 解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e 5＝7，(a －7)2＋(b －7)2＋(c －7)2＋(d －7)2＋(e －7)25

＝4.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且?????

p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.

答案：10

10．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．

解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以????? f (a )＝b ，f (b )＝a ，即??? m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b ＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12

，而m ＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝????a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12

，所以－94

＜m ≤－2. 答案：???

?－94，－2 二、解答题

11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形

ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱

锥F -ABCD 的体积．

(1)求V (x )的表达式；

(2)求V (x )的最大值．

解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .

∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x .

∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，

S ?ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，

∴V (x )＝13S ?ABCD ·F A ＝23

x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23

－x 4

＋4x 2

- 5 - ＝23

－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，

∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43

. 12．设P 是椭圆x 2a

2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．

解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋(y －1)2.

又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．

|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2

＝(1－a 2)????y －11－a 22－11－a

2＋1＋a 2， 因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则???

?11－a 2≤1， 当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1

； 若1

综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1

；当1

数学思想专项训练(二) 转化与化归思想

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一、选择题 1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( )

A ．(－2,2)

B ．(2，5)

C ．(－5，－2)

D ．(－5，－2)∪(2，5)

解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)

2．已知函数f (x )＝a x 和函数g (x )＝b x 都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选C 由于函数f (x )＝a x 和函数g (x )＝b x 都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.

3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱

AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上

的动点，则四面体PQEF 的体积( )

A ．是变量且有最大值

B ．是变量且有最小值

C ．是变量有最大值和最小值

D ．是常量

解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．

4．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322 D. 2

解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由?????

x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0

之间的距离，即????5－122＝924.

- 7 - 5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )

A ．[1－22，1＋22]

B ．(1－22，1＋22)

C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]

D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)

解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.

6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，0)

B ．(－∞，4]

C ．(0，＋∞)

D ．[4，＋∞)

解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x

恒成立．设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2

(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.

二、填空题

7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

＜0.如果f ????13＝34，4f ???

?log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________． 解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ????log 18x ＞3等价于f ????log 18x ＞34，即f ????log 18x ＞f ???

?13，所以????log 18x ＜13

，解得12＜x ＜2. 答案：????12，2

8．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β

＝________. 解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]

＝ sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)

＝ tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)

＝1. 答案：1

9．(2015·西城期末)已知命题p ：?x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12

≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．

- 8 - 解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即?x ∈R ，ax 2＋x ＋12

＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12

，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有 ????? a ＞0，Δ＜0，即????? a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得?????

a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是???

?12，＋∞. 答案：???

?12，＋∞ 10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m

＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．

解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5.

又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，

则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．

则025＋12m

≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．

答案：[1,5)

三、解答题

11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．

解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta

＋t 2，可知????? g (－1)≥0，g (1)≥0，即?????

2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0， 解得t ≥2或t ≤－2.

故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)

12．设P 是双曲线x 23

－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|P A |＋|PF |的最小值．

解：设F ′为双曲线的左焦点，

则|PF ′|－|PF |＝23，

|PF |＝|PF ′|－23，

∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|P A |＋|PF ′|的最小值问题，(

如

- 9 - 图)(|P A |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.

∴(|P A |＋|PF |)min ＝(|P A ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.

数学思想专项训练(三) 分类讨论思想

一、选择题

1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )

A.???

?－32，－1 B.????－∞，－32 C.(]－∞，－1 D.???

?－32，＋∞ 解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ?A .

①当B ＝?时，满足B ?A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32

；

- 10 - ②当B ≠?时，要使B ?A ，则????? －a ＜a ＋3，－a ≥1，

a ＋3＜5，

解得－32＜a ≤－1. 由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．

2．设函数f (x )＝?????

x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x ＞0)，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )

A.{}－2

B.{}2

C.{}－2，2

D.{}－2，1，2

解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则????? (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得?

???? b ＝2，c ＝－2， 故f (x )＝?????

x 2＋2x －2(x ≤0)，2(x ＞0).当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．

3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝

f [f (x )]，则函数y ＝

g (x )的图象为(

)

解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，

直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝?????

－2x ＋1(0≤x ≤1)，2x ＋1(－1≤x <0). 讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12

，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；

若12

＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3， 所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝??? 4x －1????0≤x ≤12，－4x ＋3???

?12＜x ≤1，故选

A.

- 11 - 4．已知函数f (n )＝?????

(n ＋1)2，n 为奇数，－(n ＋1)2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )

A ．100

B ．－100

C ．102

D ．101

解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n (2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.

5．关于x 的不等式x －a x ＋1

＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ?P ，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)

B ．[－1,1]

C ．(1，＋∞)

D ．[1，＋∞) 解析：选B 对a 进行分类讨论，当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜－1

时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)．对于log 2(x 2－1)≤1，有????? x 2－1≤2，x 2－1＞0解得??? －3≤x ≤3，x ＜－1或x ＞1，所以Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．因为Q ?P ，所以P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，从而－1≤a ≤1.

6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )

A ．{4,5}

B ．{3,4,5}

C ．{3,4,6}

D ．{3,4,5,6}

解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位臵时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．

二、填空题

7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．

解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cos x ≥0对任意实数x 都成立．

∵－1≤cos x ≤1，

①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1；

②当a ＝0时，显然成立；

- 12 - ③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0.

综上，－1≤a ≤1.

答案：[－1,1]

8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________．

解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2????1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q

，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2 q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－????－q －1q ≤1－2 (－q )·???

?－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)

9．定义运算：a b ＝a 2－b

，若关于x 的不等式x (x ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．

解析：由x (x ＋1－m )＞0知，x 2－(x ＋1－m )

＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)?[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)?[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．

答案：[－4,2]

10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．

解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a 2

. ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34

时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；

②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54

时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；

③当0＜a 2≤12

，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1； ④当12＜a 2

＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．

- 13 - 综上所述，实数a 的取值范围是????34，1.

答案：????34，1

三、解答题

11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．

解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )?(11＋d )2＝25(5＋d )?121＋22d ＋d 2＝125＋25d ?d 2－3d －4＝0?d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11

时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n (10＋11－n )2＝n (21－n )2

；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋

a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×11(21－11)2－n (21－n )2＝n 2－21n ＋2202

.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝??? n (21

－n )2，1≤n ≤11，

n 2－21n ＋2202，n ≥12.

12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝e x

x e x ＋1

. (1)证明：0＜f (x )≤1；

(2)当x ＞0时，f (x )＞1ax 2＋1

，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x .

当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；

当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．

所以g (x )≥g (－1)＝1－e －

1＞0. 又e x ＞0，故f (x )＞0.

f ′(x )＝e x (1－e x )(x e x ＋1)2

. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；

当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．

所以f (x )≤f (0)＝1.

综上，有0＜f (x )≤1.

(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1

，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a 时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立．

- 14 - ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1

等价于(ax 2－x ＋1)e x －1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x .

若a ≥12

，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0. 若0

???0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．

于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12

. 综上，a 的取值范围是????12，＋∞.

数学思想专项训练(四) 数形结合思想

一、选择题

1．已知函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，且f (x ＋1)为奇函数，当x ＞1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )的图象的所有交点的横坐标之和为( )

A ．5

B ．4

C ．2

D ．1 解析：选A 由于f (x ＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长

- 15 - 度后得到f (x )的图象，因此函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x 2＋x 3＝6，易知x 1＝－1，故x 1＋x 2＋x 3＝5.故选A.

2．(2015·揭阳一模)设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －

3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( ) A.855－2 B. 5 C.5－2 D.755

－2 解析：选C 如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题

意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线

l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.

3．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c

满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )

A ．1

B ．2 C. 2

D.22

解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0，

所以(a －c )⊥(b －c )．

如图所示，设 OC ＝c ， OA ＝a ， OB ＝b ， CA ＝a －c ， CB ＝b －c ，

即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，

所以O ，A ，C ，B 四点共圆．

当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，

且最大值为 2.

4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12

的实数a 的个数为( )

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2 解析：选A 由题意知，f (x )＝?????

－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22

，即f (a )＝1－

22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.

5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数

b 的取值范围是

( )

A．(－2，2) B．(－2，1]

C．(－2，－1] D．(－2，－1)

解析：选C作出曲线x＝1－y2的图形，如图所示，由图形可得，

当直线y＝x＋b在直线a和c之间变化时，满足题意，同时，当直线在

a的位臵时也满足题意，所以b的取值范围是(－2，－1]．

6．(2015·温州十校联考)已知点A∈平面α，点B，C在α的同侧，

AB＝5，AC＝22，AB与α所成角的正弦值为0.8，AC与α所成角的大小为45°，则BC的取值范围是()

A．[5，29 ] B．[37，61 ]

C．[5，61 ] D．[5，29 ]∪[37，61 ]

解析：选A作BB1⊥α于点B1，CC1⊥α于点C1，当点A，B1，

C1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB1中，∵AB＝5，

sin∠BAB1＝0.8，∴BB1＝4，AB1＝3，在Rt△ACC1中，∵AC＝

22，∠CAC1＝45°，∴AC1＝CC1＝2，过点C作CD⊥BB1于点D，

则CD＝B1C1.在△AB1C1中，∵AB1＝3，AC1＝2，∴B1C1∈(1,5)，∴CD∈(1,5)，则BC＝BD2＋CD2∈(5，29)．当B1在AC1的延长线上时，B1C1＝1，BC＝5；当B1在C1A的延长线上时，B1C1＝5，BC＝29，∴BC∈[5，29 ]．

二、填空题

7．已知函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋1.设函数g(x)＝f(t－x)－f(x)的零点为x0，且x0∈[1,2]，则非零实数t的取值范围是________．

解析：由题意知只需函数y＝f(x)与函数y＝f(t－x)的图象

的交点的横坐标x0∈[1,2]即可，由于函数f(x)是偶函数，当x≥0

时，f(x)＝x＋1，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，而函数y

＝f(t－x)的图象可由函数y＝f(x)的图象平移得到，数形结合得

2≤t≤4.

答案：[2,4]

8．(2015·合肥二模)设|

AB|＝2，|

AC|＝3，∠BAC＝60°，

CD＝2

BC，

AE＝x

AD＋(1

－x)

AB，x∈[0,1]，则

AE在

AC上的投影的取值范围是________．

解析：由

AE＝x

AD＋(1－x)

AB，x∈[0,1]，可知B，D，E三点共线，且E点在线段BD

上，如图所示．

- 16 -

- 17 -

因为E 点在线段BD 上，所以 AE 在 AC 上的投影d 的取值范围| AF |≤d ≤| AG |，而| AF |

＝| AB |·cos60°＝2×12＝1，| CG |＝2|CF |＝2·(3－1)＝4，| AG |＝| CG |＋| AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．

答案：[1,7]

9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距为2

c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ????a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．

解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA

垂直于AP ，所以△OP A 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a

＝22

. 答案：22

10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________． 解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域

为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－

1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．

答案：[2,4]

三、解答题

11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x

的值域． 解：1＋sin x 3＋cos x

可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．

故t ＝1＋sin x 3＋cos x

满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.

由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1

≤1，解得0≤k ≤3

4

.从而值域为????0，34.

12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高；

(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数

为2，所以全班人数为2

0.08＝25.

(2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为3

25÷10＝0.012.

(3)将[80,90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90,100]之间的2个分数编号为b1，b2，

在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：

(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是7

10＝0.7.

多题一法专项训练(一)配方法

- 18 -

- 19 -

一、选择题 1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( )

A ．5

B ．25

C ．15

D ．10

解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，

∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.

2.已知菱形ABCD 的边长为233

，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD

＝60°，P

在线段DM 上，记DP ＝x ，P A ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )

解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33

，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP 中，P A ＝AM 2＋MP 2＝

13＋(1－x )2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝

1＋(1－x )2－(1－x )＝x 2－x ＋1，∴y ＝P A ＋PB ＝13＋(x －1)2＋x 2－x ＋1＝13＋(x －1)2＋34＋????x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.

3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )

A.???

?－18，0 B.????－14，0 C.????－18，－14 D.???

?0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x

＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12????x

＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18

；当x ＝0时，

- 20 - f (x )max ＝0.

4．设函数f (x )＝?????

2x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )

A.14

B.12 C ．2 D ．4

解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x ，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x ＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋

∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝?????

x ，x ≤1，log 2(log 2x )，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2????y ＋14a 2－18

，对称轴y ＝－14a

＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14

.故选A. 5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k 为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )

A ．0

B ．4 C.133 D.163

解析：选A 因为a n ＝－3????n －522＋34

，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.

6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( )

A ．1

B ．－1

C ．1或－1

D ．0 解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1，

∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1.

∴sin αcos α＝0.

又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，

∴sin α＋cos α＝±1.

二、填空题

7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.

- 21 - 答案：－4

8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．

解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.

答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)

9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12

，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．

解析：由题意知a n ＝a 1q n －1＝29·???

?－12n －1＝(－1)n －1·210－n ，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)12n n (-)

·2192n n

(-)，因为(19－n )n 2＝－12(n 2－19n )＝－12????n －1922＋1928

，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，(19－n )n 2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)12n n (-)

＞0，所以

n ＝9时，T n 最大．

答案：T 9

10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 OA ＝(2,2)， OB ＝(4,1)，在x 轴上

取一点P ，使 AP ·

BP 有最小值，则P 点的坐标是________． 解析：设P 点坐标为(x,0)，

则 AP ＝(x －2，－2)， BP ＝(x －4，－1)．

AP · BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)

＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.

当x ＝3时， AP ·

BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)．

答案：(3,0)

三、解答题

11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x 2

＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点

M ，N ，求|MN |的最大值．

解：设直线P A 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线P A 的方程为y －1＝

k (x ＋2)，由?????

x 2＝4y ，y －1＝k (x ＋2)得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB

的斜

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