数列复习讲义

教学内容 【知识梳理】 知识点1 一、数列的通项的求法 1.公式法：①等差数列通项公式an?a1?(n?1)d； ②等比数列通项公式an?a1qn?1. 2.作差法：已知Sn(即a1?a2???an?f(n))求an用作差法：an???S1,(n?1). ?Sn?Sn?1,(n?2)??f(1),(n?1) 3.作商法：已知a1?a2???an?f(n)求an用作商法：an??f(n),(n?2). ??f(n?1) 4.叠加法:若an?1?an?f(n)求an用叠加法. 5.叠乘法：已知an?1an?f(n),求an用叠乘法. 6.构造法(构造等差、等比数列)： ①形如an?kan?1?b,an?kan?1?bn, an?kan?1?a?n?b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定 系数法转化为公比为k的等比数列后,再求an. ②形如an?an?1kan?1?b的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 二、数列求和的方法 1、公式法： n(a1?an)1dd??或Sn?na1?n(n?1)d?n2??a1??n 2222??(q?1)?na1?na(1?q)a1?anqs??1n 等比数列求和公式；?(q?1) ?1?q?1?q 等差数列求和公式：sn? 2、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 4、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如{anbn}的数列，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，均可用此法. 5、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 公式：1?2?3???n?n(n?1)； 12?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)； 2611 13?23?33???n3?[n(n?1)2]2；1?3?5???n?n2； 1

常见裂项公式：1n(n?1)?1n?1n?1；21n(n?k)?(?kn1n111n?k2)；1n(n?1)(n?1)?[112n(n?1)?1(n?1)(n?2)]； 常见放缩公式：2(n?1?n)?n?1?n??n?n?1?2(n?n?1). 知识点2 一、等差或等比数列的证明 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： 1、定义法：对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an/an?1)为同一常数。 2、通项公式法： ①若②若3、中项公式法：验证=+（n-1）d=+（n-k）d，则?an?为等差数列； ，则?an?为等比数列。 都成立。 知识点3 一、数列的应用 1、“分期付款”、“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. ⑵利率问题： ①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利 和为：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)?p(n?n(n?1)2； r)(等差数列问题）②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2???x(1?r)?x(等比数列问题). 【精讲精练】 【例题1】★★（2011东城二模文）已知数列?an?的前n项和为Sn,且Sn?4an?3（n?N*）。 （Ⅰ）证明:数列?an?是等比数列； （Ⅱ）若数列?bn?满足bn?1?an?bn(n?N*)，且b1?2，求数列?bn?的通项公式． 【考点】等比数列通项与前n项和公式 【分析】根据an与sn的关系可求得，继而代入已知条件中即可得到关于数列的递 2

推关系式，再利用叠加法求得通项。

【解答】

解：（Ⅰ）证明：由，时，，解得.

因为，则， 所以当时，， 整理得. 又，

所以是首项为1，公比为的等比数列.

（Ⅱ） 因为，由，得. 当时，有

可得

＝，（）， 当时，，也满足上式，

所以数列的通项公式为。

【点评】本题主要考察用作差法和叠加法求数列通项的技巧，要注意时的情况，必要时分 段书写。

【巩固1】★★★数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式。

【考点】数列通项求法

【分析】可利用与的关系可求得通项公式。

【解答】解：由可得当时， ， ， ，

，是公比为的等比数列. 又当时，，， 。

【点评】本题复习作差法求通项公式，注意题中字母的范围，必要时要分类讨论。

【例题2】★★设是首项为1的正项数列，且满足， 则它的通项公式 ．

【考点】数列通项公式的求法。

【分析】化简已知条件中给出的递推公式，通过叠乘等式，得到通项。

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【解答】 解：由，得． 由，得， ，即． ∴，．

将以上个式子叠乘，得． 因为，所以．

【点评】形如的递推数列求通项适用此法。

【例题3】★★★数列，首项为，满足（），求通项公式。

【考点】数列通项公式的求法。

【分析】整理变形递推公式，构造新数列，再利用整体代换方法求得通项。

【解答】

解：设存在一实数，满足，即. 又因为，所以，即：.

由可知数列是首项为，公比为的等比数列。 故，即.代入得：

【点评】注意此类问题中可用待定系数法求出。

【巩固1】★★根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式。

⑴ ⑵ ⑶

【考点】数列通项公式的求法。 【分析】根据不同递推公式的特点，依次选择用叠加、叠乘、构造法求得各个通项。

【解答】 解：（1），，

（2）=

又由题意可知，对一切自然数成立，

（3）是首项为公比为的等 比数列，

【点评】本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。

【例题4】★★求数列，的前项和．

【考点】分组法数列求和。

【分析】此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解．

【解答】 解：．

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【点评】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.

【例题5】★★数列为等差数列，试证明数列的前项和错误!。

【考点】等差数列求和方法。

【分析】利用等差数列的性质，倒序相加求和。 【解答】证明：由题意得： 错误! ，即： 错误! ，

两式左右分别相加，得

错误!错误!，

由等差数列性质可知： 所以， 错误!

于是有： 错误!.这就是倒序相加法.

【点评】倒序相加法主要适用于等差数列求和。 【例题6】★★数列为等比数列，试证明数列的前项和

【考点】等比数列求和方法。

【分析】分类讨论，当公比不为1时用错位相减法求和。

【解答】证明：设等比数列首项为，公比为，则 当时，， 所以 当时，

① ② ①-②得：，又因为，所以 故

【点评】用错位相减法求和时要注意公比。 【变式1】★★设数列满足，，求其前项和。 【考点】错位相减法求和方法的应用。

【分析】仿照等比数列求和公式的推导方法进行错位相减求数列和。

【解答】解：由题意得： ① ② ②-①得： 所以，

【点评】形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.

【例题7】（2010山东卷理）已知等差数列满足：，，的前n项 和为．

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（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．

【考点】等差数列的通项公式与前n项和公式的应用。 【分析】（根据等差数列通项公式并结合已知条件求出和，从而可得到通项及，在

求出，并根据其通项形式特点进行裂项求和。 【解答】

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ，解得， 所以；==。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==，

即数列的前n项和=。

【点评】熟练数列的基础知识及常用裂项公式是解答好本类题目的关键。 【变式1】★★★已知，

求 的和．

【考点】裂项相消求和法的应用。

【分析】首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n项和.

【解答】解： ，

【点评】注意裂项公式的变形。

【例题8】★★★已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列；

【考点】等差数列和等比数列的判定。

【分析】由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S

作切入点探索解题的途径． 【解答】 解：（1）由得：，两式相减，得即： ，又，所以 ① 已知解得 ②

由①和②得，数列是首项为3，公比为2的等比数列，故 （2）因为, 所以

又，股数列是首项为，公差为的等差数列，即

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【点评】定义法是证明等差数列和等比数列最常用的方法，但要注意时的情形。

【例题9】★★用分期付款的方式购买家电一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为．若从交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？

【考点】数列的应用（分期付款模型）

【分析】购买时交付150元后，还欠款1000元，按题意应分20次付清．由于每次

都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺次构成一数列． 【解答】

解：设每次交付欠款的数额依次为，则 （元）， ， ， （元），即第10个月应付款55.5元．

由于是以60为首项，以为公差的等差数列， 所以有（元）．

即全部付清后实际共付款（元）．

【点评】采用分期付款的方法，购买售价为元的商品（或贷款元），每期付款数相同，购买

后1个月（或1年）付款1次，过1个月（或1年）再付1次，如此下去，到第次付

款后全部付清．如果月利率（或年利率）为，那么每期付款元满足下列关系：

不按复利计息时为， 按复利计息时为， 化简，得．

【同步测控】

练习1、求下列数列的前项和：

（1）5，55，555，5555，…，，…； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．

练习2、(2011朝阳二模理）已知数列满足，且，则 ；并归纳出数列的通项公式 。 练习3、设二次方程有两根和，且满足

(1)试用表示；

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(2)求证：是等比数列； (3)当时，求数列的通项公式。 【精锐小测】 测试1、设a1?2，an?1?2a?2n?N*，，，则数列?bn?的通项公式bn= ． bn?nan?1an?1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 错误! 错误! 测试2、已知数列的通项公式，如果，求数列的前项和。 测试3、（2011辽宁卷理）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列的前n项和． 【参考答案】 【同步测控答案】 练习1、解：（1） ． （2）∵， ∴． （3）∵ ∴ ． （4）， 当时，…， 当时，… ， …， 两式相减得 …， ∴． （5）∵， ∴ 原式……． （6）设， 又∵， ∴ ，． 练习2、 ， 。 练习3、解：（1）根据韦达定理得 由得 ，故 （2）证明：因为，所以 故数列是公比为的等比数列。 （3）当时，的首项，于是。

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【精锐小测答案】 测试1、2n+1 2?2an?1?2an?1a?2 解：由条件得bn?1???2n?2bn且b1?4所以数列?bn?是首项2an?1?1an?1?1an?1为4，公 比为2的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1。 ，当时， 测试2、 解： 当时， ∴ 测试3、解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得 故数列的通项公式为 （II）设数列，即， 所以，当时， = 所以， 综上，数列

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