课堂测验2（二维随机变量）

一、 填空题（每空3分，共计30分）

1. 设X1X2X3相互独立, 其中X1服从[0,6]上的均匀分布, X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记Y?X1?2X2?3X3,则EY= ， DY= 。 2. 已知X服从参数为?`的泊松分布,且E[(X?1)(X?2)]?1, Y?5X?2，则EY= ，

DY? ，?XY? 。

223. 设X~N(0,?1),Y~N(0,?2)且X,Y相互独立, 则?2X??1Y~N(,).那么概率P{0??2X??1Y?2?1?2}= .

4. 设随机变量X,Y的方差D(X)?4,D(Y)?1，相关系数?XY?0.6,则协方差

Cov(X,Y)? ，方差D(3X?2Y) .

二、单项选择：（每题2分，共14分） 1． 下列叙述中错误的是( )

A.联合分布决定边缘分布； B.边缘分布不能决定联合分布； C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同； D.边缘分布之积即为联合分布

2． 设(X,Y)服从平面区域G上的均匀分布，若D也是平面上某个区域，并以SG与SD分别表示区域

G和D的面积，则下列叙述中错误的是( )

A.P{(X,Y)?D}?SD； SG

B.P{(X,Y)?G}?0；

C.P{(X,Y)?D}?1?SG?DSG；

D. P{(X,Y)?D}?SG?D SG?ce?(2x?3y),x,y?03． 为使f(x,y)??为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则c必为( ).

其他?0, A. 0 B. 6 C. 10 D. 16

x?1?10?e,x?024． 随机变量X~f(x)??10，则E(2X?1)= （ ）

?0,x?0?A.21； B.41； C.

1?1； D.401 25225． 若X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2)，且X，Y相互独立，则( )

A.X?Y~N(?1??2,(?1??2)2)

22B. X?Y~N(?1??2,?1??2) 22D. 2X?Y~N(2?1??2,2?1??2)

22 C. X?2Y~N(?1?2?2,?1?4?2)

6．设随机变量X与Y相互独立，且X~N(?3,1)，Y~N(2,1)，则（ ）。

A、P(X?Y?0)?0.5 B、P(X?Y?1)?0.5 C、P(X?Y??1)?0.5 D、以上都不对 7．设X与Y为两个随机变量,则( ）是正确的。

（X+Y）=E（X）+E（Y）（X+Y）=D（X）+D（Y）A、E B、D

C、E(XY)?E(X)E(Y) D、D(XY)?D(X)D(Y)

三、（20分）设二维随机变量?X,Y?的联合分布律P?X?i,Y?j??pij如下：

X Y 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 0.01 0.05 0.12 0.02 0 0.01 0.02 0 0.01 0.05 0.02 0.02 0 0.05 0.1 0 0.3 0.05 0.01 0 0.02 0.01 0.03 0.1 (1) 求概率P?X?2,Y?2?； (2) 求关于X与Y的边缘分布律；

(3) 判断X与Y是否相互独立,并写明原因； (4) 求随机变量Z?X?Y的概率分布。

?Ae?(x?2y),x?0,y?0;四、（36分）设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

0,其它?试求：（1）常数A；

（2）(X,Y)关于X，Y的边缘概率密度；

（3）判断X与Y是否相互独立，并写明原因； （4）求随机向量Z?X?Y的概率密度函数； （5）求概率P(0?X?2,0?Y?3)； （6）求概率P(X?2Y?1)； （7）求概率P(X?Y)；

参 考 答 案

一、（每空3分，共计30分）

1. 12 ； 46 ; 2. 7 ； 25 ； 1

223. 0 ； 2?1?2;

；

?(2?1?22??2122)??(0)??(2)?0.5=0.4207 4. 1.2； 25.6

二、（每题2分，共14分） D A B D C C A 三、（20分）解：（1）P?X?2,Y?2??0.13

（2） X P

Y P 0 0.21 1 0.12 2 0.5 3 0.17 0 0.04 1 0.1 2 0.25 3 0.08 4 0.35 5 0.18

（3）X与Y不独立, 因P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0) （4） Z 0 1 2 3 4 P 0.01 0.07 0.12 0.09 0.15

四、（36分）

5 0.05 6 0.33 7 0.08 8 0.1 解：（1）由联合概率密度的性质知

????0????????f(x,y)dxdy??dx?0??0????0A?e?(x?2y)dy?1，

即 A?e?xdx??e?2ydy?1， 求得A?2.

（2）当x?0时，有 f1(x)??f(x,y)dy??e?(x?2y)dy?e?x.

??0???? 当x?0时，有 f1(x)?0.

?e?x,x?0;所以(X,Y)关于X的边缘概率密度为f1(x)??

?0,x?0.?2e?2y, 同理可得(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f2(y)???0, （3）X与Y独立，因f(x,y)?f1(x)f2(y) （4）卷积公式:

fX?Y(z)??f(x,z?x)dx??e??0??z?xy?0;y?0.

?2e?2(z?x)?2(e?z?e?2z),dx??else?0,z?0

（5）P(0?X?2,0?Y?3)??20dx?2?e?(x?2y)dy03

00

?2?6?(1?e)(1?e).

?2?e?xdx??e?2ydy23

（6）积分区域如图阴影部分

P(X?2Y?1) 11?x2x?2y)

??0dx?02?e?(dy

??1?xe?2y)1?x0e?(?02dx ?1?2e?1.

（7）积分区域如图阴影部分

P(X?Y) ???????(x?2y)0dx?x2?edy

???e?x?(?e?2y)??

?0xdx??

???3x0edx =13.

y 0.5 y=-0.5x+0.5 o 1 x y y=x o x

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