小学奥数专题157-5 - 组合 - 题库学生版

组合

知识框架图 7-5-1组合及其应用 7 计数综合 7-5 组合 7-5-2排除法 7-5-3插板法

教学目标

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．

知识要点

一、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

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从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n个不同元素中取出m个元素(m?n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数．记作Cnm．

一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pmn可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cnm种方法；

m种排法． 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmmm?Pm根据乘法原理，得到Pnm?Cn．

Pnmn（?n?1）（?n?2)?（?n?m?1）因此，组合数C?m?．

Pmm（?m?1）（?m?2）??3?2?1mn这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

mn?m?Cn一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(m?n)

n?m这个公式的直观意义是：Cnm表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法．Cn表示从n个

元素中取出(n?m)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(n?m)个元素的分组方法．

3?C52． 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C50?1． 规定Cnn?1，Cn

例题精讲

模块一、组合及其应用

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【例 1】 计算：⑴ C62，C64；⑵ C72，C75．（2级）

1985598100?2C100【例 2】 计算：⑴ C200；⑵ C56；⑶ C100．（2级）

3998【巩固】 计算：⑴ C12；⑵ C1000；⑶ P82?C82．（2级）

【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2级）

【巩固】 某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

（2级）

【例 4】 （难度等级 ※※）学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选

法？（4级）

【例 5】 某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）

【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？（2级）

【例 6】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行

78场，那么共有多少人参加循环赛？（4级）

【例 7】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个

小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？（4级）

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【例 8】 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：

⑴ 有多少个不同的乘积？

⑵ 有多少个不同的乘法算式？（6级）

【巩固】 9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？（4级）

【巩固】 从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，

有多少种不同的和？（4级）

【例 9】 在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？（6级）

【巩固】 从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？

（6级）

【例 10】 一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇

数，则不同的摸法种数是多少？（6级）

【例 11】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？

用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？（6级）

【例 12】 从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五

位数，一共可以组成多少个数？（6级）

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【例 13】 从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）（4级）

【例 14】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多

少个互不相同的六位数？（6级）

【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？（6级）

【例 15】 工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：

（1）一共有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？（6级）

【例 16】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求

列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．（6级）

【例 17】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：

⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．（6级）

【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（4级）

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