数学建模论文 捕鱼效益最大化模型

北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文

捕鱼业效益最大化的微分

方程模型

2012/12/18

《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型

捕鱼业效益最大化常微分方程模型

摘要

在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。

本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。

关键字 :渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益

一、 问题分析

如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化 呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：

① 建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程； ② 由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性； ③ 在稳定条件下求出渔场效益； ④ 对其效益进行分析提出优化方案.

二、 模型假设：

（1）

在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）；

（2）

单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系

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数为E；

（3） （4）

捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；

鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；

三、 模型建立与求解

1. 在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程

(t)= ……（1） r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.

2. 捕捞情况下渔场鱼量满足的方程

单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：

……（2） 根据以上假设并记 F(x)=f(x)-h(x)

得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为：

……（3）

3. 捕捞强度E(t)关于时间的微分方程

……（4） k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出. 其中

T=ph(x)=pEx, S=cE ……（5）

4. 求平衡点并分析其稳定性

我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.

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……（6）

将（5）式带入下面的代数方程组，

,

解出平衡点为，（0,0），（N，0），（ , ）. 稳定性分析：

当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义；

当x=N，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义；

当x= ，E= 时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。所以，在 （ , ）点将u(x,E)和v(x,E)作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程组

系数矩阵记为 A=

，

P=-tr[A]= ，Q=detA=

令P>0, Q>0,得p> 时，即售价大于成本时， 为稳定点，此时 E= ，x= ……（7） 此时的持续产量h（x,E）= . 5. 效益分析

设单位时间的利润为

R=T-S=pEx-cE ……（8）

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在稳定条件下，以（7）带入（8）得，R=0.

可见，在稳定条件下，单位时间的利润为0，即没有收益。所以说，在这种情况下，随着价格的上升和成本的下降，x会迅速减少，出现捕捞过度，效益越来越小，直至为0。

上述的效益模型是以盲目捕捞（即开放式捕捞）为基础的，如在公海上无规则捕捞。可以看出，如果捕鱼业仅仅靠市场价格等调控，渔民所获得的利润将越来越微薄，并且生态环境由于过度捕捞也遭到很大的破坏，捕鱼业效益最大化根本得不到实现，相反在往效益最小化发展。为此，我们做了以下模型优化。

四、 模型优化

我们不妨仿照私营渔场的有计划捕捞优化模型。所以，我们假设捕捞强度E为常量。

令F(x)= =0 得到两个平衡点

……（9） ， ……不难算出 （10） 当 时，渔场鱼量稳定在0，即没有鱼，显然不可能达到效益最大化，不予讨论；

当 时，若 为稳定点，则E

此时

R(E)=T(E)-S(E)=-

……（11）

所以，当 时，

有

将EM带入（9），得最大利润下的渔场稳定鱼量

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由此可见，在E不变的情况下，鱼量稳定时可以达到效益最大化，即不仅渔场获得较高利润，生态系统也处于平衡状态，利于可持续发展。

五、 总结分析

综上的分析可以看出，只任由市场对捕鱼业进行调控显然是行不通的，这样做得结果只有使捕鱼业走向灭亡。为了实现其可持续发展，我们可以仿照私营渔场的捕捞方式，控制捕鱼强度在一个常值，因为在这种情况下，可以使得捕捞量与鱼的增长量维持一个动态平衡，即维持环境中的鱼量在一恒值。为了实现这个，我们可以通过立法，控制网眼大小，每次出海捕鱼的船只数，每只船的捕鱼上限等等。因此，国家的宏观调控是必要的，只依靠市场来调解是不可取的。 六、

参考文献

【1】 丁同仁，李承治. 常微分方程教程（第二版）北京：高等教育出版

社，2004

【2】 姜启源等. 数学模型（第三版）北京：高等教育出版社，2004

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/v0a6.html