高一数学三角函数的图象和性质3

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第 11 课时：§1.3.2 三角函数的图象和性质（三）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.借助正切线画出正切函数的图象，并通过图象理解正切函数的性质。

2.能够应用正切函数性质解决一些相关问题。

3.掌握用数形结合的思想理解和处理有关问题的技能；发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.

二、过程与方法

1.类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

2.通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”的思想

三、情感、态度与价值观

1.会用联系的观点看问题，使学生理解动与静的辩证关系。 2.通过学生动手操作，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 【教学重点与难点】：

重点：正切函数的图象和性质；

难点：正切函数的图象和性质

教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数； 【学法与教学用具】：

1. 学法：通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

2. 教学用具：三角板、多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学、讲练结合 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.回忆正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。

2.求出下列函数的最小正周期，并说明下列函数是否有最大值、最小值，如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合. （1）y??sin(2x?2??1?3)；（2）y?3cos(12x??6).

3. 提问：如何比较sin20与sin30的大小？

4. 提问：能否类比研究正弦、余弦函数性质的方法来研究正切函数的图象和性质？ 5.练习画下切线（分四个象限） 二、研探新知

1.正切函数y?tanx的定义域是什么？

,)的图象。原理：与正弦曲线一样通过正切线来作图 223eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

2.作y?tanx,x?(???3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

【说明】：（1）正切函数的最小正周期为?； （2）根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y?tanx ，

(x?R,x?k???y?2 ?2x ?2,k?Z)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）． y

?32y ?????2O?20 ?32x?x （3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x?k???2?k?Z?所隔开的无穷多支曲线组成的。 3.正切函数的性质 请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． 【学生活动】：观察函数y?tanx的图象 【提问】：（1）y?tanx的奇偶性怎样？为什么？除原点外，函数y?tanx有无其它的对称中心？坐标怎样表示？

（2）函数y?tanx的单调性怎样？能否认为函数y?tanx在整个定义域上是增函数？函数y?tanx会不会在某区间内是减函数？

引导学生观察，共同获得：

①定义域：正切函数y?tanx的定义域是什么？ ?x|x??????k?,k?z?2?

②值域：R，没有最大值，也没有最小值； 观察：当x从小于k?? 当x从大于k????2?k?z?，x???k????2??? 时，tanx??223eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

?k?z?，x???k??????。 时，tanx?3eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

③周期性：由诱导公式tan?x????tanx?x?R且x?k??????,k?z?可知，正切函数是周2?期函数，最小正周期是?.

④奇偶性：tan(?x)??tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．

⑤单调性：由正切曲线图象可知：由正切线的变化规律可以看出，正切函数在???????2,?2?内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间?????2?k?,???k??,k?z内都是2?增函数（在整个定义域内是增函数吗？）

k?⑥对称性：对称中心为???2?,0??（有对称轴吗?）

【强调】：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 c.每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1．（教材P33例4）求函数y?tan(2x?例2．比较tan(?13?4)与tan(?17?5?4)的定义域 )的大小 例3．观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：（1）tanx?0（2）|tanx|?1 例4．讨论函数y?tan(2x??3)的性质 四、巩固深化，反馈矫正 1.下列函数的单调增区间：(1)y=sin（x?12?） (2) y=sin（?4?2x） ?? (3)y?2sin(3x?)(4)y?sin(x?)(5)y?log4 3 12cosx (6) y?cos2x (7) y＝－cosx 【引申】：函数y=()21cosx，在[ ， ]是递 函数; 1

函数y=（cosx）2，在[ 0， ]是递 函数

2.(1)比较sin1,sin2,sin3大小；sin(??3)?sin1?sin(??2) (2)sin(??18)?sin(??10)； (3)cos(?235?)?cos(?174?)

3.判断下列函数的奇偶性 5? (1) y=sin（-2x） (2)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x;

22(3)f(x)?lg(sinx?1?sinx); （4）y=cosxlg（sinx+sin2x?1）

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（5）f（x）=sin（2x+

3?2）

【引申】：已知f(x)?ax?bsin3x?1(a、b为常数)，且f(5)?7,求f(?5)

4.(1)函数f(x)?sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .

（2）函数y?3sin2x的对称轴是________；（3）y?sin(x?(4)y?sin(2x??4)的对称中心为 5?4)的图象的对称轴方程是_______

?4)的对称轴是________

(5)函数y?sin(2x?5. 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合： （1）y?cosx3；（2）y?2?sin2x

6. 求下列函数的最小正周期：(1) y=|sinx| (2)y=|sinx|+|cosx| 7. 根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合 （1）sinx≥12 （2）cosx≤-32 （3）2cosx-1＞0 （1）sinx≥32（x∈R） （2）2+2cosx≥0 （x∈R） 五、归纳整理，整体认识 （1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质 （2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。 ?因为正切函数y?tanx的定义域是{x|x?R,x?k??,k?Z}，所以它的图象被2x???2,?32?,......等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。作出正切函数的图象，是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

（3）正切函数的性质（周期的求法、奇偶性的判断、单调区间的求法） k???讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y?tan?x，x≠ ?2??(k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 ? 六、承上启下，留下悬念

预习函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

七、板书设计（略） 八、课后记：

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