北京市西城区2014+—+2015学年度第一学期期末高三理科试题

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2015.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合A?{?1,0,1}，B?{x|x2?x?2}，则集合AB?（ ）

（A）{?1,0,1} （B）{?1,0} （C）{0,1} （D）{?1,1} 2．设命题p：?平面向量a和b，|a?b|?|a|?|b|，则?p为（ ）

（A）?平面向量a和b，|a?b|≥|a|?|b| （B）?平面向量a和b，|a?b|?|a|?|b| （C）?平面向量a和b，|a?b|?|a|?|b| （D）?平面向量a和b，|a?b|≥|a|?|b| 3．在锐角?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若a?2b，sinB?3，则（ ） 4开始 （A）A???23（B）A?（C）sinA?（D）sinA?

33 6 3

a=2，x=3 y?ax 否 x=x+1 4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

5．设函数f(x)?3x?bcosx，x?R，则“b?0”是“函数f(x)为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A）最长棱的棱长为6 （B）最长棱的棱长为3 （C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形

2 （D）侧面四个三角形都是直角三角形

7. 已知抛物线C:y?4x，点P(m,0)，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得?OQP2y?10x?3 是 输出x 结束 2 1 1 正(主)视图

1 侧(左)视图

90o，则实数m的取值范围是（ ）

1 1 俯视图

（A）(4,8) （B）(4,+ ) （C）(0,4) （D）(8,+ )

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?x?y≤1,8. 设D为不等式组??2x?y≥?1,表示的平面区域，点B(a,b)为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点

?x?2y≤1?A(x,y)，都有OA?OB≤1成立，则a?b的最大值等于（ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D）3

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数z?2?i，则|z|? _____． 1?2ix2y2?1(a?0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果|PF1|?|PF2|?4，那10．设F1,F2为双曲线C：2?a16么双曲线C的方程为____；离心率为____.

11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x?y?z?______．

12． 如图，在?ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且

2 y x a 3 3 2z 1 2A 5 8AF?____；?A? _____． AC?2AE，那么AB

13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）

14. 设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转（么符合条件的直线PQ有_____条.

B E F C ）角后能与自身重合，那

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数f(x)?23sinxxxcos?cos, x∈R的部分图象如图所示. 442（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ） 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求

y B O A tan?BAO的值.

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x

16．（本小题满分13分）

现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：

投资结果 概 率 （2）购买基金：

投资结果 概 率 （Ⅰ）当p=获利20% 不赔不赚 亏损10% 获利40% 不赔不赚 亏损20% 1 21 83 8p 1 3q 1时，求q的值； 4 （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于

4，求p的取值范围； 5 （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p=

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱ABC?，?BAD?90，AD//BC，且DA1B1C1D1中，A1A?底面ABCD11，q=，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由． 26A1A?AB?AD?2BC?2 ，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.

（Ⅰ）证明：A1F∥平面BCE； 1（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1?EC?D的余弦值；

B1 （Ⅲ）求三棱锥B1?A1EF的体积的最大值.

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A1 D1 C1 F

A E B C D

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?ax2?bx(a?0)和g(x)?lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.

（Ⅰ）若点P的坐标为(,?1)，求a,b的值； （Ⅱ）已知a?b，求切点P的坐标.

19．（本小题满分14分）

1ex2y2|FA|??1的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P(m,0)(m?4)满足条件?e. 已知椭圆C：

1612|AP|（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记?PMF和?PNF的面积分别为S1，S2，求证：

S1|PM|. ?S2|PN|

20．（本小题满分13分）

设函数f(x)?x(9?x)，对于任意给定的m位自然数n0?amam?1定义变换A：A(n0)?f(a1)?f(a2)?（Ⅰ）若n0?2015，求n2015；

（Ⅱ）当m?3时，证明：对于任意的m(m?N*)位自然数n均有A(n)?10m?1； （Ⅲ）如果n0?10m(m?N*,m?3)，写出nm的所有可能取值.（只需写出结论）

，a2是十位数字，）a2a1（其中a1是个位数字，

， nk?A(nk?1)，．

记n1?A(n0)，n2?A(n1)，?f(am). 并规定A(0)?0．

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北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2015.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

1πx2y29．1 10．??1 5 11．17 12．

23416413．96 14．13 注：第10，12题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为f(x)?23sinxxxcos?cos 442xx?3sin?cos ?????? 2分

22xπ=2sin(?)， ?????? 4分

26所以 T?2π?4π. 12故函数f(x)的最小正周期为4π. ?????? 6分

πxππ≤?≤2kπ?， 22624π2π解得4kπ?， ≤x≤4kπ+334π2π所以函数f(x)的单调递增区间为[4kπ?,4kπ+],(k?Z). ?????? 9分

33由题意，得2kπ?（Ⅱ）解：如图过点B作线段BC垂直于x轴于点C.

3T?3π，BC?2， 4BC2所以tan?BAO?. ?AC3π由题意，得AC? y B A ???? 13分 O C

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